Уточняющая теорема Шрайера

В математике , то Шрайер изысканности теорему о теории групп состояний , что любые две субнормальные серии из подгрупп данной группы имеют эквивалентные уточнений, где две серии эквивалентны , если существует взаимно однозначное соответствие между их фактор - групп , которые посылает каждый фактор - группу к изоморфного одному.

Теорема названа в честь австрийского математика Отто Шрайера, который доказал ее в 1928 году. Она представляет собой элегантное доказательство теоремы Жордана – Гёльдера . Это часто доказывается с помощью леммы Цассенхауза . Баумслаг (2006) дает краткое доказательство, пересекая члены одной субнормальной серии с членами другой серии.

Пример [ править ]

Рассмотрим , где - симметрическая группа степени 3 . Есть субнормальные серии ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / (2) \ times S_ {3}}$ ${\ displaystyle S_ {3}}$

{\ displaystyle \ {[0] \} \ times \ {\ operatorname {id} \} \; \ треугольникleft \; \ mathbb {Z} / (2) \ times \ {\ operatorname {id} \} \; \ треугольникleft \; \ mathbb {Z} / (2) \ times S_ {3},}

{\ Displaystyle \ {[0] \} \ раз \ {\ OperatorName {id} \} \; \ треугольникleft \; \ {[0] \} \ раз S_ {3} \; \ треугольникleft \; \ mathbb {Z } / (2) \ times S_ {3}.}

${\ displaystyle S_ {3}}$ содержит нормальную подгруппу . Следовательно, у них есть уточнения ${\ displaystyle A_ {3}}$

\{[0]\}\times \{\operatorname {id} \}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} /(2)\times \{\operatorname {id} \}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} /(2)\times A_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} /(2)\times S_{3}

с фактор-группами, изоморфными и $(\mathbb {Z} /(2),A_{3},\mathbb {Z} /(2))$

\{[0]\}\times \{\operatorname {id} \}\;\triangleleft \;\{[0]\}\times A_{3}\;\triangleleft \;\{[0]\}\times S_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} /(2)\times S_{3}

с фактор-группами, изоморфными . $(A_{3},\mathbb {Z} /(2),\mathbb {Z} /(2))$

Баумслаг, Бенджамин (2006), «Простой способ доказательства теоремы Джордана-Гёльдера-Шрайера», American Mathematical Monthly , 113 (10): 933–935, doi : 10.2307 / 27642092

Эта статья по абстрактной алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .