Линия румба

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Поиск источников:  «Rhumb line»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Изображение локсодромы, или линии румба, уходящей по спирали к Северному полюсу.

В навигации , в прямой линии , Rhumb , ( / г ʌ м / ) или локсодромии является дуга пересечения всех меридианов по долготе в том же угле , то есть, путь с постоянным подшипником , измеренными по отношению к истинному северу .

Введение [ править ]

Эффект следования прямой линии на поверхности земного шара был впервые обсужден португальским математиком Педро Нунесом в 1537 году в его « Трактате в защиту морской карты» с дальнейшим математическим развитием Томасом Харриотом в 1590-х годах.

Линию румба можно противопоставить большому кругу , который представляет собой путь кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности сферы. На большом круге пеленг на пункт назначения не остается постоянным. Если бы кто-то вел машину по большому кругу, он бы держал руль неподвижным, но чтобы следовать по прямой линии, нужно было бы повернуть колесо, поворачивая его более резко по мере приближения к полюсам. Другими словами, большая окружность локально "прямая" с нулевой геодезической кривизной , тогда как прямая линия имеет ненулевую геодезическую кривизну.

Меридианы долготы и параллели широты представляют собой особые случаи прямой линии, где их углы пересечения составляют соответственно 0 ° и 90 °. На проходе с севера на юг курс румба совпадает с большим кругом, как и на проходе с востока на запад вдоль экватора .

На карте проекции Меркатора любая прямая линия является прямой линией; на такой карте можно провести прямую линию между любыми двумя точками на Земле, не выходя за край карты. Но теоретически локсодрома может выходить за правый край карты, где она затем продолжается у левого края с тем же уклоном (при условии, что карта покрывает ровно 360 градусов долготы).

Линии румба, которые пересекают меридианы под косыми углами, представляют собой локсодромные кривые, которые спирально направляются к полюсам. ^[1] В проекции Меркатора северный и южный полюса находятся на бесконечности и поэтому никогда не отображаются. Однако полная локсодрома на бесконечно высокой карте будет состоять из бесконечного числа отрезков прямых между двумя краями. На карте стереографической проекции локсодрома представляет собой равноугольную спираль , центр которой находится на северном или южном полюсе.

Все локсодромы переходят от одного полюса к другому по спирали . Вблизи полюсов они близки к логарифмическим спиралям (которые они точно представляют на стереографической проекции , см. Ниже), поэтому они наматываются вокруг каждого полюса бесконечное количество раз, но достигают полюса на конечном расстоянии. Межполюсная длина локсодрома (в предположении идеальной сферы ) - это длина меридиана, деленная на косинус направления от истинного севера. Локсодромы на полюсах не определяются.

• Три вида межполюсной локсодромии

Этимология и историческое описание [ править ]

Слово локсодромия происходит от древнегреческого λοξός loxós : «косой» + δρόμος drómos : «бегать» (от δραμεῖν drameîn : «бегать»). Слово румба может исходить от испанского или португальского Rumbo / РУМО ( «курс» или «направление») и греческий ῥόμβος rhómbos , ^[2] с rhémbein .

Издание 1878 года «Глобус Энциклопедия универсальной информации» описывает линию локсодромии как: ^[3]

Локсодромическая линия - это кривая, которая разрезает каждый член системы линий кривизны данной поверхности под одним и тем же углом. Корабль, идущий к одной и той же точке компаса, описывает такую ​​линию, которая пересекает все меридианы под одинаковым углом. В проекции Меркатора (см.) Локсодромические линии, очевидно, прямые. ^[3]

Может возникнуть недоразумение, потому что термин «румб» не имел точного значения, когда он вошел в употребление. Он одинаково хорошо относился к линиям розы ветров, как и к локсодромам, потому что этот термин применялся только «локально» и означал только то, что делал моряк для плавания с постоянным пеленгом , со всей связанной с этим неточностью. Следовательно, «румба» применялась к прямым линиям на портоланах, когда использовались портоланы, а также всегда применялась к прямым линиям на картах Меркатора. Для коротких расстояний «румбы» с пороланом существенно не отличаются от румбов Меркатора, но в наши дни «румб» является синонимом математически точного «локсодрома», потому что ретроспективно его сделали синонимом.

Как заявляет Лео Багроу: ^[4] «... слово ('Rhumbline') неправильно применяется к морским картам этого периода, поскольку локсодромия дает точный курс только тогда, когда карта построена на подходящей проекции. Картометрическое исследование показал, что в ранних графиках не использовалось проекции, поэтому мы сохраняем название «портолан» ».

