Уравнение Больцмана

Место кинетического уравнения Больцмана на ступенях редукции моделей от микроскопической динамики к макроскопической континуальной динамике (иллюстрация к содержанию книги ^[1] )

Уравнение Больцмана или уравнение переноса Больцмана ( BTE ) описывает статистическое поведение термодинамической системы, не находящейся в состоянии равновесия , разработанное Людвигом Больцманом в 1872 году. ^[2] Классическим примером такой системы является жидкость с градиентами температуры в пространстве. заставляя тепло течь из более горячих областей в более холодные, за счет случайного, но смещенного переноса частицсоставляя эту жидкость. В современной литературе термин уравнение Больцмана часто используется в более общем смысле, имея в виду любое кинетическое уравнение, которое описывает изменение макроскопической величины в термодинамической системе, такой как энергия, заряд или число частиц.

Уравнение возникает не путем анализа отдельных положений и импульсов каждой частицы в жидкости, а, скорее, путем рассмотрения распределения вероятностей для положения и импульса типичной частицы, то есть вероятности того, что частица занимает заданную очень маленькую область пространства. (математически элемент объема ) с центром в этом положении и имеет импульс, почти равный заданному вектору импульса (таким образом, занимая очень небольшую область импульсного пространства ) в момент времени.${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} {\ bf {r}}}$${\ displaystyle {\ bf {r}}}$${\ displaystyle {\ bf {p}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} {\ bf {p}}}$

Уравнение Больцмана можно использовать для определения того, как изменяются физические величины, такие как тепловая энергия и импульс , когда жидкость перемещается. Можно также получить другие свойства, характерные для жидкостей, такие как вязкость , теплопроводность и электропроводность (рассматривая носители заряда в материале как газ). ^[2] См. Также уравнение конвекции – диффузии .

Уравнение представляет собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение , а неизвестная функция в уравнении представляет собой функцию плотности вероятности в шестимерном пространстве положения и количества движения частицы. Проблема существования и уникальности решений до сих пор полностью не решена, но некоторые недавние результаты весьма многообещающие. ^{[3] [4]}

Обзор [ править ]

Фазовое пространство и функция плотности [ править ]

Множество всех возможных положений r и импульсов p называется фазовым пространством системы; другими словами, набор из трех координат для каждой координаты положения x, y, z и еще трех для каждой компоненты импульса p _x , p _y , p _z . Все пространство 6- мерное : точка в этом пространстве ( r , p ) = ( x, y, z, p _x , p _y , p _z ), и каждая координата параметризована временем t . Небольшой объем («дифференциалэлемент тома ") написано

${\displaystyle {\text{d}}^{3}\mathbf {r} \,{\text{d}}^{3}\mathbf {p} ={\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\,{\text{d}}p_{x}\,{\text{d}}p_{y}\,{\text{d}}p_{z}.}$

Поскольку вероятность N молекул , которые все имеют р и р в пределах находится под вопросом, в основе уравнения является величиной F , которая дает эту вероятность на единицу объема фазового пространства, или вероятность на единицу длины в кубе на единицу импульса в кубе, в момент времени t . Это функция плотности вероятности : f ( r , p , t ), определенная так, что,${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}{\bf {r}}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}{\bf {p}}}$

${\displaystyle {\text{d}}N=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,{\text{d}}^{3}\mathbf {r} \,{\text{d}}^{3}\mathbf {p} }$

- количество молекул, каждая из которых имеет позиции, лежащие в элементе объема около r, и импульсы, лежащие в пределах элемента пространства импульсов около p , в момент времени t . ^[5] Интегрирование по области позиционного пространства и импульсного пространства дает общее количество частиц, которые имеют позиции и импульсы в этой области:${\displaystyle d^{3}{\bf {r}}}$${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}{\bf {p}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N&=\int \limits _{\mathrm {momenta} }{\text{d}}^{3}\mathbf {p} \int \limits _{\mathrm {positions} }{\text{d}}^{3}\mathbf {r} \,f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\\[5pt]&=\iiint \limits _{\mathrm {momenta} }\quad \iiint \limits _{\mathrm {positions} }f(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\,{\text{d}}p_{x}\,{\text{d}}p_{y}\,{\text{d}}p_{z}\end{aligned}}}$

который представляет собой шестикратный интеграл . В то время как f связано с несколькими частицами, фазовое пространство предназначено для одной частицы (не для всех, что обычно имеет место в детерминированных системах многих тел ), поскольку речь идет только об одном r и p . Использование r ₁ , p ₁ для частицы 1, r ₂ , p ₂ для частицы 2 и т. Д. До r _N , p _N для частицы N не является частью анализа .

