Иерархия BBGKY

В статистической физике , то ББГКА иерархия ( Боголюбы-Борн-Грин-Кирквуд-Ивон , иногда называемые Боголюбы иерархией ) представляет собой набор уравнений , описывающих динамику системы большого числа взаимодействующих частиц. Уравнение для функции распределения s- частиц (функция плотности вероятности) в иерархии BBGKY включает ( s  + 1) -функцию распределения частиц, таким образом образуя связанную цепочку уравнений. Этот формальный теоретический результат назван в честь Николая Боголюбова , Макса Борна , Герберта С. Грина , Джона Гэмбла Кирквуда иЖак Ивон .

Формулировка [ править ]

Эволюция N -частичной системы в отсутствие квантовых флуктуаций задается уравнением Лиувилля для функции плотности вероятности в 6 N- мерном фазовом пространстве (3 пространственных и 3 импульсных координаты на частицу)${\ displaystyle f_ {N} = f_ {N} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {N}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {N}, t)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {\ mathbf {p} _ {i}} {m} } {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {i} {\ гидроразрыв {\ partial f_ {N}} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} = 0,}$

где - координаты и импульс -й частицы с массой , а результирующая сила, действующая на -й частицу, равна${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {i}, \ mathbf {p} _ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}=-\sum _{j=1\neq i}^{N}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-{\frac {\partial \Phi _{i}^{\text{ext}}}{\partial \mathbf {q} _{i}}},}$

где - парный потенциал взаимодействия между частицами, - потенциал внешнего поля. Путем интегрирования по части переменных уравнение Лиувилля можно преобразовать в цепочку уравнений, где первое уравнение связывает эволюцию одночастичной функции плотности вероятности с двухчастичной функцией плотности вероятности, второе уравнение связывает двухчастичную вероятность функция плотности с трехчастичной функцией плотности вероятности, и, как правило, s-е уравнение связывает s -частичную функцию плотности вероятности ${\displaystyle \Phi _{ij}(\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})}$${\displaystyle \Phi ^{\text{ext}}(\mathbf {q} _{i})}$

${\displaystyle f_{s}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{s},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{s},t)=\int f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)\,d\mathbf {q} _{s+1}\dots d\mathbf {q} _{N}\,d\mathbf {p} _{s+1}\dots d\mathbf {p} _{N}}$

с ( s  + 1) -частичной функцией плотности вероятности:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{s}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-\sum _{i=1}^{s}\left(\sum _{j=1\neq i}^{s}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+{\frac {\partial \Phi _{i}^{ext}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=(N-s)\sum _{i=1}^{s}\int {\frac {\partial \Phi _{i\,s+1}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}{\frac {\partial f_{s+1}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\,d\mathbf {q} _{s+1}\,d\mathbf {p} _{s+1}.}$

Приведенное выше уравнение для функции распределения s- частиц получается интегрированием уравнения Лиувилля по переменным . Проблема с приведенным выше уравнением в том, что оно не закрыто. Чтобы решить , нужно знать , что, в свою очередь, требует решения и полного возврата к полному уравнению Лиувилля. Однако можно решить , если моделировать. Одним из таких случаев является уравнение Больцмана для , где моделируется на основе гипотезы молекулярного хаоса ( Stosszahlansatz ). Фактически, в уравнении Больцмана${\displaystyle \mathbf {q} _{s+1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{s+1}\dots \mathbf {p} _{N}}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle f_{s+1}}$${\displaystyle f_{s+2}}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle f_{s+1}}$${\displaystyle f_{1}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {p} _{1},t)}$${\displaystyle f_{2}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},t)}$${\displaystyle f_{2}=f_{2}(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p_{2}} ,t)}$- интеграл столкновений. Этот предельный процесс получения уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля известен как предел Больцмана – Града . ^[1]

Физическая интерпретация и приложения [ править ]

Схематично уравнение Лиувилля дает нам эволюцию во времени для всей системы частиц в форме , которая выражает несжимаемый поток плотности вероятности в фазовом пространстве. Затем мы определяем приведенные функции распределения постепенно, интегрируя степени свободы другой частицы . Уравнение в иерархии BBGKY говорит нам, что эволюция во времени для такого a , следовательно, задается уравнением типа Лиувилля, но с поправочным членом, который представляет силовое влияние подавленных частиц ${\displaystyle N}$${\displaystyle Df_{N}=0}$${\displaystyle f_{s}\sim \int f_{s+1}}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle N-s}$

${\displaystyle Df_{s}\propto {\text{div}}_{\mathbf {p} }\langle {\text{grad}}_{\mathbf {q} }\Phi _{i,s+1}\rangle _{f_{s+1}}.}$

Проблема решения иерархии уравнений ББГКИ так же сложна, как и решение исходного уравнения Лиувилля, но приближения для иерархии ББГКИ (которые позволяют усечь цепочку в конечную систему уравнений) могут быть легко сделаны. Достоинством этих уравнений является то, что более высокие функции распределения влияют на временную эволюцию только неявно через усечение цепочки BBGKY, которая является общей отправной точкой для многих приложений кинетической теории, которые могут быть использованы для вывода классических ^{[2] [3]} или квантовые ^[4] кинетические уравнения. В частности, усечение по первому уравнению или первым двум уравнениям можно использовать для вывода классических и квантовых уравнений Больцмана.${\displaystyle f_{s+2},f_{s+3},\dots }$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle f_{s+1}.}$и поправки первого порядка к уравнениям Больцмана. Другие приближения, такие как предположение о том, что функция вероятности плотности зависит только от относительного расстояния между частицами или предположение о гидродинамическом режиме, также могут сделать цепочку BBGKY доступной для решения. ^[5]

Библиография [ править ]

Функции распределения s- частиц были введены в классическую статистическую механику Дж. Ивоном в 1935 году. ^[6] Иерархия уравнений ББГКИ для функций распределения s- частиц была выписана и применена к выводу кинетических уравнений Боголюбовым в статье, полученной на Июль 1945 г., опубликовано в 1946 г. на русском ^[2] и английском языках. ^[3] Кинетическая теория переноса была рассмотрена Кирквудом в статье ^[7], полученной в октябре 1945 г. и опубликованной в марте 1946 г., и в последующих статьях. ^[8] Первая статья Борна и Грина, посвященная общей кинетической теории жидкостей, была получена в феврале 1946 года и опубликована 31 декабря 1946 года.^[9]

См. Также [ править ]

• Уравнение Фоккера – Планка.
• Уравнение Власова

Ссылки [ править ]