с вектором скорости потока, имеющим компоненты в координатном направлении (с обозначением компонентов вектора координат ). Средние скорости определяются либо усреднением по времени, либо усреднением по пространству, либо усреднением по ансамблю , в зависимости от исследуемого потока. Далее обозначает пульсирующую (турбулентную) часть скорости.
Рассмотрим однородную жидкость, плотность ρ которой принята постоянной. Для такой жидкости компоненты τ ' ij тензора напряжений Рейнольдса определяются как:
Другое - часто используемое - определение для постоянной плотности компонентов напряжения Рейнольдса:
который имеет размерность квадрата скорости, а не напряжения.
Учитывая скорость жидкости как функцию положения и времени, запишите среднюю скорость жидкости как , а колебание скорости равно . Тогда .
Обычные ансамблевые правила усреднения таковы, что
Один разделяет уравнения Эйлера или уравнения Навье-Стокса на среднюю и флуктуирующую части. Обнаруживается, что при усреднении уравнений жидкости напряжение в правой части появляется в форме . Это напряжение Рейнольдса, обычно записываемое :
Расходимости этого напряжения является плотностью силы на жидкость из - за колебания турбулентных.
Усреднение по Рейнольдсу уравнений Навье – Стокса [ править ]
Определяя вышеупомянутые переменные потока с помощью усредненной по времени составляющей и флуктуирующей составляющей, уравнения неразрывности и импульса становятся
а также
Рассматривая один из членов в левой части уравнения количества движения, видно, что
где последнее слагаемое в правой части обращается в нуль в результате уравнения неразрывности. Соответственно, уравнение импульса принимает вид
Теперь усредним уравнения неразрывности и импульса. Необходимо использовать ансамблевые правила усреднения, имея в виду, что среднее значение произведений флуктуирующих величин, как правило, не обращается в нуль. После усреднения уравнения неразрывности и импульса принимают вид
а также
Используя правило продукта в одном из терминов левой части, выясняется, что
где последнее слагаемое в правой части обращается в нуль в результате усредненного уравнения неразрывности. Уравнение усредненного импульса теперь после перестановки принимает вид:
где напряжения Рейнольдса, , собирают с вязкими нормальными и сдвиговыми условиями стресса, .
Уравнение временной эволюции напряжения Рейнольдса было впервые дано уравнением (1.6) в статье Чжоу Пэйюаня . [1] Уравнение в современной форме имеет вид
Это уравнение очень сложное. Если прослеживается, получается кинетическая энергия турбулентности . Последний член - скорость турбулентной диссипации.
Тогда возникает вопрос, каково значение напряжения Рейнольдса? Примерно в прошлом веке это было предметом интенсивного моделирования и интереса. Проблема распознается как проблема закрытия , сродни проблеме закрытия в иерархии BBGKY . Уравнение переноса для напряжения Рейнольдса можно найти, взяв внешнее произведение уравнений жидкости для флуктуирующей скорости с собой.
Было обнаружено, что уравнение переноса для напряжения Рейнольдса включает члены с корреляциями более высокого порядка (в частности, тройную корреляцию ), а также корреляции с флуктуациями давления (т.е. импульсом, переносимым звуковыми волнами). Распространенным решением является моделирование этих условий с помощью простых специальных рецептов.
Теория напряжения Рейнольдса совершенно аналогична кинетической теории газов , и действительно, тензор напряжений в жидкости в определенной точке можно рассматривать как среднее по ансамблю напряжения, обусловленное тепловыми скоростями молекул в данной точке в жидкость. Таким образом, по аналогии, напряжение Рейнольдса иногда рассматривается как состоящее из части изотропного давления, называемой турбулентным давлением, и недиагональной части, которую можно рассматривать как эффективную турбулентную вязкость.
Фактически, хотя много усилий было затрачено на разработку хороших моделей для напряжения Рейнольдса в жидкости, на практике при решении уравнений жидкости с использованием вычислительной гидродинамики часто самые простые модели турбулентности оказываются наиболее эффективными. Один класс моделей, тесно связанных с концепцией турбулентной вязкости, - это модели турбулентности k-epsilon , основанные на связанных уравнениях переноса для плотности турбулентной энергии (аналогично турбулентному давлению, т. Е. Следу напряжения Рейнольдса) и турбулентной плотности энергии. скорость рассеивания .
Обычно среднее значение формально определяется как среднее по ансамблю, как в статистической теории ансамбля . Однако на практике среднее значение также можно рассматривать как пространственное среднее по некоторой шкале длины или временное среднее. Следует отметить , что, хотя формально связь между таким средним оправданна в равновесной статистической механике по эргодической теореме , статистическая механика гидродинамической турбулентности в настоящее время далека от понято. Фактически, напряжение Рейнольдса в любой заданной точке турбулентной жидкости в некоторой степени подлежит интерпретации, в зависимости от того, как определить среднее значение.
Ссылки [ править ]
^ PY Chou (1945). «О корреляциях скоростей и решениях уравнений турбулентных колебаний» . Кварта. Прил. Математика . 3 : 38–54. DOI : 10,1090 / qam / 11999 .
Hinze, JO (1975). Турбулентность (2-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-029037-7.
Теннекес, Х .; Ламли, Дж. Л. (1972). Первый курс в турбулентности . MIT Press. ISBN 0-262-20019-8. CS1 maint: discouraged parameter (link)
Поуп, Стивен Б. (2000). Турбулентные течения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-59886-9.