Полуэмпирическая формула массы

Ядерная физика
Ядро  · Нуклоны  ( p , n )  · Ядерная материя  · Ядерная сила  · Ядерная структура  · Ядерная реакция
Модели ядра Жидкая капля  · Модель ядерной оболочки  · Модель взаимодействующих бозонов  · Ab initio
Классификация нуклидов Изотопы - равные Z изобары - равные А изотоны - равный N Isodiaphers - равно N  -  Z       Изомеры - равны все выше , зеркальные ядер  - Z ↔ N Стабильного  · Магия  · чет / нечет  · гало  ( Борромео )
Ядерная стабильность Энергия связи  · Соотношение p – n  · Капельная линия  · Остров стабильности  · Долина стабильности  · Стабильный нуклид
Радиоактивный распад Альфа α  · Бета β  ( 2β ( 0v ), β + )  · Захват K / L  · Изомерный  ( Гамма γ  · Внутреннее преобразование )  · Спонтанное деление  · Распад кластера  · Эмиссия нейтронов  · Эмиссия протонов Распад энергия  · Распад цепь  · Распад продукт  · Радиогенная нуклид
Ядерное деление Спонтанное  · Продукты  ( разрыв пары )  · Фотоделение
Процессы захвата электрон ( 2 × )  · нейтрон  ( s  · r )  · протон  ( p  · rp )
Высокоэнергетические процессы Расщепление ( космическими лучами )  · Фотодезинтеграция
Нуклеосинтез и ядерная астрофизика Процессы ядерного синтеза : звездные  · Большой взрыв  · Нуклиды сверхновых : изначальные  · космогенные  · искусственные
Ядерная физика высоких энергий Кварк-глюонная плазма  · RHIC  · LHC
Ученые Альварес  · Беккерель  · Бете  · А. Бор  · Н. Бор  · Чедвик  · Кокрофт  · Ир. Кюри  · о. Кюри  · Пи. Кюри  · Склодовская-Кюри  · Дэвиссон  · Ферми  · Хан  · Йенсен  · Лоуренс  · Майер  · Мейтнер  · Олифант  · Оппенгеймер  · Прока  · Перселл  · Раби  · Резерфорд  · Содди · Штрассманн  · Свинтецкий  · Сцилард  · Теллер  · Томсон  · Уолтон  · Вигнер
v т е

В ядерной физике , то формула полуэмпирическая массы ( SEMF ) (иногда также называют формулу Вейцзекер , формулу Бети-Вейцзекер или массовую формулу Бети-Вейцзекер , чтобы отличить его от процесса Беты-Вайцзеккер ) используются для аппроксимации массы и различной другие свойства атомного ядра по количеству протонов и нейтронов . Как следует из названия, он частично основан на теории и частично на эмпирических измерениях. Формула представляет собой модель жидкой капли, предложенную Джорджем Гамовым ,^[1], который может объяснить большинство членов формулы и дает приблизительные оценки значений коэффициентов. Впервые она была сформулирована в 1935 году немецким физиком Карлом Фридрихом фон Вайцзеккером ^[2], и, хотя на протяжении многих лет в коэффициенты вносились уточнения, структура формулы остается неизменной и сегодня.

Формула дает хорошее приближение для атомных масс и, следовательно, других эффектов. Однако он не может объяснить существование линий с большей энергией связи при определенном количестве протонов и нейтронов. Эти числа, известные как магические числа , являются основой модели ядерной оболочки .

Модель жидкой капли [ править ]

Модель жидкой капли была впервые предложена Джорджем Гамовым и в дальнейшем развита Нильсом Бором и Джоном Арчибальдом Уилером . Он рассматривает ядро как каплю несжимаемой жидкости очень высокой плотности, удерживаемую ядерной силой (остаточный эффект сильной силы ), это похоже на структуру сферической жидкой капли. Хотя модель жидкой капли является грубой, она учитывает сферическую форму большинства ядер и дает грубый прогноз энергии связи.

