Салинон

Салинон (красный) и круг (синий) имеют одинаковую площадь.

Салинон ( что означает «солонку» в переводе с греческого) является геометрическая фигура , которая состоит из четырех полукругов . Впервые он был представлен в Книге лемм , работе, приписываемой Архимеду . ^[1]

Строительство [ править ]

Пусть O - начало координат на декартовой плоскости . Пусть A , D , E и B - четыре точки на прямой в указанном порядке, при этом O - биссектриса AB . Пусть AD = EB . Полукруги с диаметрами AB , AD и EB расположены над линией AB , а ниже - с диаметром DE . Салинон - это фигура, ограниченная этими четырьмя полукругами. ^[2]

Свойства [ править ]

Площадь [ править ]

Архимед ввел салинон в свою Книгу лемм , применив Книгу II, Предложение 10 Элементов Евклида . Архимед заметил, что «площадь фигуры, ограниченная окружностями всех полукругов, [равна] площади круга на CF как диаметра». ^[3]

А именно площадь салинона составляет:

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} \ pi \ left (r_ {1} + r_ {2} \ right) ^ {2}.}$^[1]

Доказательство [ править ]

Пусть радиус срединной точки в AD и EB быть обозначен как G и H , соответственно. Следовательно, AG  =  GD  =  EH  =  HB  =  r ₁ . Поскольку DO , OF и OE - все радиусы одного полукруга, DO  =  OF  =  OE  =  r ₂ . При сложении сегментов AG  +  GD  +  DO  =  OE  +  EH  + HB  = 2 r ₁  +  r ₂ . Поскольку AB - диаметр салинона, CF - линия симметрии. Поскольку все они являются радиусами одного полукруга, AO  =  BO  =  CO  = 2 r ₁  +  r ₂ .

Пусть P будет центром большого круга. Поскольку CO  = 2 r ₁  +  r ₂ и OF  =  r ₂ , CF  = 2 r ₁  + 2 r ₂ . Следовательно, радиус круга равен r ₁  +  r ₂ . Площадь круга = π ( r ₁  +  r ₂ ) ² .

Пусть x = r ₁ и y = r ₂ . Площадь полукруга диаметром AB , обозначенная как , равна:${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {AB}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {AB} = {\ frac {1} {2}} \ pi \ left (2x + y \ right) ^ {2}.}$

Площадь полукруга диаметром DE составляет:

${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {DE} = {\ frac {1} {2}} \ pi y ^ {2}.}$

Площадь каждого из полукругов диаметров AD и EB равна

${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {AD} = {\ mathcal {A}} _ {EB} = {\ frac {1} {2}} \ pi x ^ {2}.}$

Следовательно, площадь салинона составляет:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi \left(\left(2x+y\right)^{2}-2x^{2}+y^{2}\right)={\frac {1}{2}}\pi \left(2x^{2}+4xy+2y^{2}\right)=\pi \left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)=\pi \left(x+y\right)^{2}=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}}$

QED ^[4]

Арбелос [ править ]

Если точки D и E сходятся с точкой O , он образует арбелос , еще одно творение Архимеда, с симметрией вдоль оси y . ^[3]

См. Также [ править ]

• Луна Гиппократа

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• L'arbelos. Partie II от Хамзы ХЕЛИФ в www.images.math.cnrs.fr из CNRS