Карта подковы
В математике теории хаоса подковообразное отображение — это любой член класса хаотических отображений квадрата в себя. Это основной пример в изучении динамических систем . Карта была введена Стивеном Смейлом при изучении поведения орбит осциллятора Ван - дер-Поля . Действие карты определяется геометрически: сжатие квадрата, затем растяжение результата в длинную полосу и, наконец, складывание полосы в форму подковы.
Большинство точек в конечном итоге покидают квадрат под действием карты. Они идут к боковым шапкам, где при итерации сойдутся к фиксированной точке в одной из шапочек. Точки, которые остаются в квадрате при повторной итерации, образуют фрактальное множество и являются частью инвариантного множества карты.
Сжатие, растяжение и складывание карты-подковы типичны для хаотических систем, но не необходимы и даже не достаточны. [1]
В подковообразной карте сжатие и растяжение равномерны. Они компенсируют друг друга так, что площадь квадрата не меняется. Сворачивание сделано аккуратно, так что орбиты, навсегда оставшиеся в квадрате, можно просто описать.
Подковообразное отображение f является диффеоморфизмом , определенным из области S плоскости в себя. Область S представляет собой квадрат, увенчанный двумя полукругами. Действие f определяется через композицию трех геометрически определенных преобразований. Сначала квадрат сжимается по вертикали в а < 1/2 раз . Шляпки стягиваются так, чтобы полудиски оставались прикрепленными к получившемуся прямоугольнику. Сокращение с коэффициентом меньше половины гарантирует, что между ветвями подковы будет зазор. Затем прямоугольник растягивается по горизонтали с коэффициентом 1 / a. ; шапки остаются без изменений. Наконец, полученная полоса складывается в форме подковы и помещается обратно в S.
Интересная часть динамики — это изображение квадрата в самом себе. Как только эта часть определена, карту можно расширить до диффеоморфизма , определив ее действие на шапки. Колпачки сжимаются и в конечном итоге отображаются внутри одного из колпачков (левого на рисунке). Расширение f до шапки добавляет фиксированную точку к неблуждающему множеству карты. Чтобы класс подковообразных карт оставался простым, изогнутая область подковы не должна отображаться обратно в квадрат.
