Космическая группа

Пространственная группа гексагонального льда H ₂ O равна P6 ₃ / mmc . Первый m указывает плоскость зеркала, перпендикулярную оси c (a), второй m указывает плоскости зеркала, параллельные оси c (b), а c указывает плоскости скольжения (b) и (c). Черные квадраты очерчивают элементарную ячейку.

В математике , физике и химии , А пространственная группа является группой симметрии конфигурации в пространстве, как правило , в трех измерениях . ^[1] В трех измерениях существует 219 различных типов или 230, если хиральные копии считаются отдельными. Пространственные группы также изучаются в размерностях, отличных от 3, где они иногда называются группами Бибербаха , и представляют собой дискретные кокомпактные группы изометрий ориентированного евклидова пространства .

В кристаллографии пространственные группы также называются кристаллографическими или федоровскими группами и представляют собой описание симметрии кристалла. Окончательный источник, касающийся трехмерных пространственных групп, - это Международные таблицы кристаллографии ( Hahn (2002) ).

История [ править ]

Космические группы в 2 измерениях - это 17 групп обоев, которые были известны на протяжении нескольких столетий, хотя доказательство того, что список был полным, было дано только в 1891 году, после того, как была в основном завершена гораздо более сложная классификация космических групп. ^[2] В 1879 году немецкий математик Леонард Зонке перечислил 65 пространственных групп (называемых группами Зонке), элементы которых сохраняют киральность . ^[3] Точнее, он перечислил 66 групп, но и русский математик и кристаллограф Евграф Федоров, и немецкий математик Артур Мориц Шенфлисзаметил, что двое из них действительно были одинаковыми. Пространственные группы в трех измерениях были впервые перечислены в 1891 году Федоровым ^[4] (в чьем списке было два пропусков (I 4 3d и Fdd2) и одно дублирование (Fmm2)), а вскоре после этого в 1891 году они были независимо перечислены Шенфлисом ^[5]. (в чьем списке было четыре пропусков (I 4 3d, Pc, Cc,?) и одно дублирование (P 4 2 ₁ m)). Правильный список 230 космических групп был найден к 1892 году во время переписки между Федоровым и Шенфлисом. ^[6] Барлоу ( 1894 ) позже перечислил группы другим методом, но пропустил четыре группы (Fdd2, I 4 2d, P 42 ₁ d и P 4 2 ₁ c) даже при том, что у него уже был правильный список из 230 групп от Федорова и Шенфлиса; распространенное утверждение, что Барлоу не знал об их работе, неверно. ^{[ необходимая цитата ]}Буркхардт (1967) подробно описывает историю открытия космических групп.

Элементы [ править ]

Пространственные группы в трех измерениях состоят из комбинаций 32 кристаллографических точечных групп с 14 решетками Браве , каждая из которых принадлежит одной из 7 систем решеток . Это означает, что действие любого элемента данной пространственной группы может быть выражено как действие элемента соответствующей точечной группы, за которым, возможно, следует перевод. Таким образом, пространственная группа представляет собой некоторую комбинацию трансляционной симметрии элементарной ячейки (включая центрирование решетки ), операций точечной групповой симметрии отражения , вращения и неправильного вращения (также называемых ротоинверсией) и оси винта.и операции симметрии плоскости скольжения . Комбинация всех этих операций симметрии дает в общей сложности 230 различных пространственных групп, описывающих все возможные симметрии кристаллов.

Элементы, фиксирующие точку [ править ]

Элементами пространственной группы, фиксирующими точку пространства, являются элемент тождества, отражения, вращения и неправильные вращения .

Переводы [ править ]

Переводы образуют нормальную абелеву подгруппу ранга 3, называемую решеткой Браве. Существует 14 возможных типов решетки Браве. Фактор пространственной группы решетка Бравы является конечной группой , которая является одним из 32 возможных групп точечных .

Планирующие самолеты [ править ]

Плоскость скольжения является отражение в плоскости, за которым следует перевод параллельно с этой плоскостью. Это обозначается , или , в зависимости от того, по какой оси идет скольжение. Есть также скольжение, которое представляет собой скольжение по половине диагонали грани, и скольжение, которое составляет четверть пути по диагонали грани или пространственной диагонали элементарной ячейки. Последний называется плоскостью скольжения алмаза, поскольку он присутствует в структуре алмаза . В 17 пространственных группах, за счет центрирования ячейки, скольжения происходят одновременно в двух перпендикулярных направлениях, т.е. одну и ту же плоскость скольжения можно назвать b или c , a или b. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle d}$ , а или в . Например, группа Abm2 также может называться Acm2, группа Ccca может называться Cccb. В 1992 году для таких самолетов было предложено использовать символ e . Изменены символы для пяти пространственных групп:

Космическая группа №	39	41 год	64	67	68
Новый символ	Aem2	Aea2	Cmce	Смм	Ccce
Старый символ	Abm2	Aba2	CMCA	CMMA	Ccca

Винтовые оси [ править ]

Ось винта является вращением вокруг оси, с последующим переносом вдоль направления оси. Они отмечены числом n для описания степени вращения, где число показывает, сколько операций должно быть выполнено для завершения полного вращения (например, 3 будет означать поворот на одну треть пути вокруг оси каждый раз). . Затем степень смещения добавляется в виде нижнего индекса, показывающего, как далеко по оси находится смещение, как часть вектора параллельной решетки. Итак, 2 ₁ - это двукратный поворот, за которым следует перенос 1/2 вектора решетки.

Общая формула [ править ]

Общая формула действия элемента пространственной группы такова:

у = М . х + D

где M - его матрица, D - его вектор, и где элемент преобразует точку x в точку y . В общем, D = D ( решетка ) + D ( M ), где D ( M ) - единственная функция от M, которая равна нулю, если M является единицей. Матрицы M образуют точечную группуэто основа космической группы; решетка должна быть симметричной относительно этой точечной группы, но сама кристаллическая структура не может быть симметричной относительно этой точечной группы применительно к какой-либо конкретной точке (то есть без трансляции). Например, кубическая структура алмаза не имеет точки, в которой применяется кубическая точечная группа .

