В вероятности , статистике и связанных областях точечный процесс Пуассона представляет собой тип случайного математического объекта, который состоит из точек, случайно расположенных в математическом пространстве . [1] точечный процесс Пуассона часто называют просто пуассоновский процессом , но это также называется случайная мера Пуассона , Пуассон поле случайной точки или поле точки Пуассона . Этот точечный процесс имеет удобные математические свойства [2], что привело к его частому определению в евклидовом пространстве.и используется в качестве математической модели для кажущихся случайными процессов во многих дисциплинах, таких как астрономия , [3] биология , [4] экология , [5] геология , [6] сейсмология , [7] физика , [8] экономика , [9] обработка изображений , [10] и телекоммуникации . [11] [12]
Процесс назван в честь французского математика Симеона Дени Пуассона, хотя Пуассон никогда не изучал этот процесс. Его название происходит от того факта, что если набор случайных точек в некотором пространстве образует процесс Пуассона, то количество точек в области конечного размера является случайной величиной с распределением Пуассона . Этот процесс был обнаружен независимо и неоднократно в нескольких условиях, включая эксперименты по радиоактивному распаду, поступление телефонных звонков и страховую математику. [13] [14]
Точечный процесс Пуассона часто определяется на реальной прямой , где его можно рассматривать как случайный процесс . В этом случае он используется, например, в теории очередей [15] для моделирования случайных событий, таких как прибытие клиентов в магазин, телефонные звонки при обмене или возникновение землетрясений , распределенных во времени . На плоскости точечный процесс, также известный как пространственный процесс Пуассона , [16] может представлять расположение рассеянных объектов, таких как передатчики в беспроводной сети , [11] [17] [18] [19] частиц, сталкивающихся с детектор, или деревья в лесу. [20] В этом контексте процесс часто используется в математических моделях и в связанных областях пространственных точечных процессов, [21] стохастической геометрии , [1] пространственной статистики [21] [22] и теории перколяции континуума . [23] Точечный процесс Пуассона может быть определен на более абстрактных пространствах. Помимо приложений, точечный процесс Пуассона сам по себе является объектом математического исследования. [2] Во всех настройках точечный процесс Пуассона обладает тем свойством, что каждая точка стохастически независима от всех других точек процесса, поэтому его иногда называют чисто или полностью случайным процессом. [24] Несмотря на его широкое использование в качестве стохастической модели явлений, представленных в виде точек, внутренняя природа процесса подразумевает, что он неадекватно описывает явления, в которых существует достаточно сильное взаимодействие между точками. Это вдохновило предложение о других точечных процессах, некоторые из которых построены с точечным процессом Пуассона, которые стремятся уловить такое взаимодействие. [25]
Точечный процесс зависит от одного математического объекта, который, в зависимости от контекста, может быть константой , локально интегрируемой функцией или, в более общих условиях, мерой Радона . [26] В первом случае константа, известная как скорость или интенсивность , представляет собой среднюю плотность точек пуассоновского процесса, расположенных в некоторой области пространства. Результирующий точечный процесс называется однородным или стационарным точечным процессом Пуассона . [27] Во втором случае точечный процесс называется неоднородным или неоднородным точечным пуассоновским процессом , а средняя плотность точек зависит от расположения нижележащего пространства точечного процесса Пуассона. [28] Слово точка часто опускается, [2] но существуют и другие пуассоновские процессы объектов, которые вместо точек состоят из более сложных математических объектов, таких как линии и многоугольники , и такие процессы могут быть основаны на точке Пуассона. процесс. [29] И однородный точечный процесс Пуассона, и неоднородный точечный процесс Пуассона являются частными случаями обобщенного процесса восстановления .
Обзор определений
В зависимости от настройки, процесс имеет несколько эквивалентных определений [30], а также определений различной степени общности из-за его многочисленных приложений и характеристик. [31] Точечный процесс Пуассона может быть определен, изучен и использован в одном измерении, например, на реальной линии, где его можно интерпретировать как процесс подсчета или как часть модели массового обслуживания; [32] [33] в более высоких измерениях, таких как плоскость, где он играет роль в стохастической геометрии [1] и пространственной статистике ; [34] или на более общих математических пространствах. [35] Следовательно, обозначения, терминология и уровень математической строгости, используемые для определения и изучения точечного процесса Пуассона и точечных процессов в целом, варьируются в зависимости от контекста. [36]
Несмотря на все это, точечный процесс Пуассона обладает двумя ключевыми свойствами - свойством Пуассона и свойством независимости, которые играют важную роль во всех условиях, в которых используется точечный процесс Пуассона. [26] [37] Эти два свойства не являются логически независимыми; действительно, независимость подразумевает пуассоновское распределение количества точек, но не наоборот. [а]
Распределение Пуассона количества точек
Точечный процесс Пуассона описывается распределением Пуассона . Распределение Пуассона - это распределение вероятностей случайной величины (называемая случайной величиной Пуассона ) такая, что вероятность того, что равно дан кем-то:
где обозначает факториал и параметропределяет форму распределения. (По факту, равно ожидаемому значению .)
По определению точечный процесс Пуассона обладает тем свойством, что количество точек в ограниченной области основного пространства процесса является случайной величиной с распределением Пуассона. [37]
Полная независимость
Рассмотрим набор непересекающихся и ограниченных подобластей основного пространства. По определению, количество точек точечного процесса Пуассона в каждой ограниченной подобласти будет полностью независимым от всех остальных.
Это свойство известно под несколькими названиями , такие как полная случайность , полная независимость , [38] или независимое рассеяние [39] [40] и является общим для всех точечных процессов Пуассона. Другими словами, отсутствует взаимодействие между различными областями и точками в целом [41], что мотивирует процесс Пуассона, который иногда называют чисто или полностью случайным процессом. [38]
Однородный точечный процесс Пуассона.
Если точечный процесс Пуассона имеет параметр вида , где является мерой Лебега (то есть присваивает множествам длину, площадь или объем) и является константой, то точечный процесс называется однородным или стационарным точечным пуассоновским процессом. Параметр, называемый скоростью или интенсивностью , связан с ожидаемым (или средним) количеством точек Пуассона, существующих в некоторой ограниченной области [42] [43], где скорость обычно используется, когда нижележащее пространство имеет одно измерение. [42] Параметрможет интерпретироваться как среднее количество точек на некоторую единицу протяженности, такую как длина , площадь , объем или время , в зависимости от лежащего в основе математического пространства, и его также называют средней плотностью или средней скоростью ; [44] см. Терминологию .
Интерпретируется как процесс подсчета
Однородный точечный процесс Пуассона, если рассматривать его на положительной полупрямой, можно определить как процесс счета , тип случайного процесса, который можно обозначить как. [30] [33] Процесс подсчета представляет собой общее количество происшествий или событий, которые произошли до времени включительно.. Процесс счета - это однородный процесс счета Пуассона со скоростьюесли он имеет следующие три свойства: [30] [33]
- имеет независимые приращения ; а также
- количество событий (или точек) в любом интервале длины случайная величина Пуассона с параметром (или средним) .
