Топологический дефект

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинством читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Октябрь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Топологический солитон или «Торон» происходит , когда две соседние структуры или пространствав некотором роде «не совпадают по фазе» друг с другом, что делает невозможным плавный переход между ними. Один из простейших и наиболее распространенных примеров топологического солитона встречается в старомодных спиральных телефонных шнурах телефонных трубок, которые обычно наматываются по часовой стрелке. Годы поднятия трубки могут закончиться тем, что части шнура будут наматываться в противоположном направлении против часовой стрелки, и когда это произойдет, будет характерная большая петля, разделяющая два направления наматывания. Этот странно выглядящий переходный контур, который не вращается ни по часовой, ни против часовой стрелки, является отличным примером топологического солитона. Независимо от того, насколько сложен контекст, все, что квалифицируется как топологический солитон, должно на каком-то уровне демонстрировать ту же простую проблему согласования, что и в примере скрученного телефонного кабеля.

Топологические солитоны легко возникают при создании кристаллических полупроводников, используемых в современной электронике, и в этом контексте их эффекты почти всегда вредны. По этой причине такие кристаллические переходы называют топологическими дефектами . Однако эта в основном твердотельная терминология отвлекает от богатых и интригующих математических свойств таких граничных областей. Таким образом, для большинства нетвердотельных контекстов предпочтительнее более позитивная и математически богатая фраза «топологический солитон».

Ниже приводится более подробное обсуждение топологических солитонов и связанных с ними вопросов.

В математике и физике , А топологический солитон или топологический дефект является решением системы уравнений в частных производных или в квантовой теории поля гомотопический отличной от вакуумного решения .

Обзор [ править ]

Существование топологического дефекта можно продемонстрировать всякий раз, когда граничные условия влекут за собой существование гомотопически различных решений. Обычно это происходит потому, что граница, на которой задаются условия, имеет нетривиальную гомотопическую группу, которая сохраняется в дифференциальных уравнениях ; тогда решения дифференциальных уравнений топологически различны и классифицируются по их гомотопическому классу . Топологические дефекты не только устойчивы к небольшим возмущениям , но и не могут распадаться, разрушаться или распутываться именно потому, что не существует непрерывного преобразования, которое отображало бы их (гомотопически) в однородное или «тривиальное» решение..

Примеры [ править ]

Топологические дефекты возникают в уравнениях с частными производными и считаются ^{[ согласно кому? ]} водить ^{[ как? ]} фазовые переходы в физике конденсированного состояния .

Подлинность ^{[ требуется дальнейшее объяснение ]} топологического дефекта зависит от природы вакуума, в который система будет стремиться, если истечет бесконечное время; ложные и истинные топологические дефекты можно различить, если дефект находится в ложном и истинном вакууме соответственно. ^{[ требуется разъяснение ]}

Уединенная волна PDEs [ править ]

Примеры включают солитонную или уединенную волну, которая встречается в точно решаемых моделях , таких как

• винтовые дислокации в кристаллических материалах,
• скирмион в квантовой теории поля и
• топологические дефекты ^{[ требуется пояснение ]} модели Весса – Зумино – Виттена .

Лямбда-переходы [ править ]

Топологические дефекты в системах класса универсальности лямбда-переходов ^{[ требуется пояснение ]} , включая:

• винтовые / краевые дислокации в жидких кристаллах ,
• «трубки» магнитного потока, известные как флюксоны в сверхпроводниках , и
• вихри в сверхтекучих жидкостях .

Космологические дефекты [ править ]

Топологические дефекты космологического типа - это чрезвычайно высокоэнергетические ^{[ необходимы пояснения ]} явления, которые, как считается, нецелесообразно вызывать ^{[ по мнению кого? ]} в земных физических экспериментах. Топологические дефекты, созданные при формировании Вселенной, теоретически можно было наблюдать без значительных затрат энергии.

Согласно теории Большого взрыва , Вселенная охлаждается из начального горячего, плотного состояния, вызывая серию фазовых переходов, очень похожих на то, что происходит в системах конденсированной материи, таких как сверхпроводники. Определенные ^{[ какие? ]} теории великого объединения предсказывают образование стабильных топологических дефектов в ранней Вселенной во время этих фазовых переходов.

Разбивка симметрии [ править ]

Считается, что в зависимости от природы нарушения симметрии в ранней Вселенной в соответствии с механизмом Киббла-Зурека сформировались различные солитоны . К хорошо известным топологическим дефектам относятся:

• Космические струны - это одномерные линии, которые образуются при нарушении осевой или цилиндрической симметрии.
• Доменные стенки , двумерные мембраны, образующиеся при нарушении дискретной симметрии при фазовом переходе. Эти стены напоминают стенки пенопласта с закрытыми ячейками , разделяющего вселенную на отдельные ячейки.
• Предполагается , что монополи , кубические дефекты, образующиеся при нарушении сферической симметрии, обладают магнитным зарядом, ^{[ почему? ]} либо на север, либо на юг (и поэтому их обычно называют « магнитными монополями »).
• Текстуры образуются, когда более крупные и сложные группы симметрии ^{[ какие? ]} полностью сломаны. Они не так локализованы, как другие дефекты, и нестабильны. ^{[ требуется разъяснение ]}
• Скирмионы
• Дополнительные размеры и более высокие размеры .

