Напряжение Рейнольдса

В динамике жидкости , то напряжение Рейнольдса является компонентом общего тензора напряжений в жидкости , полученной из операции усреднения по уравнений Навье-Стокса для учета турбулентных флуктуаций в жидкости импульса .

Определение [ править ]

Поле скорости потока можно разделить на среднюю часть и пульсирующую часть с помощью разложения Рейнольдса . Мы пишем

${\ displaystyle u_ {i} = {\ overline {u_ {i}}} + u_ {i} ', \,}$

с вектором скорости потока, имеющим компоненты в координатном направлении (с обозначением компонентов вектора координат ). Средние скорости определяются либо усреднением по времени, либо усреднением по пространству, либо усреднением по ансамблю , в зависимости от исследуемого потока. Далее обозначает пульсирующую (турбулентную) часть скорости.${\ Displaystyle \ mathbf {и} (\ mathbf {x}, т)}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle {\ overline {u_ {i}}}}$${\ displaystyle u '_ {я}}$

Рассмотрим однородную жидкость, плотность ρ которой принята постоянной. Для такой жидкости компоненты τ ' _ij тензора напряжений Рейнольдса определяются как:

${\displaystyle \tau '_{ij}\equiv \rho \,{\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

Другое - часто используемое - определение для постоянной плотности компонентов напряжения Рейнольдса:

${\displaystyle \tau ''_{ij}\equiv {\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

который имеет размерность квадрата скорости, а не напряжения.

Усреднение и напряжение Рейнольдса [ править ]

Для иллюстрации используется обозначение декартовых векторных индексов. Для простоты рассмотрим несжимаемую жидкость :

Учитывая скорость жидкости как функцию положения и времени, запишите среднюю скорость жидкости как , а колебание скорости равно . Тогда .${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$${\displaystyle u'_{i}}$${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u'_{i}}$

Обычные ансамблевые правила усреднения таковы, что

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\bar {a}}}&={\bar {a}},\\{\overline {a+b}}&={\bar {a}}+{\bar {b}},\\{\overline {a{\bar {b}}}}&={\bar {a}}{\bar {b}}.\end{aligned}}}$

Один разделяет уравнения Эйлера или уравнения Навье-Стокса на среднюю и флуктуирующую части. Обнаруживается, что при усреднении уравнений жидкости напряжение в правой части появляется в форме . Это напряжение Рейнольдса, обычно записываемое :${\displaystyle \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$${\displaystyle R_{ij}}$

${\displaystyle R_{ij}\ \equiv \ \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$

Расходимости этого напряжения является плотностью силы на жидкость из - за колебания турбулентных.

Усреднение по Рейнольдсу уравнений Навье – Стокса [ править ]

Например, для несжимаемой, вязкой , ньютоновской жидкости , в непрерывности и импульс уравнения-несжимаемый Навий-Стокс -можны быть записаны (в неконсервативной форме) , как

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0,}$

и

${\displaystyle \rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right),}$

где - лагранжева производная или субстанциальная производная ,${\displaystyle D/Dt}$

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.}$

Определяя вышеупомянутые переменные потока с помощью усредненной по времени составляющей и флуктуирующей составляющей, уравнения неразрывности и импульса становятся

${\displaystyle {\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{i}}}=0,}$

и

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

Рассматривая один из членов в левой части уравнения количества движения, видно, что

${\displaystyle \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}-\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}},}$

где последнее слагаемое в правой части обращается в нуль в результате уравнения неразрывности. Соответственно, уравнение импульса принимает вид

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

Теперь усредним уравнения неразрывности и импульса. Необходимо использовать ансамблевые правила усреднения, имея в виду, что среднее значение произведений флуктуирующих величин, как правило, не обращается в нуль. После усреднения уравнения неразрывности и импульса принимают вид

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0,}$

и

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}{\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

Используя правило продукта в одном из терминов левой части, выясняется, что

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}={\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{i}}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}},}$

где последнее слагаемое в правой части обращается в нуль в результате усредненного уравнения неразрывности. Уравнение усредненного импульса теперь после перестановки принимает вид:

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}-\rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}\right),}$

где напряжения Рейнольдса, , собирают с вязкими нормальными и сдвиговыми условиями стресса, .${\displaystyle \rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}$${\displaystyle \mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}}$

Обсуждение [ править ]

Уравнение временной эволюции напряжения Рейнольдса было впервые дано уравнением (1.6) в статье Чжоу Пэйюаня . ^[1] Уравнение в современной форме имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}=-{\overline {u_{i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline {u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}+{\overline {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}}-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)-2\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$

Это уравнение очень сложное. Если прослеживается, получается кинетическая энергия турбулентности . Последний член - скорость турбулентной диссипации.${\displaystyle {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$${\displaystyle \nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$

Тогда возникает вопрос, каково значение напряжения Рейнольдса? Примерно в прошлом веке это было предметом интенсивного моделирования и интереса. Проблема распознается как проблема закрытия , сродни проблеме закрытия в иерархии BBGKY . Уравнение переноса для напряжения Рейнольдса можно найти, взяв внешнее произведение уравнений жидкости для флуктуирующей скорости с собой.

Было обнаружено, что уравнение переноса для напряжения Рейнольдса включает члены с корреляциями более высокого порядка (в частности, тройную корреляцию ), а также корреляции с флуктуациями давления (т.е. импульсом, переносимым звуковыми волнами). Распространенным решением является моделирование этих условий с помощью простых специальных рецептов.${\displaystyle {\overline {v'_{i}v'_{j}v'_{k}}}}$

Теория напряжения Рейнольдса совершенно аналогична кинетической теории газов , и действительно, тензор напряжений в жидкости в определенной точке можно рассматривать как среднее по ансамблю напряжения, обусловленного тепловыми скоростями молекул в данной точке в жидкость. Таким образом, по аналогии, напряжение Рейнольдса иногда рассматривается как состоящее из части изотропного давления, называемой турбулентным давлением, и недиагональной части, которую можно рассматривать как эффективную турбулентную вязкость.

Фактически, хотя много усилий было затрачено на разработку хороших моделей для напряжения Рейнольдса в жидкости, на практике при решении уравнений жидкости с использованием вычислительной гидродинамики часто самые простые модели турбулентности оказываются наиболее эффективными. Один класс моделей, тесно связанных с концепцией турбулентной вязкости, - это модели турбулентности k-epsilon , основанные на связанных уравнениях переноса для плотности турбулентной энергии (аналогично турбулентному давлению, т. Е. Следу напряжения Рейнольдса) и турбулентной плотности энергии. скорость рассеивания .${\displaystyle k}$${\displaystyle \epsilon }$

Обычно среднее значение формально определяется как среднее по ансамблю, как в статистической теории ансамбля . Однако на практике среднее значение также можно рассматривать как среднее пространственное значение по некоторой шкале длины или среднее значение во времени. Следует отметить , что, хотя формально связь между таким средним оправданна в равновесной статистической механике по эргодической теореме , статистическая механика гидродинамической турбулентности в настоящее время далека от понято. Фактически, напряжение Рейнольдса в любой заданной точке турбулентной жидкости в некоторой степени подлежит интерпретации, в зависимости от того, как определить среднее значение.

Ссылки [ править ]