Размер решетки может быть меньше, чем общий размер, что приводит к «субпериодической» пространственной группе. Для (габаритный размер, размер решетки):

(1,1): Одномерные группы линий
(2,1): Двумерные группы линий : группы фризов
(2,2): Группы обоев
(3,1): трехмерные группы линий ; с трехмерными кристаллографическими точечными группами стержневые группы
(3,2): Группы слоев
(3,3): космические группы, обсуждаемые в этой статье.

Обозначение [ править ]

Существует как минимум десять способов присвоения имен пространственным группам. Некоторые из этих методов могут назначать несколько разных имен одной и той же пространственной группе, поэтому в целом существует много тысяч разных имен.

Число: Международный союз кристаллографии публикует таблицы всех типов пространственных групп и присваивает каждой из них уникальный номер от 1 до 230. Нумерация произвольная, за исключением того, что группам с одинаковой кристаллической системой или точечной группой даются последовательные номера.

Обозначение международного символа

Обозначения Германа – Могена

Обозначение Германа – Могена (или международное) описывает решетку и некоторые образующие группы. Он имеет сокращенную форму, называемую международным коротким символом , который наиболее часто используется в кристаллографии и обычно состоит из набора из четырех символов. Первый описывает центрирование решетки Браве ( P , A , C , I , R или F ). Следующие три описывают наиболее заметную операцию симметрии, видимую при проецировании вдоль одного из направлений высокой симметрии кристалла. Эти символы такие же, как и в группах точек., с добавлением плоскостей скольжения и оси винта, описанных выше. В качестве примера, пространственная группа кварца - P3 ₁ 21, показывая, что он демонстрирует примитивное центрирование мотива (то есть, один раз на элементарную ячейку) с осью винта тройного порядка и осью двойного вращения. Обратите внимание, что он явно не содержит кристаллическую систему , хотя она уникальна для каждой пространственной группы (в случае P 3 ₁ 21 она тригональная).

В международном коротком символе первый символ (3 ₁ в этом примере) обозначает симметрию вдоль большой оси (ось c в тригональных случаях), второй (2 в данном случае) вдоль осей второстепенного значения (a и b) и третий символ - симметрия в другом направлении. В тригональном случае также существует пространственная группа P3 ₁ 12. В этой пространственной группе оси второго порядка расположены не вдоль осей a и b, а в направлении, повернутом на 30 °.

Международные символы и международные короткие символы для некоторых космических групп были незначительно изменены в период с 1935 по 2002 год, поэтому в нескольких космических группах используются 4 разных международных символа.

Направления обзора 7 кристаллических систем показаны ниже.

Положение в символе	Триклиник	Моноклиника	Орторомбический	Тетрагональный	Тригональный	Шестиугольный	Кубический
1	-	б	а	c	c	c	а
2	-		б	а	а	а	[111]
3	-		c	[110]	[210]	[210]	[110]

Обозначения Холла ^[7]: Обозначение пространственной группы с явным происхождением. Символы вращения, перемещения и направления оси четко разделены, а центры инверсии явно определены. Конструкция и формат записи делают ее особенно подходящей для компьютерной генерации информации о симметрии. Например, группа номер 3 имеет три символа Холла: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2), P 2x (P 2 1 1).
Обозначение Шенфлиса: Пространственные группы с данной точечной группой пронумерованы цифрами 1, 2, 3,… (в том же порядке, что и их международный номер), и этот номер добавляется как надстрочный индекс к символу Шенфлиса для точечной группы. Например, группы с номерами от 3 до 5, точечная группа которых равна C _2, имеют символы Шенфлиса C¹
₂, С²
₂, С³
₂.

Обозначения Федорова

Символ Шубникова

Strukturbericht обозначение

Соответствующие обозначения для кристаллических структур с буквой и индексом: A Элементы (одноатомные), B для соединений AB, C для соединений AB ₂ , D для соединений A _m B _n , ( E , F , ..., K Более сложные соединения ), L Сплавы, O Органические соединения, S Силикаты. Некоторые структурные обозначения имеют одни и те же пространственные группы. Например, пространственная группа 225 - это A ₁ , B ₁ и C ₁ . Пространственная группа 221 - это A _h и B ₂ .^[8] Однако кристаллографы не будут использовать нотацию Strukturbericht для описания пространственной группы, скорее она будет использоваться для описания конкретной кристаллической структуры (например, пространственная группа + атомное расположение (мотив)).

Обозначение орбифолда (2D)

Обозначение фибрифолда (3D)

Как следует из названия, обозначение орбифолда описывает орбифолд, задаваемый фактором евклидова пространства по пространственной группе, а не генераторами пространственной группы. Он был введен Конвеем и Терстоном и почти не используется вне математики. С некоторыми из пространственных групп связано несколько различных слоистых многообразий, поэтому они имеют несколько различных символов слоистых образований.

Обозначение Кокстера: Группы пространственной и точечной симметрии, представленные как модификации чисто отражательных групп Кокстера .
Геометрические обозначения ^[9]: Геометрическая алгебра нотации.

Системы классификации [ править ]

Существует (по крайней мере) 10 различных способов классификации космических групп по классам. Отношения между некоторыми из них описаны в следующей таблице. Каждая классификационная система является усовершенствованием нижеследующих.