Соответствующая массовая формула определяется исключительно количеством протонов и нейтронов, которые она содержит. Исходная формула Вайцзеккера определяет пять терминов:

• Объемная энергия : когда совокупность нуклонов одинакового размера упаковывается в наименьший объем, каждый внутренний нуклон имеет определенное количество других нуклонов, контактирующих с ним. Итак, эта ядерная энергия пропорциональна объему.
• Поверхностная энергия корректирует предыдущее предположение о том, что каждый нуклон взаимодействует с таким же числом других нуклонов. Этот член отрицателен и пропорционален площади поверхности и поэтому примерно эквивалентен поверхностному натяжению жидкости .
• Кулоновская энергия , потенциальная энергия от каждой пары протонов. Поскольку это сила отталкивания, энергия связи уменьшается.
• Энергия асимметрии (также называемая энергией Паули ), которая объясняет принцип исключения Паули . Неравное количество нейтронов и протонов подразумевает заполнение более высоких уровней энергии для одного типа частиц, в то время как более низкие уровни энергии остаются вакантными для другого типа.
• Энергия пар , которая объясняет тенденцию возникновения пар протонов и пар нейтронов . Четное число частиц более стабильно, чем нечетное из-за спиновой связи .

Формула [ править ]

Масса атомного ядра для нейтронов , протонов и, следовательно, нуклонов определяется выражением${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle A = N + Z}$

${\ displaystyle m = Zm _ {\ rm {p}} + Nm _ {\ rm {n}} - {\ frac {E _ {\ rm {B}} (N, Z)} {c ^ {2}}}}$

где и - масса покоя протона и нейтрона соответственно, а - энергия связи ядра. Полуэмпирическая формула массы утверждает, что энергия связи равна:${\ displaystyle m _ {\ rm {p}}}$${\ displaystyle m _ {\ rm {n}}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {B}}}$

${\ displaystyle E _ {\ rm {B}} = a _ {\ rm {V}} A-a _ {\ rm {S}} A ^ {2/3} -a _ {\ rm {C}} {\ frac { Z (Z-1)} {A ^ {1/3}}} - a _ {\ rm {A}} {\ frac {(NZ) ^ {2}} {A}} + \ delta (N, Z) }$^[3]

Срок равен либо нулю , либо , в зависимости от четности из и , где в течение некоторого показателя . Обратите внимание , что , как , числитель _А термин может быть переписан .${\ displaystyle \ delta (N, Z)}$${\ displaystyle \ pm \ delta _ {0}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle \ delta _ {0} = {a _ {\ rm {P}}} {A ^ {k _ {\ rm {P}}}}}$${\ Displaystyle к _ {\ rm {P}}}$${\ displaystyle A = N + Z}$${\ displaystyle (A-2Z) ^ {2}}$

Каждый из членов этой формулы имеет теоретическую основу. Коэффициенты , , , , и определяют эмпирически; хотя они могут быть получены из эксперимента, они обычно выводятся методом наименьших квадратов, соответствующих современным данным. Хотя обычно они выражаются пятью основными терминами, существуют другие термины, объясняющие дополнительные явления. Подобно тому, как изменение полиномиального соответствия изменит его коэффициенты, взаимодействие между этими коэффициентами по мере появления новых явлений является сложным; некоторые термины влияют друг на друга, тогда как термин в значительной степени независим. ^[4]${\ displaystyle a _ {\ rm {V}}}$${\ displaystyle a _ {\ rm {S}}}$${\ displaystyle a _ {\ rm {C}}}$${\ displaystyle a _ {\ rm {A}}}$${\displaystyle a_{\rm {P}}}$${\displaystyle a_{\rm {P}}}$

Срок действия [ править ]

Этот термин известен как термин объема . Объем ядра пропорционален A , поэтому этот член пропорционален объему, отсюда и название.${\displaystyle a_{\rm {V}}A}$

В основе этого термина лежит сильное ядерное взаимодействие . Сильное взаимодействие влияет как протоны и нейтроны, как и ожидалось, этот термин не зависит от Z . Поскольку количество пар, которые могут быть взяты из частиц A , можно ожидать, что член будет пропорционален . Однако сильное взаимодействие имеет очень ограниченный диапазон, и данный нуклон может сильно взаимодействовать только со своими ближайшими соседями и следующими ближайшими соседями. Следовательно, количество пар частиц, которые действительно взаимодействуют, примерно пропорционально A , что определяет форму объема.${\displaystyle {\frac {A(A-1)}{2}}}$${\displaystyle A^{2}}$