Последнее свойство подразумевает:
Другими словами, вероятность случайной величины будучи равным дан кем-то:
Процесс счета Пуассона также можно определить, указав, что разница во времени между событиями процесса счета является экспоненциальной переменной со средним значением. . [45] Временные различия между событиями или вступлений известны как interarrival [46] или interoccurence раз. [45]
Интерпретируется как точечный процесс на реальной линии
Точечный процесс Пуассона, интерпретируемый как точечный процесс , может быть определен на реальной прямой путем рассмотрения количества точек процесса в интервале. Для однородного точечного процесса Пуассона на прямой с параметром, вероятность этого случайного числа точек, записанная здесь как , равное некоторому счетному числу дается: [47]
Для некоторого положительного целого числа , однородный точечный процесс Пуассона имеет конечномерное распределение, задаваемое формулой [47]
где реальные числа .
Другими словами, - случайная величина Пуассона со средним , где . Кроме того, количество точек в любых двух непересекающихся интервалах, скажем, а также независимы друг от друга, и это распространяется на любое конечное число непересекающихся интервалов. [47] В контексте теории массового обслуживания можно рассматривать существующую точку (в интервале) как событие , но это отличается от слова « событие» в смысле теории вероятностей. [b] Отсюда следует, чтоожидаемое количество прибытий, которые происходят в единицу времени. [33]
Ключевые свойства
Предыдущее определение имеет две важные особенности, общие для точечных процессов Пуассона в целом: [47] [26]
- количество приходов в каждом конечном интервале имеет распределение Пуассона;
- Количество приходов в непересекающиеся интервалы - независимые случайные величины.
Кроме того, у него есть третья особенность, связанная только с однородным точечным процессом Пуассона: [48]
- распределение Пуассона числа приходов в каждом интервале зависит только от длины интервала .
Другими словами, для любого конечного , случайная величина не зависит от , поэтому его еще называют стационарным пуассоновским процессом. [47]
Закон больших чисел
Количество можно интерпретировать как ожидаемое или среднее количество точек, встречающихся в интервале, а именно:
где обозначает оператор ожидания . Другими словами, параметрпроцесса Пуассона совпадает с плотностью точек. Более того, однородный точечный процесс Пуассона придерживается своей собственной формы (сильного) закона больших чисел. [49] Точнее, с вероятностью один:
где обозначает предел функции, а ожидаемое количество прибытий в единицу времени.
Свойство без памяти
Расстояние между двумя последовательными точками точечного процесса на реальной прямой будет экспоненциальной случайной величиной с параметром (или, что то же самое, означает ). Это означает, что точки обладают свойством без памяти : существование одной точки, существующей в конечном интервале, не влияет на вероятность (распределение) существования других точек [50] [51], но это свойство не имеет естественной эквивалентности, когда процесс Пуассона определяется в пространстве с более высокими измерениями. [52]
Упорядоченность и простота
Точечный процесс со стационарными приращениями иногда называют упорядоченным [53] или регулярным, если: [54]
где используются небольшие обозначения . Точечный процесс называется простым точечным процессом, если вероятность совпадения любой из двух его точек в одном и том же положении на нижележащем пространстве равна нулю. Для точечных процессов в целом на реальной прямой свойство упорядоченности подразумевает, что процесс является простым [55], что имеет место для однородного точечного процесса Пуассона. [56]
Характеристика мартингейла
На вещественной оси однородный точечный процесс Пуассона связан с теорией мартингалов через следующую характеристику: точечный процесс является однородным точечным процессом Пуассона тогда и только тогда, когда
это мартингал. [57]
Связь с другими процессами
На самом деле, процесс Пуассона - это тип марковского процесса с непрерывным временем, известный как процесс рождения , частный случай процесса рождения-смерти (только с рождением и нулевым числом смертей). [58] [59] Были определены более сложные процессы с марковским свойством , такие как марковские процессы прихода , где процесс Пуассона является частным случаем. [45]
Ограничено до полулинии
Если рассматривать однородный пуассоновский процесс только на полупрямой , что может иметь место, когда представляет время [30], то результирующий процесс не является полностью неизменным при трансляции. [52] В этом случае пуассоновский процесс больше не является стационарным, согласно некоторым определениям стационарности. [27]
Приложения
Было много применений однородного пуассоновского процесса на реальной линии в попытке смоделировать, казалось бы, случайные и независимые происходящие события. Он играет фундаментальную роль в теории массового обслуживания , которая представляет собой поле вероятности разработки подходящих стохастических моделей для представления случайного прибытия и убытия определенных явлений. [15] [45] Например, клиенты, прибывающие и обслуживаемые, или телефонные звонки, поступающие на телефонную станцию, могут быть изучены с помощью методов теории массового обслуживания.
Обобщения
Однородный пуассоновский процесс на вещественной прямой считается одним из простейших случайных процессов для подсчета случайного числа точек. [60] [61] Этот процесс можно обобщить по-разному. Одним из возможных обобщений является расширение распределения времени между прибытиями из экспоненциального распределения на другие распределения, что вводит случайный процесс, известный как процесс обновления . Другое обобщение - определение точечного процесса Пуассона на пространствах более высоких измерений, таких как плоскость. [62]
Процесс пространственной точки Пуассона
Пространственный пуассоновский процесс представляет собой точечный процесс Пуассона определяется в плоскости. [57] [63] Для его математического определения сначала рассматривается ограниченная, открытая или замкнутая (или, точнее, измеримая по Борелю ) область.самолета. Количество баллов точечного процесса существующие в этом регионе случайная величина, обозначаемая . Если точки принадлежат однородному пуассоновскому процессу с параметром, то вероятность точки, существующие в дан кем-то:
где обозначает площадь .
Для некоторого конечного целого числа , мы можем дать конечномерное распределение однородного точечного процесса Пуассона, рассмотрев сначала набор непересекающихся ограниченных борелевских (измеримых) множеств . Количество баллов точечного процесса существующий в можно записать как . Тогда однородный точечный процесс Пуассона с параметромимеет конечномерное распределение: [64]
Приложения
Пространственный точечный процесс Пуассона занимает видное место в пространственной статистике , [21] [22] стохастической геометрии и теории протекания континуума . [23] Этот точечный процесс применяется в различных физических науках, таких как модель, разработанная для обнаружения альфа-частиц. В последние годы его часто использовали для моделирования кажущихся неупорядоченными пространственных конфигураций определенных сетей беспроводной связи. [17] [18] [19] Например, были разработаны модели для сотовых или мобильных телефонных сетей, в которых предполагается, что передатчики телефонной сети, известные как базовые станции, размещаются в соответствии с однородным точечным процессом Пуассона.
