В разделе математики , известном как реальный анализ , интеграл Римана , созданный Бернхардом Риманом , был первым строгим определением интеграла функции на интервале . Он был представлен преподавателям Геттингенского университета в 1854 году, но не публиковался в журнале до 1868 года. [1] Для многих функций и практических приложений интеграл Римана можно вычислить с помощью фундаментальной теоремы исчисления или аппроксимировать путем численного интегрирования. или смоделировано с использованием интеграции Монте-Карло .
Пусть f — неотрицательная вещественная функция на интервале [ a , b ] , и пусть S — область плоскости под графиком функции f и над интервалом [ a , b ] . См. рисунок вверху справа. Эту область можно выразить в обозначениях построителя множеств как
Нас интересует измерение площади S . После того, как мы ее измерили, мы обозначим площадь обычным способом через
Основная идея интеграла Римана заключается в использовании очень простых приближений для площади S . Принимая все лучшие и лучшие приближения, мы можем сказать, что «в пределе» мы получаем ровно площадь S под кривой.
Когда f ( x ) может принимать отрицательные значения, интеграл равен площади со знаком между графиком f и осью x : то есть площадь над осью x минус площадь под осью x .
Каждый [ x i , x i + 1 ] называется подинтервалом разбиения. Сетка или норма раздела определяется как длина самого длинного подинтервала, то есть