Теория разорения

В актуарной науке и прикладной теории вероятности разорения (иногда теория риска ^[1] или теория коллективного риска ) используются математические модели для описания уязвимости страховщика перед неплатежеспособностью / разорением. В таких моделях ключевыми величинами, представляющими интерес, являются вероятность разорения, распределение излишка непосредственно перед разорением и дефицит во время разорения.

Классическая модель [ править ]

Примерный путь процесса сложного пуассоновского риска

Теоретическая основа теории разорения, известная как модель Крамера – Лундберга (или классическая модель сложного пуассоновского риска, классический процесс риска ^[2] или процесс риска Пуассона), была введена в 1903 году шведским актуарием Филипом Лундбергом . ^[3] Работа Лундберга была переиздана в 1930-х годах Харальдом Крамером . ^[4]

Модель описывает страховую компанию, которая испытывает два противоположных денежных потока: входящие денежные премии и исходящие претензии. Премии поступают  от клиентов с постоянной скоростью c > 0, а претензии поступают в соответствии с процессом Пуассона с интенсивностью λ и являются независимыми и одинаково распределенными неотрицательными случайными величинами с распределением F и средним значением μ (они образуют составной пуассоновский процесс ). Итак, для страховщика, который начинает с начального излишка x , совокупные активы рассчитываются следующим образом: ^[5]${\ displaystyle N_ {t}}$${\displaystyle \xi _{i}}$${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for t}}\geq 0.}$

Центральная цель модели - исследовать вероятность того, что уровень профицита страховщика в конечном итоге упадет ниже нуля (что сделает фирму банкротом). Эта величина, называемая вероятностью окончательного разорения, определяется как

${\displaystyle \psi (x)=\mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}}$

где время разорения с условием, что . Это можно точно вычислить, используя формулу Поллачека – Хинчина как ^[6] (функция разорения здесь эквивалентна хвостовой функции стационарного распределения времени ожидания в очереди M / G / 1 ^[7] ).${\displaystyle \tau =\inf\{t>0\,:\,X(t)<0\}}$${\displaystyle \inf \varnothing =\infty }$

${\displaystyle \psi (x)=\left(1-{\frac {\lambda \mu }{c}}\right)\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\lambda \mu }{c}}\right)^{n}(1-F_{l}^{\ast n}(x))}$

где - преобразование хвостового распределения ,${\displaystyle F_{l}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle F_{l}(x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{x}\left(1-F(u)\right){\text{d}}u}$

и обозначает -кратную свертку . В случае, когда размеры требований распределены экспоненциально, это упрощается до ^[7]${\displaystyle \cdot ^{\ast n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \psi (x)={\frac {\lambda \mu }{c}}e^{-\left({\frac {1}{\mu }}-{\frac {\lambda }{c}}\right)x}.}$

Модель Спарре Андерсена [ править ]

Э. Спарре Андерсен расширил классическую модель в 1957 г. ^[8] , позволив заявленным временам между поступлениями иметь произвольные функции распределения. ^[9]

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for }}t\geq 0,}$

где процесс нумерации требований представляет собой процесс обновления и являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами. Модель тем более предполагает, что почти наверняка и что так и независимо. Модель также известна как модель риска обновления.${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \xi _{i}>0}$${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$

Ожидаемая функция дисконтированного штрафа [ править ]

Майкл Р. Пауэрс ^[10] и Гербер и Шиу ^[11] проанализировали поведение излишка страховщика через ожидаемую дисконтированную функцию штрафа , которую в литературе по разорению обычно называют функцией Гербера-Шиу. Спорный вопрос, должна ли функция называться функцией Пауэрса-Гербера-Шиу из-за вклада Пауэрса. ^[10]

В обозначениях Пауэрса это определяется как

${\displaystyle m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }K_{\tau }]}$,

где - сила дисконтирования процентов, - общая функция штрафа, отражающая экономические затраты страховщика на момент разорения, а математическое ожидание соответствует вероятностной мере . Эта функция называется ожидаемой дисконтированной стоимостью банкротства по Пауэрсу. ^[10]${\displaystyle \delta }$${\displaystyle K_{\tau }}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$

В обозначениях Гербера и Шиу это дается как

${\displaystyle m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }w(X_{\tau -},X_{\tau })\mathbb {I} (\tau <\infty )]}$,

где - сила дисконтирования процента и - функция штрафа, отражающая экономические затраты страховщика в момент разорения (предполагается, что они зависят от излишка до разорения и дефицита в момент разорения ), а математическое ожидание соответствует вероятностной мере . Здесь индикаторная функция подчеркивает, что штраф применяется только в случае разорения.${\displaystyle \delta }$${\displaystyle w(X_{\tau -},X_{\tau })}$${\displaystyle X_{\tau -}}$${\displaystyle X_{\tau }}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$${\displaystyle \mathbb {I} (\tau <\infty )}$

Интерпретация ожидаемой дисконтированной функции штрафа интуитивно понятна. Поскольку функция измеряет актуарную приведенную стоимость штрафа, возникающего при , функция штрафа умножается на коэффициент дисконтирования , а затем усредняется по распределению вероятности времени ожидания до . В то время как Гербер и Шиу ^[11] применили эту функцию к классической модели сложного Пуассона, Пауэрс ^[10] утверждал, что профицит страховщика лучше моделируется семейством диффузионных процессов.${\displaystyle \tau }$${\displaystyle e^{-\delta \tau }}$${\displaystyle \tau }$

Существует множество величин, связанных с разорением, которые подпадают под категорию ожидаемой дисконтированной штрафной функции.

Особый случай	Математическое представление	Выбор штрафной функции
Вероятность окончательного разорения	${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}}$	${\displaystyle \delta =0,w(x_{1},x_{2})=1}$
Совместное (неполное) распределение излишка и дефицита	${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}\{X_{\tau -}<x,X_{\tau }<y\}}$	${\displaystyle \delta =0,w(x_{1},x_{2})=\mathbb {I} (x_{1}<x,x_{2}<y)}$
Неправильное распределение иска, приводящее к разорению	${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}\{X_{\tau -}-X_{\tau }<z\}}$	${\displaystyle \delta =0,w(x_{1},x_{2})=\mathbb {I} (x_{1}+x_{2}<z)}$
Трехмерное преобразование Лапласа времени, излишка и дефицита	${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau -sX_{\tau -}-zX_{\tau }}]}$	${\displaystyle w(x_{1},x_{2})=e^{-sx_{1}-zx_{2}}}$
Совместные моменты излишка и дефицита	${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}[X_{\tau -}^{j}X_{\tau }^{k}]}$	${\displaystyle \delta =0,w(x_{1},x_{2})=x_{1}^{j}x_{2}^{k}}$

Другие связанные с финансами величины, относящиеся к классу ожидаемой дисконтированной штрафной функции, включают бессрочный американский пут-опцион ^[12], условное требование в оптимальное время исполнения и многое другое.

Последние события [ править ]

• Модель комбинированного риска-Пуассона с постоянным интересом
• Модель сложного пуассоновского риска со стохастическим интересом
• Модель риска броуновского движения
• Общая модель диффузионного процесса
• Марково-модулированная модель риска
• Калькулятор коэффициента вероятности аварии (APF) - модель анализа рисков (@SBH)

См. Также [ править ]

• Финансовый риск
• Интегральное уравнение Вольтерра # Теория руин

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Гербер, HU (1979). Введение в математическую теорию риска . Филадельфия: Серия монографий Фонда СС Хойбнера 8.
• Асмуссен С. (2000). Вероятность разорения . Сингапур: World Scientific Publishing Co.