Предполагается, что частицы в системе идентичны (т.е. каждая имеет одинаковую массу m ). Для смеси более чем одного химического вещества требуется одно распределение для каждого, см. Ниже.

Основное заявление [ править ]

Тогда общее уравнение можно записать как ^[6]

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{force}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{diff}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},}$

где термин "сила" соответствует силам, действующим на частицы внешним воздействием (не самими частицами), термин "diff" представляет собой диффузию частиц, а термин "coll" представляет собой термин столкновения - с учетом сил действующие между частицами при столкновениях. Выражения для каждого члена с правой стороны приведены ниже. ^[6]

Обратите внимание, что некоторые авторы используют скорость частицы v вместо импульса p ; они связаны в определении импульса соотношением p = m v .

Условия силы и диффузии [ править ]

Рассмотрим частицы, описываемые f , каждая из которых испытывает внешнюю силу F, не связанную с другими частицами (см. Термин столкновения для последней трактовки).

Предположим, что в момент t некоторое количество частиц все имеют положение r внутри элемента и импульс p внутри . Если сила F мгновенно действует на каждую частицу, то в момент времени t + Δ t их положение будет r + Δ r = r + p Δ t / m, а импульс p + Δ p = p + F Δ t . Тогда в отсутствие столкновений f должна удовлетворять${\displaystyle d^{3}{\bf {r}}}$${\displaystyle d^{3}{\bf {p}}}$

${\displaystyle f\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,\Delta t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \,\Delta t,t+\Delta t\right)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$

Обратите внимание, что мы использовали тот факт, что элемент объема фазового пространства является постоянным, что может быть показано с помощью уравнений Гамильтона (см. Обсуждение теоремы Лиувилля ). Однако, так как происходят столкновения, плотность частиц в объеме фазового пространства  ' изменяется, так${\displaystyle d^{3}{\bf {r}}}$ ${\displaystyle d^{3}{\bf {p}}}$${\displaystyle d^{3}{\bf {r}}}$${\displaystyle d^{3}{\bf {p}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}dN_{\mathrm {coll} }&=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }\Delta td^{3}\mathbf {r} d^{3}\mathbf {p} \\[5pt]&=f\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\Delta t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \Delta t,t+\Delta t\right)d^{3}\mathbf {r} d^{3}\mathbf {p} -f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} \\[5pt]&=\Delta f\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} \end{aligned}}}$

( 1 )

где Δ f - полное изменение f . Разделив ( 1 ) на  Δ t и взяв пределы Δ t → 0 и Δ f → 0, имеем${\displaystyle d^{3}{\bf {r}}}$ ${\displaystyle d^{3}{\bf {p}}}$

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }}$

( 2 )

Общие дифференциальный из F является:

${\displaystyle {\begin{aligned}df&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz\right)+\left({\frac {\partial f}{\partial p_{x}}}\,dp_{x}+{\frac {\partial f}{\partial p_{y}}}\,dp_{y}+{\frac {\partial f}{\partial p_{z}}}\,dp_{z}\right)\\[5pt]&={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+\nabla f\cdot d\mathbf {r} +{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot d\mathbf {p} \\[5pt]&={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+\nabla f\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}dt+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} \,dt\end{aligned}}}$

( 3 )

где ∇ - оператор градиента , · - скалярное произведение ,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\mathbf {\hat {e}} _{x}{\frac {\partial f}{\partial p_{x}}}+\mathbf {\hat {e}} _{y}{\frac {\partial f}{\partial p_{y}}}+\mathbf {\hat {e}} _{z}{\frac {\partial f}{\partial p_{z}}}=\nabla _{\mathbf {p} }f}$

является сокращением для импульсного аналога ∇, а ê _x , ê _y , ê _z - декартовы единичные векторы .

Заключительное заявление [ править ]

Разделив ( 3 ) на dt и подставив в ( 2 ), получим:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }}$

В этом контексте F ( r , t ) - это силовое поле, действующее на частицы в жидкости, а m - масса частиц. Термин справа добавлен для описания эффекта столкновения между частицами; если он равен нулю, то частицы не сталкиваются. Бесстолкновительное уравнение Больцмана, в котором индивидуальные столкновения заменяются агрегированными на больших расстояниях взаимодействиями, например кулоновскими взаимодействиями , часто называют уравнением Власова .