(Кристаллографические) типы пространственных групп (230 в трех измерениях)
Две пространственные группы, рассматриваемые как подгруппы группы аффинных преобразований пространства, имеют один и тот же тип пространственной группы, если они сопряжены аффинным преобразованием, сохраняющим киральность. В трех измерениях для 11 аффинных пространственных групп не существует сохраняющего киральность отображения группы на ее зеркальное отображение, поэтому, если выделить группы по их зеркальным изображениям, каждое из них разделится на два случая (например, P4 ₁ и P4 ₃ ). Итак, существует 54 + 11 = 65 типов пространственных групп, сохраняющих киральность (группы Зонке).
Типы аффинных пространственных групп (219 в трех измерениях)
Две пространственные группы, рассматриваемые как подгруппы группы аффинных преобразований пространства, имеют один и тот же тип аффинной пространственной группы, если они сопряжены при аффинном преобразовании. Тип аффинной пространственной группы определяется базовой абстрактной группой пространственной группы. В трех измерениях существует 54 типа аффинных пространственных групп, сохраняющих киральность.
Классы арифметических кристаллов (73 в трех измерениях)
Иногда их называют Z-классами. Они определяются точечной группой вместе с действием точечной группы на подгруппу переводов. Другими словами, арифметические кристаллические классы соответствуют классам сопряженности конечной подгруппы общей линейной группы GL _n ( Z ) над целыми числами. Пространственная группа называется симморфной (или расщепленной ), если существует такая точка, что все симметрии являются продуктом симметрии, фиксирующей эту точку, и сдвига. Эквивалентно, пространственная группа симморфна, если она является полупрямым произведениемего точечной группы с ее подгруппой трансляции. Существует 73 симморфных пространственных группы, по одной в каждом арифметическом кристаллическом классе. Также существует 157 несимморфных пространственных типов групп с различными числами в классах арифметических кристаллов. Арифметические классы кристаллов можно интерпретировать как различные ориентации точечных групп в решетке, при этом матричные компоненты групповых элементов ограничиваются наличием целочисленных коэффициентов в пространстве решетки. Это довольно легко изобразить в двухмерном корпусе группы обоев . У некоторых точечных групп есть отражения, и линии отражения могут проходить вдоль направлений решетки, на полпути между ними или в обоих направлениях. Нет: C ₁ : p1; C ₂ : p2; C ₃ : p3; C ₄ : p4; C ₆ : p6 Вдоль: D ₁ : pm, pg; D ₂ : pmm, pmg, pgg; D ₃ : p31m Между: D ₁ : см; D ₂ : см; D ₃ : p3m1 Оба: D ₄ : p4m, p4g; Д ₆ : п6м
(геометрические) Классы кристаллов (32 в трех измерениях)	Стаи Браве (14 в трех измерениях)
Иногда их называют Q-классами. Кристаллический класс пространственной группы определяется ее точечной группой: фактор по подгруппе трансляций, действующих на решетке. Две пространственные группы принадлежат к одному и тому же кристаллическому классу тогда и только тогда, когда их точечные группы, которые являются подгруппами GL _n ( Z ), сопряжены в большей группе GL _n ( Q ).	Они определяются основным типом решетки Браве. Они соответствуют классам сопряженности точечных групп решетки в GL _n ( Z ), где точечная группа решетки - это группа симметрий основной решетки, которая фиксирует точку решетки, и содержит точечную группу.
Кристаллические системы (7 в трех измерениях)	Решетчатые системы (7 в трех измерениях)
Кристаллические системы представляют собой специальную модификацию решетчатых систем, чтобы сделать их совместимыми с классификацией по точечным группам. Они отличаются от семейств кристаллов тем, что семейство гексагональных кристаллов разделено на два подмножества, называемых тригональными и гексагональными кристаллическими системами. Тригональная кристаллическая система больше, чем система ромбоэдрической решетки, гексагональная кристаллическая система меньше, чем система гексагональной решетки, а остальные кристаллические системы и системы решеток такие же.	Решеточная система пространственной группы определяется классом сопряженности точечной группы решетки (подгруппы GL _n ( Z )) в большей группе GL _n ( Q ). В трех измерениях точечная группа решетки может иметь один из 7 различных порядков 2, 4, 8, 12, 16, 24 или 48. Семейство гексагональных кристаллов разделено на два подмножества, называемых системами ромбоэдрической и гексагональной решеток.
Семейства кристаллов (6 в трех измерениях)
Точечная группа пространственной группы не совсем определяет ее решеточную систему, потому что иногда две пространственные группы с одной и той же точечной группой могут находиться в разных решетчатых системах. Кристаллические семейства формируются из систем решеток путем слияния двух систем решеток всякий раз, когда это происходит, так что кристаллическое семейство пространственной группы определяется либо ее системой решеток, либо ее точечной группой. В трехмерном пространстве единственные два семейства решеток, которые объединяются таким образом, - это гексагональная и ромбоэдрическая системы решеток, которые объединены в гексагональное кристаллическое семейство. Шесть семейств кристаллов в трех измерениях называются триклинными, моноклинными, ромбическими, тетрагональными, гексагональными и кубическими. Семейства кристаллов обычно используются в популярных книгах по кристаллам, где их иногда называют кристаллическими системами.

Конвей , Дельгадо Фридрихс и Хусон и др. ( 2001 ) дал другую классификацию пространственных групп, названную фиброобразной нотацией , в соответствии с фиброобразными структурами на соответствующем орбифолде . Они разделили 219 аффинных пространственных групп на приводимые и неприводимые группы. Приводимые группы делятся на 17 классов, соответствующих 17 группам обоев , а остальные 35 неприводимых групп аналогичны кубическим группам и классифицируются отдельно.

В других измерениях [ править ]

Теоремы Бибербаха [ править ]

В n измерениях аффинная пространственная группа или группа Бибербаха - это дискретная подгруппа изометрий n- мерного евклидова пространства с компактной фундаментальной областью. Бибербах ( 1911 , 1912 ) доказал, что подгруппа трансляций любой такой группы содержит n линейно независимых трансляций и является свободной абелевой подгруппой конечного индекса, а также единственной максимальной нормальной абелевой подгруппой. Он также показал, что в любой размерности nсуществует только конечное число возможностей для класса изоморфизма основной группы пространственной группы, и, более того, действие группы на евклидовом пространстве уникально с точностью до сопряжения посредством аффинных преобразований. Это частично отвечает на восемнадцатую проблему Гильберта . Цассенхаус (1948) показал, что, наоборот, любая группа, являющаяся расширением ^{[ при определении как? ]} Из Z ^п конечной группы , действующей добросовестно является аффинным пространством группы. Объединение этих результатов показывает, что классификация пространственных групп в n измерениях с точностью до сопряжения с помощью аффинных преобразований по существу то же самое, что классификация классов изоморфизма для групп, которые являются расширениямиZ ⁿ конечной группой, действующей точно.

