В математике , Порядок Шарковского , названный в честь Александра Николаевич Шарковского , который опубликовал его в 1964 году, является результатом о дискретных динамических системах . [1] Одно из следствий теоремы состоит в том, что если дискретная динамическая система на реальной прямой имеет периодическую точку периода 3, то она должна иметь периодические точки любого другого периода.
Заявление
На какой-то интервал , предполагать
является непрерывной функцией . Мы говорим, что число x является периодической точкой периода m, если f m ( x ) = x (где f m обозначает композицию m копий f ) и имеет наименьший период m, если, кроме того, f k ( x ) ≠ x для всех 0 < к < м . Нас интересуют возможные периоды периодических точек функции f . Рассмотрим следующий порядок положительных целых чисел :
Это состоит из:
- нечетные числа в порядке возрастания,
- В 2 раза больше шансов в порядке возрастания,
- В 4 раза больше шансов в порядке возрастания,
- В 8 раз больше,
- и т.п.
- в конце мы располагаем степени двойки в порядке убывания.
Этот порядок является полным порядком (каждое положительное целое число встречается где-то в этом списке ровно один раз), но не правильным порядком (например, в нем нет «самой ранней» степени двойки).
Теорема Шарковского утверждает, что если f имеет периодическую точку наименьшего периода m , а m предшествует n в указанном выше порядке, то f также имеет периодическую точку наименьшего периода n .
Как следствие, мы видим, что если f имеет только конечное число периодических точек, то все они должны иметь периоды, являющиеся степенями двойки. Более того, если существует периодическая точка периода три, то есть периодические точки всех других периодов.
Теорема Шарковского не утверждает, что существуют устойчивые циклы этих периодов, а утверждает, что существуют циклы этих периодов. Для таких систем, как логистическая карта , бифуркационная диаграмма показывает диапазон значений параметров, для которых, по-видимому, единственный цикл имеет период 3. На самом деле там должны быть циклы всех периодов, но они нестабильны и поэтому не видны на компьютерная картинка.
Предположение о непрерывности важно, так как разрывная кусочно-линейная функция определяется как:
для которого каждое значение имеет период 3, иначе было бы контрпримером.
Столь же существенно предположение о том, что определяется на интервале - в противном случае , который определен на вещественных числах, кроме одного: для которого каждое ненулевое значение имеет период 3, было бы контрпримером.
Обобщения
Шарковский также доказал обратную теорему: каждое верхнее множество указанного порядка является множеством периодов некоторой непрерывной функции от интервала к себе. Фактически все такие наборы периодов достигаются семейством функций, для , за исключением пустого набора периодов, который достигается , . [2] [3]
Тьен-Иен Ли и Джеймс А. Йорк показали в 1975 году, что существование цикла с периодом 3 не только подразумевает существование циклов всех периодов, но, кроме того, подразумевает существование бесчисленного множества точек, которые никогда не отображаются в любой цикл ( точки хаоса ) - свойство, известное как период три, подразумевает хаос . [4]
Теорема Шарковского не сразу применима к динамическим системам на других топологических пространствах. Легко найти карту окружности только с периодическими точками периода 3: возьмем, например, поворот на 120 градусов. Но возможны некоторые обобщения, обычно включающие группу классов отображений пространства за вычетом периодической орбиты. Например, Питер Клоеден показал, что теорема Шарковского верна для треугольных отображений, т. Е. Отображений, для которых компонента f i зависит только от первых i компонент x 1 , ..., x i . [5]
Рекомендации
- ↑ Шарковский АН (1964). «Сосуществование циклов непрерывного отображения линии в себя». Украинская математика. Дж . 16 : 61–71.
- ^ Alsedà, L .; Llibre, J .; Мисюревич, М. (2000). Комбинаторная динамика и энтропия в размерности один . Мировая научная издательская компания. ISBN 978-981-02-4053-0.
- ^ Burns, K .; Хассельблатт, Б. (2011). «Теорема Шарковского: естественное прямое доказательство». Американский математический ежемесячник . 118 (3): 229–244. CiteSeerX 10.1.1.216.784 . DOI : 10,4169 / amer.math.monthly.118.03.229 . S2CID 15523008 .
- ^ Li, TY; Йорк, Дж. А. (1975). «Третий период подразумевает хаос». Американский математический ежемесячник . 82 (10): 985–992. Bibcode : 1975AmMM ... 82..985L . DOI : 10.1080 / 00029890.1975.11994008 . JSTOR 2318254 .
- ^ Kloeden, PE (1979). «Об упорядочении сосуществования цикла Шарковского» . Бюллетень Austral. Математика. Soc . 20 (2): 171–178. DOI : 10.1017 / S0004972700010819 .
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Шарковского» . MathWorld .
- Теорема Шарковского в PlanetMath .
- Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
- Мисюревич, Михал. «Замечания к теореме Шарковского». Американский математический ежемесячник , Vol. 104, No. 9 (ноябрь 1997 г.), стр. 846-847. Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - Кейт Бернс и Борис Хассельблатт, Теорема Шарковского: естественное прямое доказательство