В математической области теории множеств модель Соловея представляет собой модель , построенную Робертом М. Соловеем ( 1970 ), в которой выполняются все аксиомы теории множеств Цермело-Френкеля (ZF), за исключением аксиомы выбора , но в которой все множества действительных чисел измеримы по Лебегу . Конструкция опирается на существование недостижимого кардинального .
Таким образом, Соловей показал, что аксиома выбора необходима для доказательства существования неизмеримого множества , по крайней мере при условии, что существование недостижимого кардинального числа согласуется с ZFC , аксиомами теории множеств Цермело-Френкеля, включая аксиома выбора.
Теорема Соловея состоит в следующем. Предполагая существование недостижимого кардинала, существует внутренняя модель ZF + DC подходящего вынуждающего расширения V [ G ] такая, что каждое множество действительных чисел измеримо по Лебегу, имеет свойство совершенного множества и свойство Бэра .
Соловей построил свою модель в два этапа, начиная с модели M ZFC, содержащей недоступный кардинал κ.
Первый шаг состоит в коллапсе Леви M [ G ] множества M путем добавления общего множества G для понятия принуждения, которое сводит все кардиналы, меньшие κ, к ω. Тогда M [ G ] является моделью ZFC со свойством, согласно которому каждое множество вещественных чисел, определяемое над счетной последовательностью ординалов, измеримо по Лебегу и обладает свойствами Бэра и совершенного множества. (Это включает в себя все определимые и проективные множества действительных чисел, однако по причинам, связанным с теоремой Тарского о неопределимостипонятие определимого множества действительных чисел не может быть определено на языке теории множеств, в то время как понятие множества действительных чисел, определимого над счетной последовательностью ординалов, может быть.)
Второй шаг — построить модель Соловея N как класс всех множеств в M [ G ], наследственно определимых над счетной последовательностью ординалов. Модель N является внутренней моделью M [ G ], удовлетворяющей ZF + DC, так что каждое множество вещественных чисел измеримо по Лебегу, обладает свойством совершенного множества и свойством Бэра. Доказательство этого использует тот факт, что каждое действительное число в M [ G ] определимо над счетной последовательностью ординалов, и, следовательно, N и M [ G ] имеют одни и те же действительные числа.