В гидродинамике и теории инвариантов , оператор Рейнольдса представляет собой математический оператор , заданный осреднения то по действию группы, которая удовлетворяет набор свойств называется правилами Рейнольдса. В гидродинамике операторы Рейнольдса часто встречаются в моделях турбулентных течений , особенно в усредненных по Рейнольдсу уравнениях Навье – Стокса , где среднее обычно берется по потоку жидкости в рамках группы временных трансляций. В теории инвариантов среднее часто берется по компактной группе или редуктивной алгебраической группе, действующей на коммутативной алгебре, такой как кольцо многочленов. Операторы Рейнольдса были введены в гидродинамику Осборном Рейнольдсом (1895 ) и назван Ж. Кампе де Фериэ ( 1934 , 1935 , 1949 ).
Определение
Операторы Рейнольдса используются в гидродинамике, функциональном анализе и теории инвариантов, и обозначения и определения в этих областях немного отличаются. Оператор Рейнольдса, действующий на φ, иногда обозначается через R ( φ ), P ( φ ), ρ ( φ ), 〈φ〉 или φ . Операторы Рейнольдса обычно представляют собой линейные операторы, действующие на некоторой алгебре функций, удовлетворяющих тождеству
- R ( R ( φ ) ψ ) = R ( φ ) R ( ψ ) для всех φ , ψ
а иногда и некоторые другие условия, например, поездки с различными групповыми действиями.
Теория инвариантов
В теории инвариантов оператор Рейнольдса R обычно является линейным оператором, удовлетворяющим
- R ( R ( φ ) ψ ) = R ( φ ) R ( ψ ) для всех φ , ψ
а также
- R (1) = 1.
Вместе эти условия означают , что R является идемпотентным : R 2 = R . Оператор Рейнольдса также обычно коммутирует с некоторым групповым действием и проецируется на инвариантные элементы этого группового действия.
Функциональный анализ
В функциональном анализе оператор Рейнольдса - это линейный оператор R, действующий на некоторой алгебре функций φ , удовлетворяющий тождеству Рейнольдса
- R ( φψ ) = R ( φ ) R ( ψ ) + R (( φ - R ( φ )) ( ψ - R ( ψ ))) для всех φ , ψ
Оператор R называется оператором усреднения, если он линейен и удовлетворяет
- R ( R ( φ ) ψ ) = R ( φ ) R ( ψ ) для всех φ , ψ .
Если R ( R ( φ )) = R ( φ ) для всех φ, то R является оператором усреднения тогда и только тогда, когда он является оператором Рейнольдса. Иногда к определению операторов Рейнольдса добавляют условие R ( R ( φ )) = R ( φ ).
Динамика жидкостей
Позволять а также - две случайные величины, и - произвольная константа. Тогда свойства, которым удовлетворяют операторы Рейнольдса, для оператора включают линейность и свойство усреднения:
- что подразумевает
Кроме того, часто предполагается, что оператор Рейнольдса коммутирует с пространственными и временными переводами:
Любой оператор, удовлетворяющий этим свойствам, является оператором Рейнольдса. [1]
Примеры
Операторы Рейнольдса часто задаются путем проецирования на инвариантное подпространство группового действия.
- «Оператор Рейнольдса», рассмотренный Рейнольдсом (1895), был по существу проекцией потока жидкости на «средний» поток жидкости, который можно рассматривать как проекцию на неизменные во времени потоки. Здесь групповое действие задается действием группы временных трансляций.
- Предположим , что G является восстановительное алгебраическая группа или компактная группа, а V представляет собой конечно-мерное представление G . Тогда G действует также на симметрической алгебре многочленов SV . Рейнольдс оператор R является G -инвариантной проекцией из SV подкольцу С.В. G неподвижных элементов G .
Рекомендации
- Кампе де Фериет, Ж. (1934), La Science Aérienne , 3 : 9–34. Отсутствует или пусто
|title=
( справка ) - Кампе де Фериет, Ж. (1935), La Science Aérienne , 4 : 12–52. Отсутствует или пусто
|title=
( справка ) - Кампе де Фериет, Ж. (1949), "Sur un problème d'algèbre abstraite posé par la definition de la moyenne dans la théorie de la turbulence", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles. Серия I. Математические, астрономические и физические науки , 63 : 165–180, ISSN 0037-959X , MR 0032718
- Рейнольдс, О. (1895 г.), «О динамической теории несжимаемых вязких жидкостей и определении критерия» (PDF) , Philosophical Transactions of the Royal Society A , 186 : 123–164, Bibcode : 1895RSPTA.186..123R , DOI : 10.1098 / rsta.1895.0004 , JSTOR 90643
- Рота, Джан-Карло (2003), Джан-Карло Рота по анализу и вероятности , Современные математики, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4275-4, MR 1944526 Перепечатывает несколько работ Роты по операторам Рейнольдса с комментариями.
- Рота, Джан-Карло (1964), «Операторы Рейнольдса», Proc. Симпозиумы. Прил. Математика. , XVI , Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc., Стр. 70–83, MR 0161140
- Штурмфельс, Бернд (1993), Алгоритмы в теории инвариантов , Тексты и монографии в символических вычислениях, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-7091-4368-1 , ISBN 978-3-211-82445-0, Руководство по ремонту 1255980