Это уравнение более полезно, чем основное уравнение, приведенное выше, но все еще неполное, поскольку f не может быть решено, если не известен член столкновения в f . Этот термин не может быть найден так же легко или обобщенно, как другие - это статистический термин, представляющий столкновения частиц, и требует знания статистики, которой подчиняются частицы, например, распределения Максвелла – Больцмана , Ферми – Дирака или Бозе – Эйнштейна .

Термин столкновения (Stosszahlansatz) и молекулярный хаос [ править ]

Термин столкновения двух тел [ править ]

Ключевой вывод, примененный Больцманом, состоял в том, чтобы определить член столкновения, возникающий исключительно в результате столкновения двух тел между частицами, которые, как предполагается, не коррелировали до столкновения. Это предположение было названо Больцманом « Stosszahlansatz » и также известно как « предположение молекулярного хаоса ». При таком предположении член столкновения может быть записан как интеграл импульсного пространства по произведению одночастичных функций распределения: ^[2]

${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}=\iint gI(g,\Omega )[f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{B},t)-f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{B},t)]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p} _{A}\,d^{3}\mathbf {p} _{B},}$

где p _A и p _B - импульсы любых двух частиц ( для удобства обозначены как A и B ) до столкновения, p ′ _A и p ′ _B - импульсы после столкновения,

${\displaystyle g=|\mathbf {p} _{B}-\mathbf {p} _{A}|=|\mathbf {p'} _{B}-\mathbf {p'} _{A}|}$

- величина относительных импульсов ( подробнее об этой концепции см. в разделе относительная скорость ), а I ( g , Ω) - дифференциальное сечение столкновения, в котором относительные импульсы сталкивающихся частиц превращаются на угол θ в элемент телесного угла d Ω из-за столкновения.

Упрощения термина столкновения [ править ]

Поскольку большая часть проблемы при решении уравнения Больцмана возникает из-за сложного члена столкновения, были предприняты попытки «смоделировать» и упростить член столкновения. Наиболее известное модельное уравнение принадлежит Бхатнагару, Гроссу и Круку. ^[7] Предположение в приближении BGK состоит в том, что эффект молекулярных столкновений должен заставить неравновесную функцию распределения в точке физического пространства вернуться к максвелловской равновесной функции распределения, и что скорость, с которой это происходит, пропорциональна частота столкновений молекул. Таким образом, уравнение Больцмана модифицируется к форме BGK:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\nu (f_{0}-f),}$

где - частота столкновений молекул, а - локальная максвелловская функция распределения с учетом температуры газа в этой точке пространства.${\displaystyle \nu }$${\displaystyle f_{0}}$

Общее уравнение (для смеси) [ править ]

Для смеси химических веществ, обозначенных индексами i = 1, 2, 3, ..., n, уравнение для вида i имеет вид ^[2]

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m_{i}}}\cdot \nabla f_{i}+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},}$

где f _i = f _i ( r , p _i , t ), а член столкновения равен

${\displaystyle \left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }=\sum _{j=1}^{n}\iint g_{ij}I_{ij}(g_{ij},\Omega )[f'_{i}f'_{j}-f_{i}f_{j}]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p'} ,}$

где f ′ = f ′ ( p ′ _i , t ), величина относительных импульсов равна

${\displaystyle g_{ij}=|\mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{j}|=|\mathbf {p'} _{i}-\mathbf {p'} _{j}|,}$

и я _IJ это дифференциальное сечение, как и раньше, между частицами я и J . Интегрирование ведется по компонентам импульса в подынтегральном выражении (которые обозначены i и j ). Сумма интегралов описывает вход и выход частиц вида i в элемент фазового пространства или из него.

