Теорема Синкхорна утверждает, что любую квадратную матрицу с положительными элементами можно записать в определенной стандартной форме.
Если A — матрица размера n × n со строго положительными элементами, то существуют диагональные матрицы D 1 и D 2 со строго положительными диагональными элементами такие, что D 1 AD 2 дважды стохастична . Матрицы D 1 и D 2 уникальны по модулю умножения первой матрицы на положительное число и деления второй на то же число. [1] [2]
Простой итерационный метод приближения к двойной стохастической матрице состоит в том, чтобы поочередно масштабировать все строки и все столбцы матрицы A , чтобы в сумме получить 1. Синкхорн и Кнопп представили этот алгоритм и проанализировали его сходимость.[3] По сути, это то же самое, что и алгоритм итеративной пропорциональной подгонки , хорошо известный в статистике опросов.
Также верен следующий аналог для унитарных матриц: для каждой унитарной матрицы U существуют две диагональные унитарные матрицы L и R такие, что каждый из столбцов и строк LUR суммируется с 1. [ 4]
Следующее расширение для отображений между матрицами также верно (см. теорему 5 [5] , а также теорему 4.7 [6] ): для оператора Крауса, который представляет квантовую операцию Φ, отображающую матрицу плотности в другую,
и, кроме того, чей диапазон находится внутри положительно определенного конуса (строгая положительность), существуют скейлинги x j для j в {0,1}, которые являются положительно определенными, так что ремасштабированный оператор Крауса