Коэффициент меньше энергии связи, которой обладают нуклоны по отношению к своим соседям ( ), которая составляет порядка 40 МэВ . Это связано с тем, что чем больше количество нуклонов в ядре, тем больше их кинетическая энергия из-за принципа исключения Паули . Если один трактует ядро как ферми - шар из нуклонов , с равным числом протонов и нейтронов, то полная кинетическая энергия , с к энергии Ферми , которая по оценкам до 38 МэВ . Таким образом, ожидаемое значение в этой модели находится недалеко от измеренного значения.${\displaystyle a_{\rm {V}}}$${\displaystyle E_{\rm {b}}}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {3 \over 5}A\varepsilon _{\rm {F}}}$${\displaystyle \varepsilon _{\rm {F}}}$${\displaystyle a_{\rm {V}}}$${\displaystyle E_{\rm {b}}-{3 \over 5}\varepsilon _{\rm {F}}\sim 17\;\mathrm {MeV} }$

Термин поверхности [ править ]

Этот термин известен как поверхностный термин . Этот член, также основанный на сильной силе, является поправкой к члену объема.${\displaystyle a_{\rm {S}}A^{2/3}}$

Термин объема предполагает , что каждый нуклон взаимодействует с постоянным числом нуклонов, независимо от А . Хотя это почти верно для нуклонов глубоко внутри ядра, у этих нуклонов на поверхности ядра меньше ближайших соседей, что оправдывает эту поправку. Это также можно рассматривать как термин поверхностного натяжения , и действительно, подобный механизм создает поверхностное натяжение в жидкостях.

Если объем ядра пропорционален A , то радиус должен быть пропорционален, а площадь поверхности - . Это объясняет, почему поверхностный член пропорционален . Также можно сделать вывод, что он должен иметь такой же порядок величины, как .${\displaystyle A^{1/3}}$${\displaystyle A^{2/3}}$${\displaystyle A^{2/3}}$${\displaystyle a_{\rm {S}}}$${\displaystyle a_{\rm {V}}}$

Кулоновский термин [ править ]

Термин или известен как кулоновский или электростатический термин .${\displaystyle a_{\rm {C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}}$${\displaystyle a_{\rm {C}}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}}$

В основе этого термина лежит электростатическое отталкивание между протонами. В очень грубом приближении ядро ​​можно рассматривать как сферу с однородной плотностью заряда . Потенциальная энергия такого распределения заряда может быть показана

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right){\frac {Q^{2}}{R}}}$

где Q - полный заряд, R - радиус сферы. Значение может быть приближено вычислено при помощи уравнения для расчета потенциальной энергии, используя эмпирический радиус ядра из и Q = Ze . Однако, поскольку электростатическое отталкивание будет существовать только для более чем одного протона, становится :${\displaystyle a_{\rm {C}}}$${\displaystyle R\approx r_{0}A^{\frac {1}{3}}}$${\displaystyle Z^{2}}$${\displaystyle Z(Z-1)}$

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right){\frac {Q^{2}}{R}}={\frac {3}{5}}\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right){\frac {(Ze)^{2}}{(r_{0}A^{\frac {1}{3}})}}={\frac {3e^{2}Z^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{\frac {1}{3}}}}\approx {\frac {3e^{2}Z(Z-1)}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{\frac {1}{3}}}}=a_{\rm {C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}}$

где теперь электростатическая кулоновская постоянная a _C равна

${\displaystyle a_{\rm {C}}={\frac {3e^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}}$.

