Кольцевой гомоморфизм
В теории колец , ветви абстрактной алгебры , гомоморфизм колец — это сохраняющая структуру функция между двумя кольцами . Точнее говоря, если R и S — кольца, то кольцевой гомоморфизм — это функция f : R → S такая, что f : [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [a ]
Аддитивные инверсии и аддитивная идентичность также являются частью структуры, но нет необходимости явно требовать, чтобы они также соблюдались, потому что эти условия являются следствием трех вышеперечисленных условий.
Если к тому же f является биекцией , то ее обратная f −1 также является кольцевым гомоморфизмом. В этом случае f называется изоморфизмом колец, а кольца R и S — изоморфными . С точки зрения теории колец нельзя различить изоморфные кольца.
Если R и S являются кольцами , то соответствующее понятие - это гомоморфизм колец , [b] определенный, как выше, за исключением третьего условия f (1 R ) = 1 S . Кольцевой гомоморфизм между (унитальными) кольцами не обязательно должен быть гомоморфизмом колец.
Композиция двух кольцевых гомоморфизмов является кольцевым гомоморфизмом. Отсюда следует, что класс всех колец образует категорию с гомоморфизмами колец в качестве морфизмов (ср. категорию колец ). В частности, получаются понятия эндоморфизма колец, изоморфизма колец и автоморфизма колец.
Пусть — кольцевой гомоморфизм. Тогда непосредственно из этих определений можно вывести:
