В математической области теории узлов , ленточный узел представляет собой узел , который ограничивает самопересекающийся диск только с ленточными особенностями . Интуитивно такой вид сингулярности может быть образован путем вырезания щели в диске и пропускания другой части диска через щель. Точнее, этот тип особенности представляет собой замкнутую дугу, состоящую из точек пересечения диска с самим собой, так что прообраз этой дуги состоит из двух дуг в диске, одна полностью внутри диска, а другая имеет две дуги. конечные точки на границе диска.
Теоретико-морсовская формулировка
Срезной диск M представляет собой гладко вложенный в с участием . Рассмотрим функцию дано . При небольшом изотопией М можно обеспечить, чтобы F ограничивается до функции Морса на M . Один говорит это ленточный узел, если не имеет внутренних локальных максимумов.
Гипотеза о разрезе ленты
Известно, что каждый ленточный узел представляет собой разрезанный узел . Известная открытая проблема, поставленная Ральфом Фоксом и известная как гипотеза о разрезе ленты , спрашивает, верно ли обратное: каждый (плавно) разрезанный узел завязан лентой?
Lisca (2007) показал, что гипотеза верна для узлов моста номер два. Greene & Jabuka (2011) показали, что это верно для трехцепочечных узлов кренделя с нечетными параметрами. Однако Гомпф, Шарлеманн и Томпсон (2010) предположили, что это предположение может быть неверным , и предоставили семейство узлов, которые могли бы служить ему контрпримером.
Рекомендации
- Fox, RH (1962), "Некоторые проблемы теории узлов", Топология трехмерных многообразий и связанные темы (Proc. The Univ. Of Georgia Institute, 1961) , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, pp. 168–176 , Руководство по ремонту 0140100 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ). Перепечатано Dover Books, 2010.
- Гомпф, Роберт Э .; Шарлеманн, Мартин ; Томпсон, Эбигейл (2010), «Волокнистые узлы и потенциальные контрпримеры к свойству 2R и гипотезы о разрезе ленты», Геометрия и топология , 14 (4): 2305–2347, arXiv : 1103.1601 , doi : 10.2140 / gt.2010.14.2305 , Руководство по ремонту 2740649.
- Грин, Джошуа; Ябука, Станислав (2011), «Гипотеза о разрезе ленты для трехцепочечных узлов кренделя», Американский журнал математики , 133 (3): 555–580, arXiv : 0706.3398 , doi : 10.1353 / ajm.2011.0022 , MR 2808326.
- Кауфман, Луи Х. (1987), О узлах , Анналы математических исследований, 115 , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 0-691-08434-3, MR 0907872 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- Лиска, Паоло (2007), «Пространства линз, рациональные шары и гипотеза о ленте», Геометрия и топология , 11 : 429–472, arXiv : math / 0701610 , doi : 10.2140 / gt.2007.11.429 , MR 2302495.