В арифметической геометрии группа Тейта–Шафаревича Ø( A / K ) абелева многообразия A (или, в более общем смысле, групповая схема ), определенная над числовым полем K , состоит из элементов группы Вейля–Шатле WC( A / K ) = H 1 ( G K , A ) , которые становятся тривиальными во всех пополнениях K (т. е. p -адических полях, полученных из K, а также его вещественные и комплексные пополнения). Таким образом, в терминах когомологий Галуа это может быть записано как
Эта группа была введена Сержем Лангом и Джоном Тейтом [1] и Игорем Шафаревичем . [2] Кассель ввел обозначение Ш( А / К ) , где Ш — кириллическая буква « Ша », для Шафаревича, заменив старое обозначение ТС .
Геометрически нетривиальные элементы группы Тейта–Шафаревича можно рассматривать как однородные пространства A , которые имеют K v -рациональных точек для каждой позиции v из K , но не имеют K -рациональных точек. Таким образом, группа измеряет степень нарушения принципа Хассе для рациональных уравнений с коэффициентами в поле K . Карл-Эрик Линд привел пример такого однородного пространства, показав, что кривая рода 1 x 4 − 17 = 2 y 2 имеет решения над действительными числами и над всеми p-адические поля, но не имеет рациональных точек. [3] Эрнст С. Сельмер привел еще много примеров, таких как 3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0 . [4]
Частный случай группы Тейта–Шафаревича для конечной групповой схемы, состоящей из точек некоторого заданного конечного порядка n абелева многообразия, тесно связан с группой Зельмера .
Гипотеза Тейта–Шафаревича утверждает, что группа Тейта–Шафаревича конечна. Карл Рубин доказал это для некоторых эллиптических кривых ранга не выше 1 с комплексным умножением . [5] Виктор А. Колывагин распространил это на модулярные эллиптические кривые над рациональными числами аналитического ранга не выше 1 ( позже теорема о модулярности показала, что предположение о модульности всегда выполняется). [6]
Спаривание Касселя–Тейта — это билинейное спаривание Ø( A ) × Ø( Â ) → Q / Z , где A — абелев многообразие, а Â — двойственное к нему многообразие. Кассель ввел это для эллиптических кривых , когда A можно отождествить с Â , а спаривание представляет собой знакопеременную форму. [7] Ядром этой формы является подгруппа делимых элементов, что тривиально, если верна гипотеза Тейта–Шафаревича. Тейт распространил спаривание на общие абелевы многообразия как разновидность двойственности Тейта . [8] Выбор поляризации на Aдает отображение из A в Â , которое индуцирует билинейное спаривание на Ø ( A ) со значениями в Q / Z , но, в отличие от случая эллиптических кривых, это не обязательно должно быть знакопеременным или даже кососимметричным.