Возможны и другие более сложные гибриды этих типов дефектов.

По мере того, как Вселенная расширялась и охлаждалась, симметрии законов физики начали нарушаться в областях, которые распространяются со скоростью света ; топологические дефекты возникают на границах прилегающих областей. ^{[ как? ]} Вещество, составляющее эти границы, находится в упорядоченной фазе , которая сохраняется после завершения фазового перехода в неупорядоченную фазу для окружающих областей.

Биохимия [ править ]

Дефекты ^{[ какие? ]} также были обнаружены в биохимии, особенно в процессе сворачивания белков.

Формальная классификация [ править ]

Заказал среда определяется как область пространства описывается функцией F ( г ), сопоставляющее каждой точке в области параметра порядка , а также возможных значений пространства параметров порядка представляют собой параметр порядка пространство . Гомотопическая теория дефектов использует фундаментальную группу пространства параметров порядка среды для обсуждения существования, стабильности и классификации топологических дефектов в этой среде. ^[1]

Предположим , что R является пространство параметров порядка для среды, и пусть G является группой Ли преобразований на R . Пусть H - подгруппа симметрии среды G. Тогда параметр порядка пространство может быть записана в виде группы Ли фактор ^[2] R = G / H .

Если G - универсальное покрытие для G / H , то можно показать ^[2], что π _n ( G / H ) = π _{n −1} ( H ), где π _i обозначает i -ю гомотопическую группу .

Различные типы дефектов в среде можно охарактеризовать элементами различных гомотопических групп пространства параметров порядка. Например, (в трех измерениях) линейные дефекты соответствуют элементам π ₁ ( R ), точечные дефекты соответствуют элементам π ₂ ( R ), текстуры соответствуют элементам π ₃ ( R ). Однако дефекты, которые принадлежат одному и тому же классу сопряженности π ₁ ( R ), могут непрерывно деформироваться друг в друга ^[1], и, следовательно, различные дефекты соответствуют различным классам сопряженности.

Поэнару и Тулуза показали, что ^[3] перекрестные дефекты запутываются тогда и только тогда, когда они являются членами отдельных классов сопряженности π ₁ ( R ).

Наблюдение [ править ]

Топологические дефекты астрономами не наблюдались; однако некоторые типы несовместимы с текущими наблюдениями. В частности, если бы доменные границы и монополи присутствовали в наблюдаемой Вселенной, они бы привели к значительным отклонениям от того, что могут видеть астрономы.

Из-за этих наблюдений образование дефектов в наблюдаемой Вселенной сильно ограничено, что требует особых обстоятельств (см. Инфляция (космология) ). С другой стороны, космические струны были предложены как обеспечивающие начальную «зародышевую» гравитацию, вокруг которой сгущалась крупномасштабная структура космоса материи. Текстуры также безобидны. ^{[ требуется пояснение ]} В конце 2007 года холодное пятно на космическом микроволновом фоне стало свидетельством возможной текстуры . ^[4]

Конденсированное вещество [ править ]

В физике конденсированного состояния теория гомотопических групп обеспечивает естественную среду для описания и классификации дефектов в упорядоченных системах. ^[1] Топологические методы использовались в ряде задач теории конденсированного состояния. Поэнару и Тулуза использовали топологические методы для получения условия для линейных (струнных) дефектов в жидких кристаллах, которые могут пересекать друг друга без запутывания. Это было нетривиальное применение топологии, которое впервые привело к открытию своеобразного гидродинамического поведения в А- фазе сверхтекучего гелия- 3. ^[1]

Стабильные дефекты [ править ]

Теория гомотопий глубоко связана со стабильностью топологических дефектов. В случае линейного дефекта, если замкнутый путь можно непрерывно деформировать в одну точку, дефект не является устойчивым, а в противном случае - устойчивым.

В отличие от космологии и теории поля, топологические дефекты в конденсированной среде наблюдаются экспериментально. ^[5] Ферромагнитные материалы имеют области магнитного выравнивания, разделенные доменными стенками. Нематические и биаксиальные нематические жидкие кристаллы демонстрируют множество дефектов, включая монополи, струны, текстуры и т. Д. ^[1]

Изображения [ редактировать ]

Статическое решение в (1 + 1) -мерном пространстве-времени.${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ partial _ {\ mu} \ phi \ partial ^ {\ mu} \ phi - \ left (\ phi ^ {2} -1 \ right) ^ {2}}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Космические струны и другие топологические дефекты
• http://demonstrations.wolfram.com/SeparationOfTopologicalSingularities/