Приложения и расширения [ править ]

Уравнения сохранения [ править ]

Уравнение Больцмана может использоваться для вывода законов сохранения гидродинамики для массы, заряда, импульса и энергии. ^{[8] : p 163} Для жидкости, состоящей только из частиц одного вида, числовая плотность n определяется как

${\displaystyle n=\int f\,d^{3}p.}$

Среднее значение любой функции A равно

${\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{n}}\int Af\,d^{3}p.}$

Поскольку уравнения сохранения включают тензоры, будет использоваться соглашение Эйнштейна о суммировании, когда повторяющиеся индексы в произведении указывают на суммирование по этим индексам. Таким образом, и , где - вектор скорости частицы. Определим как некоторую функцию только от количества движения , которое сохраняется при столкновении. Предположим также, что сила является функцией только положения и что f равно нулю для . Умножение уравнения Больцмана на A и интегрирование по импульсу дает четыре члена, которые, используя интегрирование по частям, можно выразить как${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto x_{i}}$${\displaystyle \mathbf {p} \mapsto p_{i}=mw_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle A(p_{i})}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle p_{i}\to \pm \infty }$

${\displaystyle \int A{\frac {\partial f}{\partial t}}\,d^{3}p={\frac {\partial }{\partial t}}(n\langle A\rangle ),}$

${\displaystyle \int {\frac {p_{j}A}{m}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\,d^{3}p={\frac {1}{m}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n\langle Ap_{j}\rangle ),}$

${\displaystyle \int AF_{j}{\frac {\partial f}{\partial p_{j}}}\,d^{3}p=-nF_{j}\left\langle {\frac {\partial A}{\partial p_{j}}}\right\rangle ,}$

${\displaystyle \int A\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}\,d^{3}p=0,}$

где последний член равен нулю, поскольку A сохраняется при столкновении. Допуская массу частицы, интегральное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения массы: ^{[8] : pp 12,168}${\displaystyle A=m}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho +{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{j})=0,}$

где - массовая плотность, - средняя скорость жидкости.${\displaystyle \rho =mn}$${\displaystyle V_{i}=\langle w_{i}\rangle }$

Допуская импульс частицы, интегральное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения импульса: ^{[8] : pp 15,169}${\displaystyle A=p_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{i}V_{j}+P_{ij})-nF_{i}=0,}$

где - тензор давления (тензор вязких напряжений плюс гидростатическое давление ).${\displaystyle P_{ij}=\rho \langle (w_{i}-V_{i})(w_{j}-V_{j})\rangle }$

Допустим , кинетическая энергия частицы, интегральное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения энергии: ^{[8] : pp 19,169}${\displaystyle A={\frac {p_{i}p_{i}}{2m}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(u+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(uV_{j}+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i}V_{j}+J_{qj}+P_{ij}V_{i})-nF_{i}V_{i}=0,}$

где - плотность кинетической тепловой энергии, - вектор теплового потока.${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (w_{i}-V_{i})(w_{i}-V_{i})\rangle }$${\displaystyle J_{qi}={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (w_{i}-V_{i})(w_{k}-V_{k})(w_{k}-V_{k})\rangle }$

Гамильтонова механика [ править ]

В гамильтоновой механике уравнение Больцмана часто записывается в более общем виде как

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}[f]=\mathbf {C} [f],\,}$

где L - оператор Лиувилля (существует несовместимое определение между оператором Лиувилля, как определено здесь, и оператором, указанным в статье, ссылка на который есть), описывающим эволюцию объема фазового пространства, а C - оператор столкновения. Нерелятивистская форма L имеет вид

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.}$

Квантовая теория и нарушение сохранения числа частиц [ править ]

Можно записать релятивистские квантовые уравнения Больцмана для релятивистских квантовых систем, в которых число частиц не сохраняется при столкновениях. Это имеет несколько приложений в физической космологии , ^[9] , включая формирование световых элементов в Большом Взрыве нуклеосинтеза , производство темной материи и бариогенезиса . Априори не ясно, может ли состояние квантовой системы быть охарактеризовано классической плотностью фазового пространства f . Однако для широкого класса приложений корректно определенное обобщение fсуществует, которое является решением эффективного уравнения Больцмана, которое может быть получено из первых принципов квантовой теории поля . ^[10]

Общая теория относительности и астрономия [ править ]

Уравнение Больцмана полезно в галактической динамике. Галактика при определенных предположениях может быть представлена ​​как сплошная жидкость; тогда его массовое распределение представлено буквой f ; в галактиках физические столкновения между звездами очень редки, и эффектом гравитационных столкновений можно пренебречь в течение времени, намного превышающего возраст Вселенной .