Определено в более высоких измерениях
Предыдущий гомогенный точечный процесс Пуассона немедленно распространяется на более высокие измерения, заменяя понятие площади (многомерным) объемом. Для некоторой ограниченной области евклидова пространства , если точки образуют однородный пуассоновский процесс с параметром , то вероятность точки, существующие в дан кем-то:
где теперь обозначает -размерный объем . Кроме того, для набора непересекающихся ограниченных борелевских множеств, позволять обозначим количество точек существующий в . Тогда соответствующий однородный точечный процесс Пуассона с параметромимеет конечномерное распределение: [66]
Однородные точечные процессы Пуассона не зависят от положения подстилающего пространства через его параметр , что означает, что это как стационарный процесс (инвариантный к переносу), так и изотропный (инвариантный к вращению) случайный процесс. [27] Как и в одномерном случае, однородный точечный процесс ограничен некоторым ограниченным подмножеством, то в зависимости от некоторых определений стационарности процесс перестает быть стационарным. [27] [52]
Очки распределяются равномерно
Если однородный точечный процесс определяется на реальной линии как математическая модель для возникновения некоторого явления, то он имеет характерную черту, заключающуюся в том, что положения этих явлений или событий на реальной линии (часто интерпретируемой как время) будут равномерно распределены. Более конкретно, если событие происходит (в соответствии с этим процессом) в интервале где , то его местоположение будет однородной случайной величиной, определенной на этом интервале. [64] Кроме того, однородный точечный процесс иногда называют однородным точечным процессом Пуассона (см. Терминологию ). Это свойство однородности распространяется на более высокие измерения в декартовых координатах, но не, например, в полярных координатах. [67] [68]
Неоднородный точечный процесс Пуассона.
Неоднородным или неоднородное точка Пуассона процесса (см Терминология ) представляет собой точечный процесс Пуассона с набором параметров Пуассона , как некоторые определения местоположения зависит от функции в нижележащей пространстве , на котором определен процесс Пуассона. Для евклидова пространства, это достигается введением локально интегрируемой положительной функции , такое, что для любой ограниченной области (-мерный) объемный интеграл по региону конечно. Другими словами, если этот интеграл, обозначенный, это: [43]
где это (-мерный) элемент объема, [c], то для любого набора непересекающихся ограниченных измеримых по Борелю множеств, неоднородный пуассоновский процесс с функцией (интенсивности) имеет конечномерное распределение: [66]
Более того, интерпретируется как ожидаемое количество точек процесса Пуассона, расположенных в ограниченной области , а именно
Определено на реальной линии
На вещественной прямой неоднородный или неоднородный точечный процесс Пуассона имеет среднюю меру, задаваемую одномерным интегралом. Для двух вещественных чисел а также , где , обозначим через количество точек неоднородного пуассоновского процесса с функцией интенсивности происходящее в интервале . Вероятность точки, существующие в указанном выше интервале дан кем-то:
где среднее значение или мера интенсивности:
что означает, что случайная величина - случайная величина Пуассона со средним .
Особенностью одномерного решения является то, что неоднородный пуассоновский процесс может быть преобразован в однородный с помощью монотонного преобразования или отображения, что достигается с помощью обратного. [69] [70]
Интерпретация процесса подсчета
Неоднородный точечный процесс Пуассона, рассматриваемый на положительной полупрямой, также иногда определяется как процесс счета. При такой интерпретации процесс, который иногда записывают как, представляет общее количество вхождений или событий, которые произошли до времени включительно. . Процесс счета называется неоднородным процессом счета Пуассона, если он обладает четырьмя свойствами: [33] [71]
- имеет независимые приращения ;
- а также
где является асимптотическим обозначением для в виде . В случае точечных процессов с рефрактерностью (например, нейронных спайков) применяется более сильная версия свойства 4: [72] .
Из приведенных выше свойств следует, что случайная величина Пуассона с параметром (или средним)
что подразумевает
Пространственный процесс Пуассона
Неоднородный пуассоновский процесс, заданный на плоскости называется пространственным пуассоновским процессом [16]. Он определяется функцией интенсивности, и его мера интенсивности получается путем выполнения поверхностного интеграла от функции интенсивности по некоторой области. [20] [73] Например, его функция интенсивности (как функция декартовых координат а также ) может быть
так что соответствующая мера интенсивности дается поверхностным интегралом
где некоторая ограниченная область на плоскости .
В высших измерениях
В самолете, соответствует поверхностному интегралу, а в интеграл принимает вид (-мерный) объемный интеграл.
Приложения
Когда реальная линия интерпретируется как время, неоднородный процесс используется в областях подсчета процессов и в теории массового обслуживания. [71] [74] Примеры явлений, которые были представлены или проявлялись как неоднородный точечный процесс Пуассона, включают:
- Голы в футбольном матче. [75]
- Дефекты печатной платы [76]
На плоскости точечный процесс Пуассона важен в смежных дисциплинах стохастической геометрии [1] [34] и пространственной статистики. [21] [22] Измерение интенсивности этого точечного процесса зависит от расположения нижележащего пространства, что означает, что его можно использовать для моделирования явлений с плотностью, которая варьируется в некоторой области. Другими словами, явления могут быть представлены как точки, плотность которых зависит от местоположения. [20] Этот процесс использовался в различных дисциплинах, включая изучение лосося и морских вшей в океанах, [77] лесное хозяйство [5] и поисковые задачи. [78]
Интерпретация функции интенсивности
Функция интенсивности Пуассона имеет интуитивную интерпретацию [20] с элементом объема в бесконечно малом смысле: - бесконечно малая вероятность того, что точка точечного процесса Пуассона существует в области пространства с объемом расположен на . [20]
Например, для однородного точечного процесса Пуассона на реальной прямой вероятность нахождения единственной точки процесса на небольшом интервале шириной примерно . Фактически, такая интуиция - это то, как иногда вводят точечный процесс Пуассона и выводят его распределение. [79] [41] [80]
Простой точечный процесс
Если точечный процесс Пуассона имеет меру интенсивности, которая является локально конечной и диффузной (или неатомарной), то это простой точечный процесс . Для простого точечного процесса вероятность того, что точка будет существовать в одной точке или месте в нижележащем пространстве (состоянии), равна нулю или единице. Это означает, что с вероятностью один никакие две (или более) точки точечного процесса Пуассона не совпадают по местоположению в нижележащем пространстве. [81] [18] [82]
Моделирование
Моделирование процесса точки Пуассона на компьютере обычно выполняется в ограниченной области пространства, известной как окно моделирования , и требует двух шагов: соответствующего создания случайного числа точек и затем подходящего размещения точек случайным образом. Оба этих шага зависят от конкретного моделируемого точечного процесса Пуассона. [83] [84]
Шаг 1: количество баллов
Количество баллов в окне, обозначенное здесь , необходимо смоделировать, что выполняется с помощью функции генерации (псевдо) случайных чисел, способной моделировать пуассоновские случайные величины.
Однородный корпус
Для однородного случая с постоянной , среднее значение пуассоновской случайной величины установлен на где длина, площадь или (-размерный) объем .
Неоднородный корпус
Для неоднородного случая заменяется на (-мерный) объемный интеграл
Шаг 2: Размещение точек
Второй этап требует случайного размещения точки в окне .