В теоремах Бибербаха важно предположить, что группа действует как изометрии; теоремы не обобщаются на дискретные кокомпактные группы аффинных преобразований евклидова пространства. Контрпримером является трехмерная группа Гейзенберга целых чисел, действующая посредством переводов на группу Гейзенберга действительных чисел, отождествленную с трехмерным евклидовым пространством. Это дискретная кокомпактная группа аффинных преобразований пространства, но не содержит подгруппы Z ³ .

Классификация в малых размерах [ править ]

В этой таблице указано количество типов пространственных групп в малых размерах, включая количество различных классов пространственных групп. В скобках указаны номера энантиоморфных пар.

Размеры	Семейства кристаллов (последовательность A004032 в OEIS )	Кристаллические системы (последовательность A004031 в OEIS )	Решетки Браве (последовательность A256413 в OEIS )	Абстрактные кристаллографические точечные группы (последовательность A006226 в OEIS )	Геометрические классы кристаллов, Q-классы, кристаллографические точечные группы (последовательность A004028 в OEIS )	Арифметические классы кристаллов, Z-классы (последовательность A004027 в OEIS )	Типы аффинных пространственных групп (последовательность A004029 в OEIS )	Типы кристаллографических пространственных групп (последовательность A006227 в OEIS )
0 ^[а]	1	1	1	1	1	1	1	1
1 ^[б]	1	1	1	2	2	2	2	2
2 ^[c]	4	4	5	9	10	13	17	17
3 ^[д]	6	7	14	18	32	73	219 (+11)	230
4 ^[e]	23 (+6)	33 (+7)	64 (+10)	118	227 (+44)	710 (+70)	4783 (+111)	4894
5 ^[f]	32	59	189	239	955	6079	222018 (+79)	222097
6 ^[г]	91	251	841	1594	7103	85308 (+?)	28927915 (+?)	?

^ Тривиальная группа
^ Один - группа целых чисел, а другой - бесконечная группа диэдра ; видеть группы симметрии в одном измерении .
^ Эти двухмерные пространственные группы также называются группами обоев или группами плоскостей .
^ В 3D существует 230 типов кристаллографических пространственных групп, что сокращается до 219 типов аффинных пространственных групп из-за того, что некоторые типы отличаются от их зеркального отображения; говорят, что они отличаются энантиоморфным характером (например, P3₁ 12 и P3₂ 12). Обычно космическая группа относится к 3D. Они были перечислены независимо Барлоу (1894 г.) , Федоровым (1891 г.) и Шенфлисом (1891 г.) .
^ 4895 4-мерных групп были перечислены Гарольдом Брауном, Рольфом Бюловом и Иоахимом Нойбюзером и др. ( 1978 ) Neubüser, Souvignier & Wondratschek (2002) исправили количество энантиоморфных групп со 112 до 111, так что общее количество групп составляет 4783 + 111 = 4894. В 4-мерном пространстве 44 энантиоморфных точечных группы. Если рассматривать энантиоморфные группы как разные, то общее количество точечных групп составляет 227 + 44 = 271.
^ Plesken & Schulz (2000) перечислил те, которые имеют размерность 5. Souvignier (2003) подсчитал энантиоморфы.
^ Plesken & Schulz (2000) перечислили числа размерности 6, позже были найдены исправленные числа. ^[10] Первоначально опубликованное число из 826 типов решеток в Plesken & Hanrath (1984) было исправлено до 841 в Opgenorth, Plesken & Schulz (1998) . См. Также Janssen et al. (2002) . Souvignier (2003) подсчитал энантиоморфы, но в этой статье использовались старые ошибочные данные CARAT для измерения 6.

Магнитные группы и обращение времени [ править ]

Помимо кристаллографических пространственных групп существуют также магнитные пространственные группы (также называемые двухцветными (черно-белыми) кристаллографическими группами или группами Шубникова). Эти симметрии содержат элемент, известный как обращение времени. Они рассматривают время как дополнительное измерение, и элементы группы могут включать обращение времени как отражение в нем. Они важны в магнитных структурах, которые содержат упорядоченные неспаренные спины, то есть ферро- , ферри- или антиферромагнитные структуры, как исследовано методом нейтронографии. Элемент обращения времени переворачивает магнитное вращение, оставляя при этом всю остальную структуру такой же, и его можно комбинировать с рядом других элементов симметрии. Включая обращение времени, в трехмерном пространстве имеется 1651 магнитная пространственная группа ( Kim 1999 , стр. 428). Также было возможно построить магнитные версии для других габаритных размеров и размеров решетки ( статьи Даниэля Литвина , ( Литвин, 2008 ), ( Литвин, 2005 )). Группы Frieze - это группы магнитных одномерных линий, группы слоев - это группы магнитных обоев, а группы осевых трехмерных точек - это группы магнитных 2D-точек. Количество исходных и магнитных групп по (общему, решетчатому) измерению: ( Palistrant 2012 ) ( Souvignier 2006 )

Общий размер	Lattice измерение	Обычные группы			Магнитные группы
Общий размер	Lattice измерение	Имя	Символ	Считать	Символ	Считать
0	0	Группа нульмерной симметрии	$G_{0}$	1	$G_{0}^{1}$	2
1	0	Одномерные точечные группы	$G_{10}$	2	$G_{10}^{1}$	5
1	1	Одномерные дискретные группы симметрии	$G_{1}$	2	$G_{1}^{1}$	7
2	0	Двумерные точечные группы	$G_{20}$	10	$G_{20}^{1}$	31 год
	1	Фриз-группы	$G_{21}$	7	$G_{21}^{1}$	31 год
	2	Группы обоев	$G_{2}$	17	$G_{2}^{1}$	80
3	0	Трехмерные точечные группы	$G_{30}$	32	$G_{30}^{1}$	122
	1	Группы стержней	$G_{31}$	75	$G_{31}^{1}$	394
	2	Группы слоев	$G_{32}$	80	$G_{32}^{1}$	528
	3	Трехмерные пространственные группы	$G_{3}$	230	$G_{3}^{1}$	1651
4	0	Четырехмерные точечные группы	$G_{40}$	271	$G_{40}^{1}$	1202
	1		$G_{41}$	343
	2		$G_{42}$	1091
	3		$G_{43}$	1594
	4	Четырехмерные дискретные группы симметрии	$G_{4}$	4894	$G_{4}^{1}$	62227