Использование постоянной тонкой структуры , можно переписать значение в _C :

${\displaystyle a_{\rm {C}}={\frac {3}{5}}\left({\frac {\hbar c\alpha }{r_{0}}}\right)={\frac {3}{5}}\left({\frac {R_{\rm {P}}}{r_{0}}}\right)\alpha m_{\rm {p}}c^{2}}$

где - постоянная тонкой структуры, - радиус ядра , равный примерно 1,25 фемтометра . - приведенная длина волны Комптона протона , - масса протона. Это дает приблизительное теоретическое значение 0,691 МэВ , недалеко от измеренного значения.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle r_{0}A^{1/3}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle R_{\rm {P}}}$${\displaystyle m_{\rm {p}}}$${\displaystyle a_{\rm {C}}}$

Срок асимметрии [ править ]

Этот термин известен как термин асимметрии (или термин Паули ). ${\displaystyle a_{\rm {A}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}}$

Теоретическое обоснование этого термина более сложное. Принцип исключения Паули гласит, что никакие два идентичных фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии в атоме. На данном уровне энергии для частиц доступно лишь конечное число квантовых состояний. В ядре это означает, что по мере «добавления» большего количества частиц эти частицы должны занимать более высокие энергетические уровни, увеличивая общую энергию ядра (и уменьшая энергию связи). Обратите внимание, что этот эффект основан не на каких-либо фундаментальных силах ( гравитационных , электромагнитных и т.д.), а только на принципе исключения Паули.

Протоны и нейтроны, будучи разными типами частиц, находятся в разных квантовых состояниях. Можно представить себе два разных «пула» состояний, один для протонов, а другой для нейтронов. Теперь, например, если в ядре значительно больше нейтронов, чем протонов, некоторые из нейтронов будут иметь более высокую энергию, чем доступные состояния в протонном пуле. Если бы мы могли переместить некоторые частицы из нейтронного пула в протонный пул, другими словами, превратить некоторые нейтроны в протоны, мы бы значительно уменьшили энергию. Несбалансированность между числом протонов и нейтронов приводит к тому, что энергия оказывается выше, чем она должна быть для данного числа нуклонов . Это основа для термина асимметрии.

Фактическая форма члена асимметрии может быть снова получена путем моделирования ядра как шара Ферми протонов и нейтронов. Его полная кинетическая энергия составляет

${\displaystyle E_{\rm {k}}={3 \over 5}(Z{\varepsilon _{\rm {F}}}_{\rm {p}}+N{\varepsilon _{\rm {F}}}_{\rm {n}})}$

где и - энергии Ферми протонов и нейтронов. Поскольку они пропорциональны и , соответственно, получаем${\displaystyle {\varepsilon _{\rm {F}}}_{\rm {p}}}$${\displaystyle {\varepsilon _{\rm {F}}}_{\rm {n}}}$${\displaystyle Z^{2/3}}$${\displaystyle N^{2/3}}$

${\displaystyle E_{\rm {k}}=C(Z^{5/3}+N^{5/3})}$для некоторых постоянная C .

Тогда главные члены разложения разницы будут${\displaystyle N-Z}$

${\displaystyle E_{\rm {k}}={C \over 2^{2/3}}\left(A^{5/3}+{5 \over 9}{(N-Z)^{2} \over A^{1/3}}\right)+O((N-Z)^{4}).}$

В нулевом порядке разложения кинетическая энергия - это просто полная энергия Ферми, умноженная на . Таким образом мы получаем${\displaystyle \varepsilon _{\rm {F}}\equiv {\varepsilon _{\rm {F}}}_{\rm {p}}={\varepsilon _{\rm {F}}}_{\rm {n}}}$${\displaystyle {3 \over 5}A}$

${\displaystyle E_{\rm {k}}={3 \over 5}\varepsilon _{\rm {F}}A+{1 \over 3}\varepsilon _{\rm {F}}{(N-Z)^{2} \over A}+O((N-Z)^{4}).}$

Первый член вносит вклад в член объема в полуэмпирической формуле массы, а второй член минус член асимметрии (помните, что кинетическая энергия вносит вклад в общую энергию связи с отрицательным знаком).