Однородный корпус
Для однородного случая в одном измерении все точки равномерно и независимо размещаются в окне или интервале . Для больших размеров в декартовой системе координат каждая координата равномерно и независимо размещается в окне.. Если окно не является подпространством декартова пространства (например, внутри единичной сферы или на поверхности единичной сферы), то точки не будут равномерно размещены в, и подходящее изменение координат (с декартовых) не требуется. [83]
Неоднородный корпус
Для неоднородного случая можно использовать несколько различных методов в зависимости от характера функции интенсивности . [83] Если функция интенсивности достаточно проста, то могут быть сгенерированы независимые и случайные неоднородные (декартовы или другие) координаты точек. Например, моделирование точечного процесса Пуассона в круглом окне может быть выполнено для изотропной функции интенсивности (в полярных координатах а также ), подразумевая, что он вращательно изменен или не зависит от но зависит от , заменой переменной в если функция интенсивности достаточно проста. [83]
Для более сложных функций интенсивности можно использовать метод принятия-отклонения , который состоит из использования (или «принятия») только определенных случайных точек и отказа от использования (или «отклонения») других точек на основе соотношения: [85]
где рассматривается вопрос о принятии или отклонении.
Общий точечный процесс Пуассона
Точечный процесс Пуассона может быть далее обобщен на то, что иногда называют общим точечным процессом Пуассона [20] [86] или общим процессом Пуассона [73], с помощью меры Радона, которая является локально конечной мерой. В общем, эта мера Радонаможет быть атомарным, что означает, что несколько точек точечного процесса Пуассона могут существовать в одном и том же месте нижележащего пространства. В этой ситуации количество точек на - случайная величина Пуассона со средним . [86] Но иногда предполагается обратное, поэтому мера Радонаявляется диффузным или неатомическим. [20]
Точечный процесс - общий точечный процесс Пуассона с интенсивностью если он имеет два следующих свойства: [20]
- количество точек в ограниченном борелевском множестве - случайная величина Пуассона со средним . Другими словами, обозначим общее количество точек, расположенных в от , то вероятность случайной величины будучи равным дан кем-то:
- количество баллов в непересекающиеся формы борелевских множеств независимые случайные величины.
Радоновая мера сохраняет свою предыдущую интерпретацию ожидаемого количества баллов расположен в ограниченной области , а именно
Кроме того, если абсолютно непрерывен, так что он имеет плотность (которая является плотностью Радона – Никодима или производной) относительно меры Лебега, то для всех борелевских множеств это можно записать как:
где плотность известна, среди прочего, как функция интенсивности.
История
распределение Пуассона
Несмотря на свое название, точечный процесс Пуассона не был открыт и изучен французским математиком Симеоном Дени Пуассоном ; название приводится в качестве примера закона Стиглера . [13] [14] Название происходит от его внутренней связи с распределением Пуассона , полученным Пуассоном как предельный случай биномиального распределения . [87] Это описывает вероятность суммы Вероятностные испытания Бернулли, часто сравнивается с количеством орлов (или решек) после предвзятый переворачивают монеты с вероятностью головы (или хвостом) происходит существо. Для некоторой положительной константы, в виде возрастает к бесконечности и уменьшается до нуля, так что продукт фиксировано, распределение Пуассона более близко приближается к биномиальному. [88]
Пуассона получено распределение Пуассона, опубликованный в 1841 году, рассматривая биномиальное распределение в пределе от (до нуля) и (до бесконечности). Он появляется только один раз во всей работе Пуассона [89], и результат не был хорошо известен в его время. В последующие годы ряд людей использовали дистрибутив, не ссылаясь на Пуассона, в том числе Филипп Людвиг фон Зайдель и Эрнст Аббе . [90] [13] В конце 19 - го века , Ladislaus Борткевич бы изучить распределение снова в другой обстановке (со ссылкой Пуассона), используя распределение с реальными данными для изучения смертности от конских пинков в прусской армии . [87] [91]
Открытие
Существует ряд заявлений о раннем использовании или открытии точечного процесса Пуассона. [13] [14] Например, Джон Мичелл в 1767 году, за десять лет до рождения Пуассона, интересовался вероятностью нахождения звезды в определенной области от другой звезды, исходя из предположения, что звезды «рассеяны случайно», и изучил пример, состоящий из шести ярчайших звезд в Плеядах , без получения распределения Пуассона. Эта работа вдохновила Саймона Ньюкомба изучить проблему и вычислить распределение Пуассона в качестве приближения для биномиального распределения в 1860 году [14].
В начале 20 века пуассоновский процесс (в одном измерении) возникал независимо в разных ситуациях. [13] [14] В 1903 году в Швеции Филип Лундберг опубликовал диссертацию, содержащую работу, которая теперь считается фундаментальной и новаторской, в которой он предложил моделировать страховые требования с помощью однородного процесса Пуассона. [92] [93]
В Дании в 1909 г. произошло еще одно открытие, когда А. К. Эрланг вывел распределение Пуассона при разработке математической модели количества входящих телефонных звонков за конечный интервал времени. Эрланг в то время не знал о ранней работе Пуассона и полагал, что телефонные звонки, поступающие в каждый интервал времени, не зависят друг от друга. Затем он нашел предельный случай, который эффективно преобразовывает распределение Пуассона как предел биномиального распределения. [13]
В 1910 году Эрнест Резерфорд и Ханс Гейгер опубликовали результаты экспериментов по подсчету альфа-частиц. В их экспериментальную работу внес математический вклад Гарри Бейтман , который вывел вероятности Пуассона как решение семейства дифференциальных уравнений, хотя решение было получено ранее, что привело к независимому открытию процесса Пуассона. [13] После этого времени было много исследований и применений процесса Пуассона, но его ранняя история сложна, что объяснялось различными применениями процесса во многих областях биологами, экологами, инженерами и различными учеными-физиками. [13]
Ранние приложения
Годы после 1909 года привели к ряду исследований и применений точечного процесса Пуассона, однако его ранняя история сложна, что объясняется различными применениями этого процесса во многих областях биологами , экологами , инженерами и другими специалистами, работающими в этой области. что физические науки . Первые результаты были опубликованы на разных языках и в разных условиях без использования стандартной терминологии и обозначений. [13] Например, в 1922 году шведский химик и лауреат Нобелевской премии Теодор Сведберг предложил модель, в которой пространственный точечный процесс Пуассона является основным процессом, чтобы изучить, как растения распределены в растительных сообществах. [94] Ряд математиков начали изучать этот процесс в начале 1930-х годов, и важный вклад внесли Андрей Колмогоров , Уильям Феллер и Александр Хинчин , [13] и другие. [95] В области инженерии телетрафика математики и статистики изучали и использовали Пуассон и другие точечные процессы. [96]
История терминов
Швед Конни Палм в своей диссертации 1943 года изучал пуассоновские и другие точечные процессы в одномерном сеттинге, исследуя их с точки зрения статистической или стохастической зависимости между точками времени. [97] [96] В его работе существует первое известное зарегистрированное использование термина точечные процессы как Punktprozesse на немецком языке. [97] [14]
Считается [13], что Уильям Феллер был первым, кто в своей статье 1940 года назвал это процессом Пуассона . Хотя швед Уве Лундберг использовал термин пуассоновский процесс в своей докторской диссертации 1940 г. [14], в которой Феллер был признан как влияние, [98] утверждалось, что Феллер ввел этот термин в употребление до 1940 г. [88] Это было замечено. что и Феллер, и Лундберг использовали этот термин, как если бы он был хорошо известен, подразумевая, что к тому времени он уже использовался в устной речи. [14] Феллер работал с 1936 по 1939 год вместе с Харальдом Крамером в Стокгольмском университете , где Лундберг был аспирантом у Крамера, который не использовал термин Пуассоновский процесс в своей книге, законченной в 1936 году, но сделал это в последующих изданиях, которые его привело к предположению, что термин пуассоновский процесс был введен где-то между 1936 и 1939 годами в Стокгольмском университете. [14]
Терминология
Терминология теории точечных процессов в целом подвергалась критике за излишнее разнообразие. [14] В дополнение к тому, что слово « точка» часто опускается, [62] [2] однородный пуассоновский (точечный) процесс также называется стационарным пуассоновским (точечным) процессом [47], а также однородным пуассоновским (точечным) процессом. [42] Неоднородный точечный процесс Пуассона, который называют неоднородным , [47] также называют нестационарным процессом Пуассона. [71] [99]
Термин точечный процесс был подвергнут критикой, как этот термин процесс может предложить во время и пространство, так случайное поле точки , [100] в результате чего в терминах Пуассон поле случайной точки или поле точки Пуассона быть также использован. [101] Процесс точка А считается, а иногда называют, случайный подсчет мера, [102] , следовательно, точечный процесс Пуассона также называют случайной меры Пуассона , [103] термин , используемый в исследовании процессов Леви, [ 103] [104], но некоторые предпочитают использовать два термина для точечных процессов Пуассона, определенных в двух различных базовых пространствах. [105]
, Лежащее в основе математического пространства точечного процесса Пуассона называется носитель пространство , [106] [107] или пространство состояний , хотя последний термин имеет различное значение в контексте случайных процессов. В контексте точечных процессов термин «пространство состояний» может означать пространство, в котором определяется точечный процесс, например реальная линия [108] [109], которая соответствует набору индексов [110] или набору параметров [111 ] в терминологии случайных процессов.