Математическое описание [ править ]

Для сферы радиуса 1 азимутальный и полярный углы λ и -π/2≤ φ ≤π/2(определяется здесь, чтобы соответствовать широте) и декартовы единичные векторы i , j и k могут использоваться для записи радиус-вектора r как

${\displaystyle \mathbf {r} (\lambda ,\varphi )=(\cos {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {i} +(\sin {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {j} +(\sin {\varphi })\mathbf {k} \,.}$

Ортогональные единичные векторы в азимутальном и полярном направлениях сферы можно записать

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}(\lambda ,\varphi )&=\sec {\varphi }{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,,\end{aligned}}}$

у которых есть скалярные произведения

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}={\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot \mathbf {r} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\cdot \mathbf {r} =0\,.}$

λ̂ для постоянного φ определяет параллель широты, а φ̂ для постоянного λ определяет меридиан долготы, и вместе они образуют плоскость, касательную к сфере.

Единичный вектор

${\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\hat {\beta }}} (\lambda ,\varphi )=(\sin {\beta }){\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta }){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

имеет постоянный угол β с единичным вектором φ̂ для любых λ и φ , поскольку их скалярное произведение равно

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=\cos {\beta }\,.}$

Локсодрома определяется как кривая на сфере, которая имеет постоянный угол β со всеми меридианами долготы и, следовательно, должна быть параллельна единичному вектору β̂ . В результате разница в длине ds вдоль локсодромии приведет к дифференциальному смещению

${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {r} &={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\,ds\\[8px]{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}\,d\lambda +{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\,d\varphi &=((\sin {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}})ds\\[8px](\cos {\varphi })\,d\lambda \,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+d\varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}&=(\sin {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\\[8px]ds&={\frac {\cos {\varphi }}{\sin {\beta }}}\,d\lambda ={\frac {d\varphi }{\cos {\beta }}}\\[8px]{\frac {d\lambda }{d\varphi }}&=\tan {\beta }\cdot \sec {\varphi }\\[8px]\lambda (\varphi \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\tan \beta \cdot {\big (}\operatorname {artanh} (\sin \varphi )-\operatorname {artanh} (\sin \varphi _{0}){\big )}+\lambda _{0}\\[8px]\varphi (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\arcsin {\Big (}\tanh {\big (}(\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {artanh} (\sin \varphi _{0}){\big )}{\Big )}\end{aligned}}}$

При таком соотношении между λ и φ радиус-вектор становится параметрической функцией одной переменной, отслеживая локсодрому на сфере:

${\displaystyle \mathbf {r} (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})={\Big (}\cos {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\Big )}\mathbf {i} +{\Big (}\sin {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\Big )}\mathbf {j} +{\Big (}\tanh \psi {\Big )}\mathbf {k} \,,}$

куда

${\displaystyle \psi \equiv (\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {artanh} (\sin \varphi _{0})=\operatorname {artanh} (\sin \varphi )}$

- изометрическая широта . ^[5] Геоцентрическая и изометрическая широты связаны друг с другом через функцию Гудермана ,

${\displaystyle \varphi =\operatorname {gd} (\psi )\,.}$

По линии Румба, когда геоцентрическая широта стремится к полюсам, φ → ±π/2, sin φ → ± 1 , изометрическая широта artanh (sin φ ) → ± ∞ и долгота λ неограниченно возрастают, очень быстро вращая сферу по спирали к полюсу, стремясь к конечной общей длине дуги Δ s, заданной к

${\displaystyle \Delta s={\big |}(\pm \pi /2-\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}}$

Связь с проекцией Меркатора [ править ]

Пусть λ - долгота точки на сфере, а φ - широта. Тогда, если мы определим координаты карты проекции Меркатора как

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\,,\\y&=\operatorname {arctanh} (\sin \varphi )\,,\end{aligned}}}$

локсодрома с постоянным пеленгом β от истинного севера будет прямой линией, поскольку (используя выражение из предыдущего раздела)

${\displaystyle y=mx}$

с уклоном

${\displaystyle m=\cot \beta \,.}$

Нахождение локсодромов между двумя заданными точками может быть выполнено графически на карте Меркатора или путем решения нелинейной системы двух уравнений относительно двух неизвестных m = cot β и λ ₀ . Есть бесконечно много решений; самый короткий - тот, который покрывает фактическую разницу долготы, то есть не делает лишних оборотов и не идет «в обратном направлении».

Расстояние между двумя точками Δ s , измеренное вдоль локсодромии, представляет собой просто абсолютное значение секанса пеленга (азимута), умноженное на расстояние север-юг (за исключением кругов широты, для которых расстояние становится бесконечным):

${\displaystyle \Delta s=R\,{\big |}(\varphi -\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}}$

где R - один из средних радиусов Земли .

Заявление [ править ]

Его использование в навигации напрямую связано со стилем или проекцией определенных навигационных карт. На карте проекции Меркатора прямая линия отображается как прямая линия . ^[1]

Название происходит от старофранцузского или испанского соответственно: «румб» или «румбо» - линия на карте, которая пересекает все меридианы под одним и тем же углом. ^[1] На плоской поверхности это будет кратчайшее расстояние между двумя точками. Над поверхностью Земли на низких широтах или на небольших расстояниях его можно использовать для прокладки курса транспортного средства, самолета или корабля. ^[1] На больших расстояниях и / или в более высоких широтах маршрут большого круга значительно короче, чем прямая линия между теми же двумя точками. Однако неудобство, связанное с необходимостью постоянно менять пеленг во время движения по маршруту большого круга, в некоторых случаях делает привлекательной навигацию по прямой линии . ^[1]

Эту точку можно проиллюстрировать проходом восток-запад на 90 градусов долготы вдоль экватора , для которого расстояния большого круга и прямой линии равны 5400 морских миль (10 000 км). На 20 градусов северной широты большое расстояние круг 4997 миль (8042 км) , а расстояние локсодромия составляет 5,074 миль (8166 км), около 1 Еще ¹ ⁄ ₂ процента. Но на 60 градусов северной широты большое расстояние круг 2485 миль (3999 км)а по прямой линии составляет 2700 миль (4300 км), разница 8 ¹ ⁄ ₂ процента. Более крайним случаем является воздушный маршрут между Нью-Йорком и Гонконгом , для которого длина прямой линии составляет 9 700 морских миль (18 000 км). Большой круг маршрут через Северный полюс составляет 7000 морских миль (13 000 км) или 5 Время полета на типичной крейсерской скорости на ¹ ⁄ ₂ часа меньше.

На некоторых старых картах в проекции Меркатора есть сетки, состоящие из линий широты и долготы, но также показаны прямые линии, ориентированные прямо на север, под прямым углом с севера или под некоторым углом с севера, что является простой рациональной частью под прямым углом. Эти линии румба будут нарисованы так, чтобы они сходились в определенных точках карты: линии, идущие во всех направлениях, будут сходиться в каждой из этих точек. См. Роза компаса . Такие карты обязательно были бы в проекции Меркатора, поэтому не на всех старых картах можно было показать разметку прямой линии.

Радиальные линии на компасной розе также называют румбами . Выражение «плыть по румбу» использовалось в XVI – XIX веках для обозначения определенного направления по компасу. ^[1]

Ранние мореплаватели до изобретения морского хронометра использовали прямой курс на длинных океанских переходах, потому что широту корабля можно было точно установить, наблюдая за Солнцем или звездами, но не было точного способа определения долготы. Корабль будет плыть на север или юг до тех пор, пока не будет достигнута широта пункта назначения, а затем судно будет плыть на восток или запад по прямой линии (на самом деле параллель , которая является частным случаем прямой линии), сохраняя постоянную широту и запись регулярных оценок пройденного расстояния до тех пор, пока не будет обнаружено свидетельство о суше. ^[6]

Обобщения [ править ]

О сфере Римана [ править ]

Математически поверхность Земли можно понять как сферу Римана , то есть как проекцию сферы на комплексную плоскость . В этом случае под локсодромами можно понимать определенные классы преобразований Мёбиуса .

Spheroid [ править ]

Приведенная выше формулировка может быть легко расширена до сфероида . ^{[7] [8] [9] [10] [11]} Курс румбовой линии определяется просто с помощью эллипсоидальной изометрической широты . Аналогичным образом расстояния находятся путем умножения длины дуги эллипсоидального меридиана на секанс азимута.

См. Также [ править ]

• Большой круг
• Геодезические на эллипсоиде
• Большой эллипс
• Изоазимутал
• Сеть Rhumbline
• Спираль Зайфферта
• Малый круг

Ссылки [ править ]

Примечание: эта статья включает текст из всемирной энциклопедии всемирной информации издания 1878 года , находящейся в открытом доступе.

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Поищите локсодром  или rhumb в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Постоянные заголовки и строки Rhumb на MathPages.
• RhumbSolve (1) , утилита для расчета линий эллипсоидальной румба (компонент GeographicLib ); дополнительная документация .
• Онлайн-версия RhumbSolve .
• Документ по навигационным алгоритмам : The Sailings.
• Работа с картами - навигационные алгоритмы Бесплатное программное обеспечение для работы с картами: линия Rhumb, Great Circle, Composite sailing, Meridional parts. Линии позиции Пилотирование - течения и береговая привязка.
• MathWorld локсодромия.