${\displaystyle \varepsilon _{\rm {F}}}$составляет 38 МэВ , поэтому, вычисляя по приведенному выше уравнению, мы получаем только половину измеренного значения. Расхождение объясняется неточностью нашей модели: нуклоны фактически взаимодействуют друг с другом, а не равномерно распределены по ядру. Например, в оболочечной модели протон и нейтрон с перекрывающимися волновыми функциями будут иметь более сильное взаимодействие между собой и более сильную энергию связи. Это делает энергетически выгодным (т.е. имеющим более низкую энергию), чтобы протоны и нейтроны имели одинаковые квантовые числа (отличные от изоспина ), и, таким образом, увеличивали энергетические затраты асимметрии между ними.${\displaystyle a_{\rm {A}}}$

Термин асимметрия можно также понять интуитивно следующим образом. Он должен зависеть от абсолютной разницы , а форма должна быть простой и дифференцируемой , что важно для определенных приложений формулы. Кроме того, небольшие различия между Z и N не требуют больших затрат энергии. В знаменателе отражает тот факт , что данное различие является менее значимым для больших значений А .${\displaystyle |N-Z|}$${\displaystyle (N-Z)^{2}}$${\displaystyle |N-Z|}$

Срок спаривания [ править ]

Этот термин известен как термин спаривания (возможно, также известный как парное взаимодействие). Этот термин отражает эффект спиновой связи. Выдается: ^[5]${\displaystyle \delta (A,Z)}$

${\displaystyle \delta (A,Z)={\begin{cases}+\delta _{0}&Z,N{\text{ even }}(A{\text{ even}})\\0&A{\text{ odd}}\\-\delta _{0}&Z,N{\text{ odd }}(A{\text{ even}})\end{cases}}}$

где находится эмпирически , чтобы иметь значение около 1000 кэВ, медленно уменьшается с массовым числом  A . Зависимость от массового числа обычно параметризуется как${\displaystyle \delta _{0}}$

${\displaystyle \delta _{0}={a_{\rm {P}}}{A^{k_{\rm {P}}}}.}$

Значение показателя k _P определяется из экспериментальных данных об энергии связи. В прошлом его значение часто принималось равным −3/4, но современные экспериментальные данные показывают, что значение −1/2 ближе к отметке:

${\displaystyle \delta _{0}={a_{\rm {P}}}{A^{-1/2}}}$или .${\displaystyle \delta _{0}={a_{\rm {P}}}{A^{-3/4}}}$

Из-за принципа исключения Паули ядро имело бы меньшую энергию, если бы количество протонов со спином вверх было равно количеству протонов со спином вниз. Это верно и для нейтронов. Только если и Z, и N равны, и протоны, и нейтроны могут иметь одинаковое количество частиц со спином вверх и вниз. Это эффект, аналогичный члену асимметрии.

Теоретически объяснить этот фактор непросто. Расчет шара Ферми, который мы использовали выше, основанный на модели жидкой капли, но без учета взаимодействий, даст зависимость, как в члене асимметрии. Это означает, что реальный эффект для больших ядер будет больше, чем ожидалось по этой модели. Это следует объяснить взаимодействиями между нуклонами; Например, в модели оболочки два протона с одинаковыми квантовыми числами (кроме спина ) будут иметь полностью перекрывающиеся волновые функции и, следовательно, будут иметь более сильное взаимодействие.${\displaystyle A^{k_{\rm {P}}}}$${\displaystyle A^{-1}}$между ними и более сильная энергия связи. Это делает энергетически выгодным (т.е. имеющим более низкую энергию) образование протонов пар с противоположным спином. То же самое и с нейтронами.

Расчет коэффициентов [ править ]

Коэффициенты рассчитываются путем подгонки к экспериментально измеренным массам ядер. Их значения могут варьироваться в зависимости от того, как они соответствуют данным и какие единицы измерения используются для выражения массы. Ниже приведены несколько примеров.