Мера называется интенсивность мера , [112] средняя мера , [37] или мера параметр , [66] , так как не существует стандартных терминов. [37] Если имеет производную или плотность, обозначаемую , называется функцией интенсивности точечного процесса Пуассона. [20] Для однородного точечного процесса Пуассона производная меры интенсивности является просто константой, который может называться скоростью , обычно когда нижележащее пространство является реальной линией, или интенсивностью . [42] Его также называют средней скоростью или средней плотностью [113] или скоростью . [33] Для, соответствующий процесс иногда называют стандартным пуассоновским (точечным) процессом. [43] [57] [114]
Степень точки Пуассона иногда называют экспозицией . [115] [116]
Обозначение
Обозначение точечного процесса Пуассона зависит от его настройки и поля, в котором он применяется. Например, на реальной прямой процесс Пуассона, как однородный, так и неоднородный, иногда интерпретируется как процесс счета, а обозначение используется для представления процесса Пуассона. [30] [33]
Другая причина различий в обозначениях связана с теорией точечных процессов, которая имеет несколько математических интерпретаций. Например, простой точечный процесс Пуассона можно рассматривать как случайное множество, что предполагает обозначение, подразумевая, что случайная точка, принадлежащая или являющаяся элементом точечного процесса Пуассона . Другая, более общая интерпретация заключается в рассмотрении пуассоновского или любого другого точечного процесса как случайной счетной меры, чтобы можно было записать количество точек точечного процесса Пуассона быть найденным или расположенным в некоторой (измеримой по Борелю) области в виде , которая является случайной величиной. Эти различные интерпретации приводят к использованию обозначений из таких математических областей, как теория меры и теория множеств. [117]
Для обычных точечных процессов иногда используется нижний индекс на точечном символе, например , включен так, что пишется (с заданной нотацией) вместо , а также может использоваться для фиктивной переменной в интегральных выражениях, таких как теорема Кэмпбелла, вместо обозначения случайных точек. [18] Иногда заглавная буква обозначает точечный процесс, а строчная - точку из процесса, например, точка или же принадлежит или является точкой точечного процесса , и записываться с обозначением множества как или же . [109]
Кроме того, обозначения теории множеств и интеграла или теории меры могут использоваться как взаимозаменяемые. Например, для точечного процесса определен на евклидовом пространстве состояний и (измеримая) функция на , выражение
демонстрирует два разных способа записать суммирование по точечному процессу (см. также теорему Кэмпбелла (вероятность) ). Более конкретно, интегральная запись в левой части интерпретирует точечный процесс как случайную меру подсчета, в то время как сумма в правой части предлагает интерпретацию случайного набора. [117]
Функционалы и меры моментов
В теории вероятностей операции применяются к случайным величинам для разных целей. Иногда эти операции представляют собой обычные ожидания, которые производят среднее значение или дисперсию случайной величины. Другие, такие как характеристические функции (или преобразования Лапласа) случайной величины, могут использоваться для однозначной идентификации или характеристики случайных величин и доказательства результатов, таких как центральная предельная теорема. [118] В теории точечных процессов существуют аналогичные математические аппараты, которые обычно существуют в виде мер и функционалов вместо моментов и функций соответственно. [119] [120]
Функционалы Лапласа
Для точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности , функционал Лапласа определяется выражением [18]
Одна из версий теоремы Кэмпбелла включает функционал Лапласа точечного процесса Пуассона.
Вероятностные производящие функционалы
Функция, генерирующая вероятность неотрицательной целочисленной случайной величины, приводит к тому, что генерирующий функционал вероятности определяется аналогично по отношению к любой неотрицательной ограниченной функции на такой, что . Для точечного процессафункционал, производящий вероятность, определяется как: [121]
где продукт выполняется для всех точек в . Если мера интенсивности из локально конечна, то корректно определена для любой измеримой функции на . Для точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности производящий функционал определяется выражением:
которое в однородном случае сводится к
Момент измерения
Для общего точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности мера первого момента - это мера его интенсивности: [18] [19]
которое для однородного точечного процесса Пуассона с постоянной интенсивностью средства:
где длина, площадь или объем (или, в более общем смысле, мера Лебега ).
Уравнение Меке
Уравнение Меке характеризует точечный процесс Пуассона. Позволять быть пространством для всех -конечные меры на некотором общем пространстве . Точечный процесс с интенсивностью на является точечным процессом Пуассона тогда и только тогда, когда для всех измеримых функций следующее имеет место
Подробнее см. [122]
Факториальная мера момента
Для общего точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности в -й факторный момент мера задается выражением: [123]
где мера интенсивности или мера первого момента , что для некоторого борелевского множества дан кем-то
Для однородного точечного процесса Пуассона -й факторный момент мера просто: [18] [19]
где длина, площадь или объем (или, в более общем смысле, мера Лебега ). Кроме того,-й факторной плотности момента: [123]
Функция избегания
Функция избегания [68] или вероятность аннулирования [117] точечного процесса определяется относительно некоторого множества , который является подмножеством основного пространства , как вероятность отсутствия точек существующий в . Точнее, [124] для тестового набора, функция избегания определяется выражением:
Для общего точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности , его функция предотвращения определяется следующим образом:
Теорема Реньи
Простые точечные процессы полностью характеризуются вероятностями пустот. [125] Другими словами, полная информация о простом точечном процессе фиксируется полностью в его вероятностях пустоты, а два простых точечных процесса имеют одинаковые вероятности пустоты тогда и только тогда, когда они являются одними и теми же точечными процессами. Случай для процесса Пуассона иногда известен как теорема Реньи , которая названа в честь Альфреда Реньи , открывшего результат для случая однородного точечного процесса в одномерном пространстве. [126]
В одной форме [126] теорема Реньи говорит для диффузной (или неатомной) меры Радона на и набор является конечным объединением прямоугольников (то есть не Borel [d] ), что если является счетным подмножеством такой, что:
тогда - точечный процесс Пуассона с мерой интенсивности .
