Гладкость

В математическом анализе гладкость функции — это свойство, измеряемое количеством непрерывных производных, которые она имеет в некоторой области, называемой классом дифференцируемости . ^[1] Как минимум, функцию можно считать гладкой, если она везде дифференцируема (следовательно, непрерывна). ^[2] С другой стороны, она может также иметь производные всех порядков в своей области определения , и в этом случае говорят, что она бесконечно дифференцируема и называется C-бесконечной функцией (или функцией). ^[3] ${\ Displaystyle С ^ {\ infty}}$

Класс дифференцируемости — это классификация функций по свойствам их производных . Это мера высшего порядка производной, которая существует и непрерывна для функции.

Бамп -функция — это гладкая функция с компактным носителем .

Функция C ⁰ f ( x ) = x для x ≥ 0 и 0 в противном случае.

Функция g ( x ) = x ² sin(1/ x ) для x > 0 .

Функция с для и дифференцируема. Однако эта функция не является непрерывно дифференцируемой.${\ Displaystyle е: \ mathbb {R} \ к \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2} \ грех \ влево ({\ tfrac {1} {х}} \ вправо)}$${\ Displaystyle х \ neq 0}$${\ Displaystyle е (0) = 0}$

Гладкая функция, не являющаяся аналитической.

Прикреплены два сегмента кривой Безье , которые являются непрерывными только C ⁰

Два сегмента кривой Безье, соединенные таким образом, что они являются непрерывными C ¹

Кривые с контактом G ¹ (окружности, линия)

${\ displaystyle (1- \ varepsilon ^ {2}) x ^ {2} -2px + y ^ {2} = 0, \ p> 0 \, \ varepsilon \ geq 0}$
пучок конических сечений с контактом G ² : p фиксированный, переменный ( : окружность, : эллипс, : парабола, : гипербола)${\ Displaystyle \ varepsilon}$
${\ Displaystyle \ varepsilon = 0}$${\ Displaystyle \ varepsilon = 0,8}$${\ Displaystyle \ varepsilon = 1}$${\ Displaystyle \ varepsilon = 1,2}$