	Айсберг и Резник [6]	По методу наименьших квадратов (1)	Метод наименьших квадратов (2) [7]	Рольф [8]	Вапстра [9]
единица измерения	ты	МэВ	МэВ	МэВ	МэВ
${\displaystyle a_{\rm {V}}}$	0,01691	15,8	15,76	15,75	14.1
${\displaystyle a_{\rm {S}}}$	0,01911	18,3	17,81	17,8	13
${\displaystyle a_{\rm {C}}}$	0,000673 [α]	0,714	0,711	0,711	0,595
${\displaystyle a_{\rm {A}}}$	0,10175 [β]	23,2	23,702	23,7	19
${\displaystyle a_{\rm {P}}}$	0,012	12	34	11,18	33,5
${\displaystyle k_{\rm {P}}}$	−1/2	−1/2	−3/4	−1/2	−3/4
${\displaystyle \delta _{0}}$ (даже-даже)	${\displaystyle -0.012 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle +12 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle +34 \over A^{3/4}}$	${\displaystyle +11.18 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle +33.5 \over A^{3/4}}$
${\displaystyle \delta _{0}}$ (нечетное-нечетное)	${\displaystyle +0.012 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle -12 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle -34 \over A^{3/4}}$	${\displaystyle -11.18 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle -33.5 \over A^{3/4}}$
${\displaystyle \delta _{0}}$ (четно-нечетное, нечетное-четное)	0	0	0	0	0
^ В этой моделив числителе используется кулоновский член.${\displaystyle Z^{2}}$ ^ В этой моделив числителе используется термин «асимметрия».${\displaystyle (Z-A/2)^{2}}$

Формула не учитывает внутреннюю оболочечную структуру ядра.

Таким образом, полуэмпирическая формула массы хорошо подходит для более тяжелых ядер и плохо подходит для очень легких ядер, особенно 4 He . Для легких ядер обычно лучше использовать модель, учитывающую эту оболочечную структуру.

Примеры следствий формулы [ править ]

Максимизация E _б ( A , Z ) по отношению к Z , можно было бы найти наилучшее соотношение нейтронов и протонов N / Z для данного атомного веса А . ^[8] Получаем

${\displaystyle N/Z\approx 1+{\frac {a_{\rm {C}}}{2a_{\rm {A}}}}A^{2/3}.}$

Это примерно 1 для легких ядер, но для тяжелых ядер это соотношение растет, что хорошо согласуется с экспериментом .

Подставляя указанное выше значение Z обратно в E _b , можно получить энергию связи как функцию атомного веса E _b ( A ). Максимизация E _b ( A ) / A по отношению к A дает ядро, которое наиболее сильно связано, то есть наиболее стабильно. Значение мы получаем = 63 ( меди ), близкие к измеренным значениям от А = 62 ( никеля ) и A = 58 ( железо ).

Модель жидкой капли также позволяет рассчитывать барьеры деления ядер, которые определяют устойчивость ядра к спонтанному делению . Первоначально предполагалось, что элементы за пределами атомного номера 104 не могут существовать, поскольку они будут подвергаться делению с очень коротким периодом полураспада ^[10], хотя эта формула не учитывала стабилизирующие эффекты закрытых ядерных оболочек . Модифицированная формула, учитывающая оболочечные эффекты, воспроизводит известные данные и предсказанный остров стабильности (в котором барьеры деления и периоды полураспада, как ожидается, увеличиваются, достигая максимума при закрытии оболочки), хотя также предлагает возможный предел существования сверхтяжелых ядер за пределамиZ  =  120 и N  = 184. ^[10]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Freedman, R .; Янг, Х. (2004). Физика Университета Сирса и Земанского с современной физикой (11-е изд.). С. 1633–1634. ISBN 978-0-8053-8768-1.
• Liverhant, SE (1960). Элементарное введение в физику ядерных реакторов . Джон Вили и сыновья . С.  58–62 . LCCN  60011725 .
• Choppin, G .; Liljenzin, J.-O .; Ридберг, Дж. (2002). «Ядерная масса и стабильность» (PDF) . Радиохимия и ядерная химия (3-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . С. 41–57. ISBN 978-0-7506-7463-8.

Внешние ссылки [ править ]

• Модель ядерной жидкой капли в онлайн-справочнике по гиперфизике в Университете штата Джорджия .
• Модель жидкой капли с подгонкой параметров из первых наблюдений возбужденных состояний в нейтронно- ^{дефицитных} ядрах ^{160, 161} W и ¹⁵⁹ Ta , Алекс Кинан, докторская диссертация, Ливерпульский университет , 1999 ( версия HTML ).