Точечные технологические операции
Математические операции могут выполняться над точечными процессами, чтобы получить новые точечные процессы и разработать новые математические модели для расположения определенных объектов. Один пример операции известен как прореживание, которое влечет за собой удаление или удаление точек некоторого точечного процесса в соответствии с правилом, создание нового процесса с оставшимися точками (удаленные точки также образуют точечный процесс). [128]
Истончение
Для пуассоновского процесса независимый -удаление операций приводит к другому точечному процессу Пуассона. В частности,- операция истончения, применяемая к точечному процессу Пуассона с мерой интенсивности дает точечный процесс удаленных точек, который также является точечным процессом Пуассона с мерой интенсивности , что для ограниченного борелевского множества дан кем-то:
Этот результат прореживания точечного процесса Пуассона иногда называют теоремой Прекопа . [129] Кроме того, после случайного прореживания точечного процесса Пуассона оставшиеся или оставшиеся точки также образуют точечный процесс Пуассона, который имеет меру интенсивности
Два отдельных процесса точки Пуассона, сформированные соответственно из удаленных и сохраненных точек, стохастически независимы друг от друга. [128] Другими словами, если известно, что регион содержитсохраненные точки (из исходного процесса точки Пуассона), то это не повлияет на случайное количество удаленных точек в той же области. Эта способность случайным образом создавать два независимых точечных процесса Пуассона из одного иногда называется расщеплением [130] [131] точечного процесса Пуассона.
Суперпозиция
Если есть счетный набор точечных процессов , затем их суперпозиция, или, говоря языком теории множеств, их объединение, которое [132]
также образует точечный процесс. Другими словами, любые точки, находящиеся в любом из точечных процессов также будет находиться в суперпозиции этих точечных процессов .
Теорема суперпозиции
Теорема суперпозиции точечного процесса Пуассона гласит, что суперпозиция независимых точечных процессов Пуассона со средними показателями также будет точечным процессом Пуассона со средней мерой [133] [88]
Другими словами, объединение двух (или гораздо больше) пуассоновских процессов - это еще один пуассоновский процесс. Если точка отбирается из счетного объединение пуассоновских процессов, то вероятность того, что точка принадлежит к th Пуассоновский процесс дан кем-то:
Для двух однородных пуассоновских процессов с интенсивностями , два предыдущих выражения сводятся к
а также
Кластеризация
Операция кластеризации выполняется, когда каждая точка какого-то точечного процесса заменяется другим (возможно, другим) точечным процессом. Если исходный процесс точечный процесс Пуассона, то результирующий процесс называется процессом пуассоновской кластерной точки.
Случайное смещение
Математическая модель может потребовать случайного перемещения точек точечного процесса в другие места в нижележащем математическом пространстве, что приводит к операции точечного процесса, известной как смещение [134] или перенос. [135] Точечный процесс Пуассона использовался, например, для моделирования движения растений между поколениями, благодаря теореме о смещении [134], которая в общих чертах утверждает, что случайное независимое смещение точек точечного процесса Пуассона (на то же самое основное пространство) образует другой точечный процесс Пуассона.
Теорема смещения
Одна из версий теоремы о смещении [134] включает точечный процесс Пуассона на с функцией интенсивности . Затем предполагается, что точки случайным образом перемещаются в другое место в так что смещение каждой точки является независимым и что смещение точки, ранее находившейся на - случайный вектор с плотностью вероятности . [e] Затем процесс новой точки также является точечным процессом Пуассона с функцией интенсивности
Если процесс Пуассона однороден с и если является функцией , тогда
Другими словами, после каждого случайного и независимого смещения точек исходный точечный процесс Пуассона все еще существует.
Теорема о смещении может быть расширена так, что точки Пуассона случайным образом смещаются из одного евклидова пространства. в другое евклидово пространство , где не обязательно равно . [18]
Картография
Еще одно свойство, которое считается полезным, - это способность отображать точечный процесс Пуассона из одного нижележащего пространства в другое пространство. [136]
Теорема отображения
Если отображение (или преобразование) соответствует некоторым условиям, то результирующий отображенный (или преобразованный) набор точек также образует точечный процесс Пуассона, и этот результат иногда называют теоремой об отображении . [136] [137] Теорема касается некоторого точечного процесса Пуассона со средней меройна некотором нижележащем пространстве. Если положения точек отображаются (то есть точечный процесс преобразуется) в соответствии с некоторой функцией в другое базовое пространство, то результирующий точечный процесс также является точечным процессом Пуассона, но с другой средней мерой..
Более конкретно, можно рассмотреть (измеримую по Борелю) функцию который отображает точечный процесс с мерой интенсивности из одного места , в другое место таким образом, чтобы новая точка обрабатывалась имеет меру интенсивности:
без атомов, где является борелевским множеством и обозначает обратную функцию . Если точечный процесс Пуассона, то новый процесс также является точечным процессом Пуассона с мерой интенсивности .
Аппроксимации с точечными процессами Пуассона.
Управляемость пуассоновского процесса означает, что иногда удобно аппроксимировать непуассоновский точечный процесс пуассоновским. Общая цель состоит в том, чтобы аппроксимировать как количество точек некоторого точечного процесса, так и положение каждой точки с помощью точечного процесса Пуассона. [138] Существует ряд методов, которые можно использовать для обоснования, неформально или строго, аппроксимации возникновения случайных событий или явлений с помощью подходящих точечных процессов Пуассона. Более строгие методы включают получение верхних оценок вероятностных метрик между пуассоновскими и непуассоновскими точечными процессами, в то время как другие методы могут быть оправданы менее формальными эвристиками. [139]
Эвристика слипания
Один из методов аппроксимации случайных событий или явлений пуассоновскими процессами называется эвристикой слипания . [140] Общая эвристика или принцип включает использование точечного процесса Пуассона (или распределения Пуассона) для аппроксимации событий, которые считаются редкими или маловероятными, какого-либо случайного процесса. В некоторых случаях эти редкие события близки к тому, чтобы быть независимыми, поэтому можно использовать точечный процесс Пуассона. Когда события не являются независимыми, но имеют тенденцию происходить в кластерах или сгустках , тогда, если эти сгустки определены подходящим образом так, что они примерно независимы друг от друга, то количество возникающих сгустков будет близко к пуассоновской случайной величине [139] и расположение сгустков будет близко к процессу Пуассона. [140]
Метод Штейна
Метод Штейна - это математический метод, изначально разработанный для аппроксимации случайных величин, таких как гауссовские и пуассоновские переменные, который также применялся к точечным процессам. Метод Штейна можно использовать для получения верхних границ вероятностных метрик , которые позволяют количественно оценить, как разные два случайных математических объекта изменяются стохастически. [138] [141] Были получены верхние границы таких вероятностных показателей, как общая вариация и расстояние Вассерштейна . [138]
Исследователи применили метод Штейна к точечным процессам Пуассона разными способами [138], например, используя исчисление Пальмы . [107] Методы, основанные на методе Стейна, были разработаны для учета в верхних границах эффектов определенных операций точечного процесса, таких как прореживание и суперпозиция. [142] [143] Метод Штейна также использовался для получения верхних границ метрики Пуассона и других процессов, таких как точечный процесс Кокса , который является пуассоновским процессом со случайной мерой интенсивности. [138]
Сходимость к точечному процессу Пуассона.