Таблица пространственных групп в 2-х измерениях (группы обоев) [ править ]

Таблица групп обоев с использованием классификации трехмерных пространственных групп:

Кристаллическая система (решетка Браве)	Геометрический класс Точечная группа				Арифметический класс	Группы обоев (сотовая диаграмма)
Кристаллическая система (решетка Браве)	Schön.	Орбифолд	Кокс.	Ord.	Арифметический класс	Группы обоев (сотовая диаграмма)
Косой	C ₁	(1)	[] ⁺	1	Никто	p1 (1)
Косой	C ₂	(22)	[2] ⁺	2	Никто	p2 (2222)
Прямоугольный (ромбический по центру)	D ₁	(*)	[]	2	Вдоль	pm (**)	пг (× ×)
Прямоугольный (ромбический по центру)	D ₂	(* 22)	[2]	4	Вдоль	pmm (* 2222)	pmg (22 *)
Ромбический (прямоугольный по центру)	D ₁	(*)	[]	2	Между	см (* ×)
Ромбический (прямоугольный по центру)	D ₂	(* 22)	[2]	4	Между	см (2 * 22)	пгг (22 ×)
Квадрат	C ₄	(44)	[4] ⁺	4	Никто	п4 (442)
Квадрат	D ₄	(* 44)	[4]	8	Обе	p4m (* 442)	p4g (4 * 2)
Шестиугольный	C ₃	(33)	[3] ⁺	3	Никто	п3 (333)
	D ₃	(* 33)	[3]	6	Между	p3m1 (* 333)	p31m (3 * 3)
	С ₆	(66)	[6] ⁺	6	Никто	p6 (632)
	D ₆	(* 66)	[6]	12	Обе	p6m (* 632)

Для каждого геометрического класса возможные арифметические классы:

Нет: нет линий отражения
Вдоль: линии отражения вдоль направлений решетки.
Между: отражающие линии на полпути между направлениями решетки.
Оба: линии отражения вдоль и между направлениями решетки.

Таблица пространственных групп в 3-х измерениях [ править ]

#	Кристаллическая система (кол) Решетка Браве	Группа точек					Космические группы (международный короткий символ)
#	Кристаллическая система (кол) Решетка Браве	Int'l	Schön.	Орбифолд	Кокс.	Ord.	Космические группы (международный короткий символ)
1	Триклиник (2)	1	C ₁	11	[] ⁺	1	P1
2	Триклиник (2)	1	C _i	1 ×	[2 ⁺ , 2 ⁺ ]	2	П 1
3–5	Моноклиника (13)	2	C ₂	22	[2] ⁺	2	P2, P2 ₁ C2
6–9		м	C _s	* 11	[]	2	Pm, Pc Cm, Cc
10–15		2 / м	C _{2 ч}	2 *	[2,2 ⁺ ]	4	P2 / м, P2 ₁ / м C2 / м, P2 / c, P2 ₁ / c C2 / c
16–24	Орторомбический (59)	222	D ₂	222	[2,2] ⁺	4	P222, P222 ₁ , P2 ₁ 2 ₁ 2, P2 ₁ 2 ₁ 2 ₁ , C222 ₁ , C222, F222, I222, I2 ₁ 2 ₁ 2 ₁
25–46		мм2	C _2v	* 22	[2]	4	Pmm2, Pmc2 ₁ , Pcc2, Pma2, Pca2 ₁ , Pnc2, Pmn2 ₁ , Pba2, Pna2 ₁ , Pnn2 Cmm2, Cmc2 ₁ , Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2 Fmm2, Fdd2 Imm2, Iba2, Ima2
47–74		М-м-м	Д _2ч	* 222	[2,2]	8	Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce Fmmm, Iddamd, Immm , Имма
75–80	Тетрагональный (68)	4	C ₄	44 год	[4] ⁺	4	P4, P4 ₁ , P4 ₂ , P4 ₃ , I4, I4 ₁
81–82		4	S ₄	2 ×	[ ²⁺ , ⁴⁺ ]	4	П 4 , И 4
83–88		4 / м	C _4ч	4 *	[2,4 ⁺ ]	8	P4 / м, P4 ₂ / м, P4 / n, P4 ₂ / n I4 / м, I4 ₁ / а
89–98		422	D ₄	224	[2,4] ⁺	8	P422, P42 ₁ 2, P4 ₁ 22, P4 ₁ 2 ₁ 2, P4 ₂ 22, P4 ₂ 2 ₁ 2, P4 ₃ 22, P4 ₃ 2 ₁ 2 I422, I4 ₁ 22
99–110		4мм	C _4v	* 44	[4]	8	P4mm, P4bm, P4 ₂ см, P4 ₂ нм, P4cc, P4nc, P4 ₂ mc, P4 ₂ bc I4mm, I4cm, I4 ₁ md, I4 ₁ кд
111–122		4 2 мес.	D _2d	2 * 2	[ ²⁺ , 4]	8	P 4 2m, P 4 2c, P 4 2 ₁ m, P 4 2 ₁ c, P 4 m2, P 4 c2, P 4 b2, P 4 n2 I 4 m2, I 4 c2, I 4 2m, I 4 2d
123–142		4 / ммм	Д _4ч	* 224	[2,4]	16	P4 / mmm, P4 / mcc, P4 / nbm, P4 / nnc, P4 / mbm, P4 / mnc, P4 / nmm, P4 / ncc, P4 ₂ / mmc, P4 ₂ / mcm, P4 ₂ / nbc, P4 ₂ / nnm, P4 ₂ / mbc, P4 ₂ / mnm, P4 ₂ / nmc, P4 ₂ / ncm I4 / mmm, I4 / mcm, I4 ₁ / amd, I4 ₁ / acd
143–146	Тригональный (25)	3	C ₃	33	[3] ⁺	3	P3, P3 ₁ , P3 ₂ R3
147–148		3	S ₆	3 ×	[2 ⁺ , 6 ⁺ ]	6	P 3 , R 3
149–155		32	D ₃	223	[2,3] ⁺	6	P312, P321, P3 ₁ 12, P3 ₁ 21, P3 ₂ 12, P3 ₂ 21 R32
156–161		3м	C _3v	* 33	[3]	6	P3m1, P31m, P3c1, P31c R3m, R3c
162–167		3 мес.	D _3d	2 * 3	[ ²⁺ , 6]	12	P 3 1m, P 3 1c, P 3 m1, P 3 c1 R 3 m, R 3 c
168–173	Шестиугольный (27)	6	С ₆	66	[6] ⁺	6	P6, P6 ₁ , P6 ₅ , P6 ₂ , P6 ₄ , P6 ₃
174		6	C _3ч	3 *	[2,3 ⁺ ]	6	Стр. 6
175–176		6 / м	C _6h	6 *	[2,6 ⁺ ]	12	P6 / м, P6 ₃ / м
177–182		622	D ₆	226	[2,6] ⁺	12	P622, P6 ₁ 22, P6 ₅ 22, P6 ₂ 22, P6 ₄ 22, P6 ₃ 22
183–186		6мм	C _6v	* 66	[6]	12	P6mm, P6cc, P6 ₃ см, P6 ₃ мк
187–190		6 кв.м.	Д _3ч	* 223	[2,3]	12	P 6 m2, P 6 c2, P 6 2 м, P 6 2c
191–194		6 / ммм	Д _6ч	* 226	[2,6]	24	P6 / mmm, P6 / mcc, P6 ₃ / mcm, P6 ₃ / mmc
195–199	Кубический (36)	23	Т	332	[3,3] ⁺	12	P23, F23, I23 P2 ₁ 3, I2 ₁ 3
200–206		м 3	Т _ч	3 * 2	[ ³⁺ , 4]	24	Pm 3 , Pn 3 , Fm 3 , Fd 3 , Im 3 , Pa 3 , Ia 3
207–214		432	О	432	[3,4] ⁺	24	P432, P4 ₂ 32 F432, F4 ₁ 32 I432 P4 ₃ 32, P4 ₁ 32, I4 ₁ 32
215–220		4 3 мес.	Т _д	* 332	[3,3]	24	P 4 3 м, F 4 3 м, I 4 3 м P 4 3n, F 4 3c, I 4 3d
221–230		м 3 м	О _ч	* 432	[3,4]	48	Pm 3 m, Pn 3 n, Pm 3 n, Pn 3 m Fm 3 m, Fm 3 c, Fd 3 m, Fd 3 c Im 3 m, Ia 3 d

Примечание: самолет e - это самолет с двойным скольжением, который скользит в двух разных направлениях. Они находятся в семи орторомбических, пяти тетрагональных и пяти кубических пространственных группах, все с центрированной решеткой. Использование символа e стало официальным с Hahn (2002) .

Систему решеток можно найти следующим образом. Если кристаллическая система не тригональная, то и решеточная система однотипна. Если кристаллическая система является тригональной, то система решеток является гексагональной, если пространственная группа не является одной из семи в системе ромбоэдрической решетки, состоящей из 7 тригональных пространственных групп в приведенной выше таблице, имя которой начинается с R. (термин ромбоэдрическая система - также иногда используется как альтернативное название для всей тригональной системы.) Система гексагональной решетки больше, чем гексагональная кристаллическая система, и состоит из гексагональной кристаллической системы вместе с 18 группами тригональной кристаллической системы, кроме семи, названия которых начинаются с Р.

Решетка Браве пространственной группы определяется решетка системы вместе с первой буквой ее имя, которое для не-ромбоэдрической групп Р, I, F, А или С, стоя для основных, тел по центру, гранецентрированный , Решетки с центрированием по A-грани или C-гранью.

Выведение кристаллического класса из космической группы [ править ]

Оставьте тип Bravais
Преобразуйте все элементы симметрии с поступательными компонентами в соответствующие им элементы симметрии без трансляционной симметрии (плоскости скольжения преобразуются в простые зеркальные плоскости; оси винта преобразуются в простые оси вращения)
Оси вращения, оси вращения и плоскости зеркал остаются неизменными.

Ссылки [ править ]

^ Хиллер, Ховард (1986). «Кристаллография и когомологии групп» . Амер. Математика. Ежемесячно . 93 (10): 765–779. DOI : 10.2307 / 2322930 . JSTOR 2322930 .
^ Федоров, Е. (1891). "Симметрія на плоскости" [ Simmetrija на ploskosti , Симметрия в плоскости]. Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического общества (Записки Императорского Сант-Петербургского минералогического общества, Известия Императорского Санкт-Петербургского минералогического общества) . 2-я серия. 28 : 345–390.
^ Зонке, Леонард (1879). Die Entwicklung einer Theorie der Krystallstruktur [ Развитие теории кристаллической структуры ] (на немецком языке). Лейпциг, Германия: BG Teubner.
^ Федоров, ES (1891). "Симметрія правильныхъ системъ фигуръ" [ Simmetriya pravil'nykh кинозал Figur , Симметрия правильных систем фигур]. Записки Императорского С.-Петербургского минералогического общества (Записки Императорского Санкт-Петербургскова Минералогического общества, Известия Императорского Санкт-Петербургского минералогического общества) . 2-я серия. 28 : 1–146.
- Английский перевод: Федоров Е.С.; Харкер, Дэвид и Кэтрин, пер. (1971). Симметрия кристаллов, Монография Американской кристаллографической ассоциации № 7 . Буффало, Нью-Йорк, США: Американская кристаллографическая ассоциация. С. 50–131.
^ Шенфлису, Arthur M. (1891). Krystallsysteme und Krystallstruktur [ Кристаллические системы и кристаллическая структура ] (на немецком языке). Лейпциг, Германия: BG Teubner.
^ Федоров, Э. фон (1892). "Zusammenstellung der kirstallographischen Resultate des Herrn Schoenflies und der meinigen" [ Подборка кристаллографических результатов г-на Шенфлиса и меня]. Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie (на немецком языке). 20 : 25–75.
^ http://cci.lbl.gov/sginfo/hall_symbols.html
^ "Strukturbericht - Wikimedia Commons" . commons.wikimedia.org .
^ PDF Кристаллографические пространственные группы в геометрической алгебре , Дэвид Хестенес и Джереми Холт
^ "Домашняя страница CARAT" . Дата обращения 11 мая 2015 .