Его обобщение в общей теории относительности . ^[11] - это

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }=p^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}-\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial }{\partial p^{\alpha }}},}$

где Γ ^α _βγ - символ Кристоффеля второго рода (это предполагает отсутствие внешних сил, так что частицы движутся по геодезическим в отсутствие столкновений), с важной тонкостью, заключающейся в том, что плотность является функцией смешанной контравариантно-ковариантной ( x ⁱ , p _i ) фазовое пространство в отличие от полностью контравариантного ( x ⁱ , p ⁱ ) фазового пространства. ^{[12] [13]}

В физической космологии для изучения космического микроволнового фонового излучения использовался полностью ковариантный подход. ^{[14] В} более общем плане при изучении процессов в ранней Вселенной часто пытаются принять во внимание эффекты квантовой механики и общей теории относительности . ^[9] В очень плотной среде, образованной первичной плазмой после Большого взрыва , частицы непрерывно создаются и аннигилируют. В такой среде квантовая когерентность и пространственное расширение волновой функции могут влиять на динамику, что делает сомнительным, что классическое распределение f в фазовом пространствекоторое появляется в уравнении Больцмана, подходит для описания системы. Однако во многих случаях можно вывести эффективное уравнение Больцмана для обобщенной функции распределения из первых принципов квантовой теории поля . ^[10] Это включает образование легких элементов в нуклеосинтезе Большого взрыва , производство темной материи и бариогенез .

Решение уравнения [ править ]

Доказано, что в некоторых случаях существуют точные решения уравнений Больцмана; ^[15] этот аналитический подход обеспечивает понимание, но обычно не используется в практических задачах.

Вместо этого численные методы (включая методы конечных элементов и решеточные методы Больцмана ) обычно используются для поиска приближенных решений различных форм уравнения Больцмана. Примеры приложений варьируются от гиперзвуковой аэродинамики в потоках разреженного газа ^{[16] [17]} до потоков плазмы. ^[18] Одним из приложений уравнения Больцмана в электродинамике является вычисление электропроводности - результат в первом порядке совпадает с полуклассическим результатом. ^[19]

Близкое к локальному равновесию решение уравнения Больцмана может быть представлено асимптотическим разложением по степеням числа Кнудсена ( разложение Чепмена-Энскога ^[20] ). Первые два члена этого разложения дают уравнения Эйлера и уравнения Навье-Стокса . У высших членов есть особенности. Проблема математического развития предельных процессов, которые ведут от атомистической точки зрения (представленной уравнением Больцмана) к законам движения сплошных сред, является важной частью шестой проблемы Гильберта . ^[21]

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Харрис, Стюарт (1971). Введение в теорию уравнения Больцмана . Dover Книги. п. 221. ISBN. 978-0-486-43831-3.. Очень недорогое введение в современный каркас (начиная с формального вывода из Лиувилля и иерархии Боголюбова – Борна – Грина – Кирквуда – Ивона (BBGKY), в которую помещено уравнение Больцмана). Большинство учебников статистической механики, таких как Хуанг, по-прежнему рассматривают эту тему, используя оригинальные аргументы Больцмана. Для вывода уравнения в этих книгах используется эвристическое объяснение, которое не раскрывает диапазон применимости и характерные допущения, которые отличают уравнения Больцмана от других уравнений переноса, таких как уравнения Фоккера – Планка или Ландау .

• Аркерид, Лейф (1972). «Об уравнении Больцмана часть I: Существование». Arch. Rational Mech. Анальный . 45 (1): 1–16. Bibcode : 1972ArRMA..45 .... 1A . DOI : 10.1007 / BF00253392 . S2CID  117877311 .
• Аркерид, Лейф (1972). «Об уравнении Больцмана, часть II: Полная начальная задача». Arch. Rational Mech. Анальный . 45 (1): 17–34. Bibcode : 1972ArRMA..45 ... 17А . DOI : 10.1007 / BF00253393 . S2CID  119481100 .
• Аркерид, Лейф (1972). «Об уравнении Больцмана часть I: Существование». Arch. Rational Mech. Анальный . 45 (1): 1–16. Bibcode : 1972ArRMA..45 .... 1A . DOI : 10.1007 / BF00253392 . S2CID  117877311 .
• ДиПерна, Р.Дж.; Львов, П.-Л. (1989). «О задаче Коши для уравнений Больцмана: глобальное существование и слабая устойчивость». Анна. математики . 2. 130 (2): 321–366. DOI : 10.2307 / 1971423 . JSTOR  1971423 .

Внешние ссылки [ править ]

• Уравнение переноса Больцмана Франца Веселы
• Больцмановское поведение газов решено