В общем, когда операция применяется к общему точечному процессу, результирующий процесс обычно не является точечным процессом Пуассона. Например, если точечный процесс, отличный от пуассоновского, имеет точки случайного и независимого смещения, то этот процесс не обязательно будет точечным процессом Пуассона. Однако при определенных математических условиях как для исходного точечного процесса, так и для случайного смещения с помощью предельных теорем было показано, что если точки точечного процесса многократно перемещаются случайным и независимым образом, то конечное распределение точки процесс сходится (слабо) к точечному процессу Пуассона. [144]
Аналогичные результаты сходимости были получены для операций прореживания и суперпозиции [144], которые показывают, что такие повторяющиеся операции над точечными процессами могут, при определенных условиях, привести к тому, что процесс сходится к точечным процессам Пуассона, при условии подходящего изменения масштаба меры интенсивности (в противном случае значения меры интенсивности результирующих точечных процессов приблизились бы к нулю или бесконечности). Такая работа конвергенции напрямую связана с результатами , известные как Пале-Хинчин [F] уравнения, которая имеет свои истоки в работе Коння ладони и Александра Хинчиным , [145] и помощь объясняет , почему процесс Пуассона часто может быть использована в качестве математическая модель различных случайных явлений. [144]
Обобщения точечных процессов Пуассона.
Точечный процесс Пуассона можно обобщить, например, путем изменения меры его интенсивности или определения в более общих математических пространствах. Эти обобщения можно изучать математически, а также использовать для математического моделирования или представления физических явлений.
Случайные меры пуассоновского типа
В случайных мерах Пуассона-типа (PT) представляют собой семейство трех случайных мер подсчета , которые закрываются при ограничении на подпространство, т.е. замкнуто относительно точки управления процесса # Разбавления . Эти случайные меры являются примерами смешанного биномиального процесса и разделяют свойство распределительной самоподобия случайной меры Пуассона . Они - единственные члены семейства распределений канонического неотрицательного степенного ряда, обладающие этим свойством и включающие распределение Пуассона , отрицательное биномиальное распределение и биномиальное распределение . Случайная мера Пуассона не зависит от непересекающихся подпространств, тогда как другие PT случайные меры (отрицательные биномиальные и биномиальные) имеют положительные и отрицательные ковариации. PT случайные меры обсуждаются [146] и включают случайную меру Пуассона , отрицательную биномиальную случайную меру и биномиальную случайную меру.
Точечные процессы Пуассона на более общих пространствах
Для математических моделей точечный процесс Пуассона часто определяется в евклидовом пространстве [1] [37], но был обобщен на более абстрактные пространства и играет фундаментальную роль в изучении случайных мер [147] [148], что требует понимания математических областей, таких как теория вероятностей, теория меры и топология. [149]
В целом концепция расстояния представляет практический интерес для приложений, в то время как топологическая структура необходима для распределений Пальма, что означает, что точечные процессы обычно определяются в математических пространствах с метриками. [150] Кроме того, реализация точечного процесса может рассматриваться как счетная мера, поэтому точечные процессы - это типы случайных мер, известных как случайные счетные меры. [114] В этом контексте пуассоновские и другие точечные процессы изучались на локально компактном втором счетном хаусдорфовом пространстве. [151]
Процесс точки Кокса
Точечный процесс Кокса , Кокс процесс или бистохастический пуассоновский процесс является обобщением точечного процесса Пуассона, позволяя его меру интенсивностибыть также случайным и независимым от лежащего в основе пуассоновского процесса. Этот процесс назван в честь Дэвида Кокса, который представил его в 1955 году, хотя другие пуассоновские процессы со случайной интенсивностью были независимо введены ранее Люсьеном Ле Камом и Морисом Кенуйем. [14] Мера интенсивности может быть реализацией случайной величины или случайного поля. Например, если логарифм меры интенсивности является гауссовским случайным полем , то результирующий процесс известен как логарифмический гауссовский процесс Кокса . [152] В более общем смысле, меры интенсивности - это реализация неотрицательной локально конечной случайной меры. Точечные процессы Кокса демонстрируют кластеризацию точек, которая, как можно математически показать, больше, чем у точечных процессов Пуассона. Универсальность и управляемость процессов Кокса привели к их использованию в качестве моделей в таких областях, как пространственная статистика [153] и беспроводные сети. [19]
Отмеченный точечный процесс Пуассона
Для данного точечного процесса каждой случайной точке точечного процесса может быть назначен случайный математический объект, известный как метка . Эти метки могут быть самыми разными: целые числа, действительные числа, линии, геометрические объекты или другие точечные процессы. [154] [155] Пара, состоящая из точки точечного процесса и соответствующей ей метки, называется отмеченной точкой, и все отмеченные точки образуют отмеченный точечный процесс . [156] Часто предполагается, что случайные метки независимы друг от друга и одинаково распределены, однако метка точки может по-прежнему зависеть от местоположения соответствующей точки в нижележащем (состоянии) пространстве. [157] Если лежащий в основе точечный процесс является точечным процессом Пуассона, то результирующий точечный процесс является отмеченным точечным процессом Пуассона . [158]
Теорема о маркировке
Если общий точечный процесс определен в некотором математическом пространстве, а случайные метки определены в другом математическом пространстве, то отмеченный точечный процесс определяется на декартовом произведении этих двух пространств. Для отмеченного точечного процесса Пуассона с независимыми и одинаково распределенными метками теорема о маркировке [157] [159] утверждает, что этот отмеченный точечный процесс также (немаркированный) точечный процесс Пуассона, определенный на вышеупомянутом декартовом произведении двух математических пространств , что неверно для общих точечных процессов.