Барлоу В. (1894 г.), "Über die geometrischen Eigenschaften starrer Strukturen und ihre Anwendung auf Kristalle" [О геометрических свойствах жестких структур и их применении в кристаллах], Zeitschrift für Kristallographie , 23 : 1–63, doi : 10.1524 / zkri .1894.23.1.1 , S2CID 102301331
Бибербах, Людвиг (1911), "Убер умереть Bewegungsgruppen дер Euklidischen Räume" [О группах жестких преобразований в евклидовых пространствах], Mathematische Annalen , 70 (3): 297-336, DOI : 10.1007 / BF01564500 , ISSN 0025-5831 , S2CID 124429194
Бибербах, Людвиг (1912), "Über умереть Bewegungsgruppen дер Euklidischen Räume (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen мит Эйнем endlichen Fundamentalbereich" [О группах жестких преобразований в евклидовых пространствах (Второе эссе.) Группы с конечной фундаментальной областью], Mathematische Annalen , 72 (3): 400-412, DOI : 10.1007 / BF01456724 , ISSN 0025-5831 , S2CID 119472023
Браун, Гарольд; Бюлов, Рольф; Нойбюзер, Иоахим; Вондрачек, Ганс; Цассенхаус, Ганс (1978), Кристаллографические группы четырехмерного пространства , Нью-Йорк: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9, MR 0484179
Буркхардт, Иоганн Якоб (1947), Die Bewegungsgruppen der Kristallographie [ Группы жестких преобразований в кристаллографии ], Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften (Учебники и монографии из полей 13 , Verbälag, Ver. Руководство по ремонту 0020553
Буркхардт, Иоганн Якоб (1967), "Zur Geschichte дер Entdeckung дер 230 Raumgruppen" [Об истории открытия 230 пространственных групп] Архив для истории точных наук , 4 (3): 235-246, DOI : 10.1007 / BF00412962 , ISSN 0003-9519 , MR 0220837 , S2CID 121994079
Конвей, Джон Хортон ; Дельгадо Фридрихс, Олаф; Huson, Daniel H .; Терстон, Уильям П. (2001), "О трехмерных пространственных группах" , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 42 (2): 475–507, ISSN 0138-4821 , MR 1865535
Федоров, Е. С. (1891), "Симметрія правильныхъ системъ фигуръ" [ Simmetriya pravil'nykh кинозал Figur , Симметрия правильных систем фигур], Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического Общества (Санкт Записки Imperatorskova Petersburgskova Mineralogicheskova Obshchestva, Труды Империал Санкт-Петербургское минералогическое общество) , 2-я серия, 28 (2): 1–146.
Федоров, Е.С. (1971), Симметрия кристаллов , Монография ACA, 7 , Американская кристаллографическая ассоциация.
Hahn, Th. (2002), Хан, Тео (ред.), Международные таблицы для кристаллографии, Том A: Симметрия космической группы , Международные таблицы для кристаллографии, A (5-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1107 / 97809553602060000100 , ISBN 978-0-7923-6590-7
Холл, С.Р. (1981), «Обозначение пространственной группы с явным происхождением», Acta Crystallographica A , 37 (4): 517–525, Bibcode : 1981AcCrA..37..517H , doi : 10.1107 / s0567739481001228
Янссен, Т .; Бирман, JL; Dénoyer, F .; Копцик В.А.; Verger-Gaugry, JL; Weigel, D .; Ямамото, А .; Abrahams, SC; Копский, В. (2002), "Отчет подкомитета по номенклатуре n- мерной кристаллографии. II. Символы для арифметических классов кристаллов, классов Браве и пространственных групп", Acta Crystallographica A , 58 (Pt 6): 605–621 , DOI : 10,1107 / S010876730201379X , PMID 12388880
Ким, Шун К. (1999), теоретико-групповые методы и приложения к молекулам и кристаллам , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511534867 , ISBN 978-0-521-64062-6, Руководство по ремонту 1713786 , S2CID 117849701
Литвин, ДБ (май 2008 г.), «Таблицы кристаллографических свойств магнитных пространственных групп», Acta Crystallographica A , 64 (Pt 3): 419–24, Bibcode : 2008AcCrA..64..419L , doi : 10.1107 / S010876730800768X , PMID 18421131
Литвин, ДБ (май 2005 г.), "Таблицы свойств магнитных субпериодических групп" (PDF) , Acta Crystallographica A , 61 (Pt 3): 382–5, Bibcode : 2005AcCrA..61..382L , doi : 10.1107 / S010876730500406X , PMID 15846043
Neubüser, J .; Souvignier, B .; Вондратчек, Х. (2002), «Поправки к кристаллографическим группам четырехмерного пространства, выполненные Брауном и др. (1978) [Нью-Йорк: Уайли и сыновья]», Acta Crystallographica A , 58 (Pt 3): 301, DOI : 10.1107 / S0108767302001368 , PMID 11961294
Опгенорт, Дж; Плескен, Вт; Шульца, Т (1998), "Кристаллографические алгоритмы и таблицы", Acta Crystallographica , 54 (Pt 5): 517-531, DOI : 10,1107 / S010876739701547X
Палистрант, AF (2012), «Полная схема четырехмерных кристаллографических групп симметрии», Crystallography Reports , 57 (4): 471–477, Bibcode : 2012CryRp..57..471P , doi : 10.1134 / S1063774512040104 , S2CID 95680790
Плескен, Вильгельм; Hanrath, W (1984), "Решетки шестимерного пространства", Math. Комп. , 43 (168): 573-587, DOI : 10,1090 / s0025-5718-1984-0758205-5
Плескен, Вильгельм; Шульца, Тильман (2000), "Подсчет кристаллографических групп в малых размерах" , Экспериментальная Математика , 9 (3): 407-411, DOI : 10,1080 / 10586458.2000.10504417 , ISSN 1058-6458 , МР 1795312 , S2CID 40588234
Schönflies, Артур Мориц (1923), "Теория кристалла" [Теория кристаллической структуры], Gebrüder Bornträger, Берлин.
Souvignier Бернд (2006), "The четырехмерные точки и пространственные группы магнитных", Zeitschrift für Kristallographie , 221 : 77-82, Bibcode : 2006ZK .... 221 ... 77s , DOI : 10,1524 / zkri.2006.221. 1.77 , S2CID 99946564
Винберг, Э. (2001) [1994], "Кристаллографическая группа" , Энциклопедия математики , EMS Press
Цассенхауза, Ганс (1948), "Убер Einen Algorithmus цур Bestimmung дер Raumgruppen" [Об одном алгоритм определения пространственных групп], Commentarii Mathematici Helvetici , 21 : 117-141, да : 10.1007 / BF02568029 , ISSN 0010-2571 , М.Р. 0024424 , S2CID 120651709
Souvignier, Бернд (2003), "энантиоморфизм кристаллографических групп в высших измерениях с результатами , полученными в размерах до 6", Acta Crystallographica , 59 (3): 210-220, DOI : 10,1107 / S0108767303004161 , PMID 12714771

