В Рейнольдс-усредненные уравнения Навье-Стокса (или АДЭ уравнения) являются усредненный по времени [а] уравнения движения для потока текучей среды . Идея, лежащая в основе уравнений, - это разложение Рейнольдса , при котором мгновенная величина разлагается на ее усредненные по времени и флуктуирующие величины, идея, впервые предложенная Осборном Рейнольдсом . [1] Уравнения RANS в основном используются для описания турбулентных течений . Эти уравнения могут использоваться с приближениями, основанными на знании свойств турбулентности потока, для получения приближенных усредненных по времени решений уравнений Навье – Стокса . Дляпри стационарном течении несжимаемой ньютоновской жидкости эти уравнения могут быть записаны в обозначениях Эйнштейна в декартовых координатах как:
Левая часть этого уравнения представляет собой изменение среднего количества движения элемента жидкости из-за неустойчивости среднего потока и конвекции из-за среднего потока. Это изменение уравновешивается средней объемной силой, изотропным напряжением из-за поля среднего давления, вязкими напряжениями и кажущимся напряжением.из-за пульсирующего поля скорости, обычно называемого напряжением Рейнольдса . Этот нелинейный член напряжения Рейнольдса требует дополнительного моделирования, чтобы закрыть уравнение RANS для решения, и привело к созданию множества различных моделей турбулентности . Оператор среднего времени- оператор Рейнольдса .
Основным инструментом, необходимым для вывода уравнений RANS из мгновенных уравнений Навье – Стокса, является разложение Рейнольдса . Разложение Рейнольдса относится к разделению переменной потока (например, скорости) в среднюю (усредненную по времени) составляющую () и флуктуирующая составляющая (). Поскольку оператор среднего является оператором Рейнольдса , у него есть набор свойств. Одно из этих свойств состоит в том, что среднее значение флуктуирующей величины равно нулю.. Таким образом,
- , где - вектор положения. Некоторые авторы [2] предпочитают использовать вместо для среднего значения (поскольку черта сверху иногда используется для обозначения вектора). В этом случае колеблющийся член вместо этого представлен . Это возможно, потому что два члена не появляются одновременно в одном и том же уравнении. Во избежание путаницы обозначения будут использоваться для представления мгновенного, среднего и колеблющегося значений соответственно.
Свойства операторов Рейнольдса полезны при выводе уравнений RANS. Используя эти свойства, уравнения движения Навье – Стокса, выраженные в тензорной записи, имеют вид (для несжимаемой ньютоновской жидкости):
где - вектор, представляющий внешние силы.
Затем каждую мгновенную величину можно разделить на усредненные по времени и флуктуирующие компоненты, и полученное уравнение усреднено по времени [b], чтобы получить:
Уравнение импульса также можно записать как, [c]
При дальнейших манипуляциях это дает,
где, - тензор средней скорости деформации.
Наконец, поскольку интегрирование по времени устраняет временную зависимость результирующих членов, необходимо исключить производную по времени, оставив:
Уравнение временной эволюции напряжения Рейнольдса определяется следующим образом: [3]
Это уравнение очень сложное. Еслиотслеживается, получена кинетическая энергия турбулентности . Последний срок- скорость турбулентной диссипации. Все модели RANS основаны на приведенном выше уравнении.