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с космическими группами .

Международный союз кристаллографии
Точечные группы и решетки Браве
[1] Кристаллографический сервер Бильбао
Информация о космической группе (старая)
Информация о космической группе (новинка)
Структуры кристаллической решетки: индекс по пространственной группе
Полный список 230 кристаллографических пространственных групп
Интерактивная 3D-визуализация всех 230 кристаллографических пространственных групп
Хьюсон, Дэниел Х. (1999), Нотация фибрифолда и классификация для трехмерных пространственных групп (PDF)
Центр геометрии: 2.1 Формулы симметрий в декартовых координатах (двухмерные)
Центр геометрии: 10.1 Формулы симметрии в декартовых координатах (три измерения)

[10] Тривиальная группа

[11] Один - группа целых чисел, а другой - бесконечная группа диэдра ; видеть группы симметрии в одном измерении .

[12] Эти двухмерные пространственные группы также называются группами обоев или группами плоскостей .

[13] В 3D существует 230 типов кристаллографических пространственных групп, что сокращается до 219 типов аффинных пространственных групп из-за того, что некоторые типы отличаются от их зеркального отображения; говорят, что они отличаются энантиоморфным характером (например, P3₁ 12 и P3₂ 12). Обычно космическая группа относится к 3D. Они были перечислены независимо Барлоу (1894 г.) , Федоровым (1891 г.) и Шенфлисом (1891 г.) .

[14] 4895 4-мерных групп были перечислены Гарольдом Брауном, Рольфом Бюловом и Иоахимом Нойбюзером и др. ( 1978 ) Neubüser, Souvignier & Wondratschek (2002) исправили количество энантиоморфных групп со 112 до 111, так что общее количество групп составляет 4783 + 111 = 4894. В 4-мерном пространстве 44 энантиоморфных точечных группы. Если рассматривать энантиоморфные группы как разные, то общее количество точечных групп составляет 227 + 44 = 271.

[15] Plesken & Schulz (2000) перечислил те, которые имеют размерность 5. Souvignier (2003) подсчитал энантиоморфы.

[17] Plesken & Schulz (2000) перечислили числа размерности 6, позже были найдены исправленные числа. ^[10] Первоначально опубликованное число из 826 типов решеток в Plesken & Hanrath (1984) было исправлено до 841 в Opgenorth, Plesken & Schulz (1998) . См. Также Janssen et al. (2002) . Souvignier (2003) подсчитал энантиоморфы, но в этой статье использовались старые ошибочные данные CARAT для измерения 6.

[1] Хиллер, Ховард (1986). «Кристаллография и когомологии групп» . Амер. Математика. Ежемесячно . 93 (10): 765–779. DOI : 10.2307 / 2322930 . JSTOR 2322930 .

[2] Федоров, Е. (1891). "Симметрія на плоскости" [ Simmetrija на ploskosti , Симметрия в плоскости]. Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического общества (Записки Императорского Сант-Петербургского минералогического общества, Известия Императорского Санкт-Петербургского минералогического общества) . 2-я серия. 28 : 345–390.

[3] Зонке, Леонард (1879). Die Entwicklung einer Theorie der Krystallstruktur [ Развитие теории кристаллической структуры ] (на немецком языке). Лейпциг, Германия: BG Teubner.

[4] Федоров, ES (1891). "Симметрія правильныхъ системъ фигуръ" [ Simmetriya pravil'nykh кинозал Figur , Симметрия правильных систем фигур]. Записки Императорского С.-Петербургского минералогического общества (Записки Императорского Санкт-Петербургскова Минералогического общества, Известия Императорского Санкт-Петербургского минералогического общества) . 2-я серия. 28 : 1–146.
Английский перевод: Федоров Е.С.; Харкер, Дэвид и Кэтрин, пер. (1971). Симметрия кристаллов, Монография Американской кристаллографической ассоциации № 7 . Буффало, Нью-Йорк, США: Американская кристаллографическая ассоциация. С. 50–131.

[12] Английский перевод: Федоров Е.С.; Харкер, Дэвид и Кэтрин, пер. (1971). Симметрия кристаллов, Монография Американской кристаллографической ассоциации № 7 . Буффало, Нью-Йорк, США: Американская кристаллографическая ассоциация. С. 50–131.

[5] Шенфлису, Arthur M. (1891). Krystallsysteme und Krystallstruktur [ Кристаллические системы и кристаллическая структура ] (на немецком языке). Лейпциг, Германия: BG Teubner.

[6] Федоров, Э. фон (1892). "Zusammenstellung der kirstallographischen Resultate des Herrn Schoenflies und der meinigen" [ Подборка кристаллографических результатов г-на Шенфлиса и меня]. Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie (на немецком языке). 20 : 25–75.

[7] ttp://cci.lbl.gov/sginfo/hall_symbols.html

[8] "Strukturbericht - Wikimedia Commons" . commons.wikimedia.org .

[9] PDF Кристаллографические пространственные группы в геометрической алгебре , Дэвид Хестенес и Джереми Холт

[16] "Домашняя страница CARAT" . Дата обращения 11 мая 2015 .

[1]