Составной точечный процесс Пуассона
Соединение точечного процесс Пуассон или соединение пуассоновский процесс формируется путем добавления случайных значений или весов для каждой точки точечного процесса Пуассона , определенный на некоторой подстилающей пространстве, так что процесс построен из отмеченного точечного процесса Пуассона, где метки образуют набор независимых и одинаково распределенные неотрицательные случайные величины. Другими словами, для каждой точки исходного пуассоновского процесса существует независимая и одинаково распределенная неотрицательная случайная величина, а затем составной пуассоновский процесс формируется из суммы всех случайных величин, соответствующих точкам пуассоновского процесса, расположенным в некоторой области лежащего в основе математического пространства. [160]
Если есть отмеченный точечный процесс Пуассона, образованный из точечного процесса Пуассона (определено, например, ) и набор независимых и одинаково распределенных неотрицательных оценок так что для каждой точки процесса Пуассона есть неотрицательная случайная величина , тогда полученный составной процесс Пуассона имеет вид: [161]
где является измеримым по Борелю множеством.
Если общие случайные величины принимать значения, например, -мерное евклидово пространство , полученный составной процесс Пуассона является примером процесса Леви при условии, что он образован из однородного точечного процесса определяется на неотрицательных числах . [162]
Процесс отказа с экспоненциальным сглаживанием функций интенсивности
Процесс отказа с экспоненциальным сглаживанием функций интенсивности (FP-ESI) является расширением неоднородного пуассоновского процесса. Функция интенсивности FP-ESI является экспоненциальной функцией сглаживания функций интенсивности в последние моменты времени возникновения событий и превосходит другие девять стохастических процессов на 8 реальных наборах данных отказов, когда модели используются для соответствия наборам данных, [163 ], где производительность модели измеряется с помощью AIC ( информационный критерий Акаике ) и BIC ( байесовский информационный критерий ).
Смотрите также
- Булева модель (теория вероятностей)
- Теория перколяции континуума
- Составной процесс Пуассона
- Процесс Кокса
- Точечный процесс
- Стохастическая геометрия
- Стохастические геометрические модели беспроводных сетей
- Марковские процессы прибытия
Заметки
- ^ См. Раздел 2.3.2 Чиу, Стояна, Кендалла, Меке [1] или Раздел 1.3 Кингмана. [2]
- ^ Например, событие, не происходящее в смысле теории очередей, может быть событием в смысле теории вероятностей.
- ^ Вместо а также , можно было бы записать, например, в (двумерных) полярных координатах а также , где а также обозначают радиальные и угловые координаты соответственно, и поэтому в этом примере будет элементом площади.
- ^ Этот наборформируется конечным числом объединений, тогда как множество Бореля формируется счетным числом операций над множеством. [127]
- ^ Кингман [134] называет это плотностью вероятности, но в других источниках это называется ядром вероятности . [18]
- ↑ Также пишется Палм – Хинчин, например, в « Точечных процессах » Кокса и Ишема (1980 , стр. 41).
Рекомендации
Конкретный
- ^ Б с д е ф Sung Nok Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ а б в г д JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-159124-2.
- ^ GJ Babu и ED Feigelson. Точечные пространственные процессы в астрономии. Журнал статистического планирования и вывода , 50 (3): 311–326, 1996.
- ↑ HG Othmer, SR Dunbar и W. Alt. Модели распространения в биологических системах. Журнал математической биологии , 26 (3): 263–298, 1988.
- ^ а б Х. Томпсон. Пространственные точечные процессы с приложениями к экологии. Биометрика , 42 (1/2): 102–115, 1955.
- ^ CB Коннор и Б. Э. Хилл. Три неоднородные модели Пуассона для вероятности базальтового вулканизма: приложение к горному региону Юкка, штат Невада. Журнал геофизических исследований: Твердая Земля (1978–2012) , 100 (B6): 10107–10125, 1995.
- ^ Гарднер, JK; Кнопофф, Л. (1974). «Является ли последовательность землетрясений в Южной Калифорнии с удаленными афтершоками пуассоновской?» . Бюллетень сейсмологического общества Америки . 64 : 1363–1367.
- ^ JD Scargle. Исследования по анализу астрономических временных рядов. v. байесовские блоки, новый метод анализа структуры данных подсчета фотонов. Астрофизический журнал , 504 (1): 405, 1998.
- ^ П. Агион и П. Ховитт. Модель роста через созидательное разрушение. Эконометрика , 60 (2). 323–351, 1992.
- ^ М. Бертеро, П. Боккаччи, Г. Дезидера и Г. Вичидомини. Размытие изображения пуассоновскими данными: от ячеек до галактик. Обратные задачи , 25 (12): 123006, 2009.
- ^ a b Ф. Баччелли и Б. Блащишин. Стохастическая геометрия и беспроводные сети, Том II - Приложения , том 4, № 1-2 Основы и тенденции в сетях . Издательство NoW, 2009.
- ^ М. Haenggi, Дж Эндрюс, Ф. Baccelli, О. Dousse и М. Франческетти. Стохастическая геометрия и случайные графы для анализа и проектирования беспроводных сетей. IEEE JSAC , 27 (7): 1029–1046, сентябрь 2009 г.
- ^ Б с д е е г ч я J K Стирзакер, Дэвид (2000). «Советы ежикам, или, константы могут меняться». Математический вестник . 84 (500): 197–210. DOI : 10.2307 / 3621649 . ISSN 0025-5572 . JSTOR 3621649 . S2CID 125163415 .
- ^ Б с д е е г ч я J K Гутторп, Питер; Тораринсдоттир, Тордис Л. (2012). «Что случилось с дискретным хаосом, процессом Кенуй и резким марковским свойством? Некоторая история случайных точечных процессов». Международное статистическое обозрение . 80 (2): 253–268. DOI : 10.1111 / j.1751-5823.2012.00181.x . ISSN 0306-7734 .
- ^ а б Леонард Клейнрок (1976). Системы массового обслуживания: теория . Вайли. ISBN 978-0-471-49110-1.
- ^ а б А. Баддели; И. Барань; Р. Шнайдер (26 октября 2006 г.). Стохастическая геометрия: Лекции в CIME летней школы , состоявшейся в Martina Franca, Италия, сентябрь 13-18, 2004 . Springer. п. 10. ISBN 978-3-540-38175-4.
- ^ а б Дж. Г. Эндрюс, Р. К. Ганти, М. Хенгги, Н. Джиндал и С. Вебер. Учебник по пространственному моделированию и анализу в беспроводных сетях. Журнал коммуникаций, IEEE , 48 (11): 156–163, 2010.
- ^ a b c d e f g h i Ф. Баччелли и Б. Блащишин. Стохастическая геометрия и беспроводные сети, Том I - Теория , том 3, № 3–4 Основ и тенденций в сетевых технологиях . Издательство NoW, 2009.
- ^ а б в г д Мартин Хенгги (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-01469-5.
- ^ Б с д е е г ч I Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. С. 51–52. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ а б в г А. Баддели; И. Барань; Р. Шнайдер (26 октября 2006 г.). Стохастическая геометрия: Лекции в CIME летней школы , состоявшейся в Martina Franca, Италия, сентябрь 13-18, 2004 . Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
- ^ а б в Джеспер Моллер; Расмус Пленге Ваагепетерсен (25 сентября 2003 г.). Статистический вывод и моделирование процессов пространственных точек . CRC Press. ISBN 978-0-203-49693-0.
- ^ а б Р. Мистер и Р. Рой. Continuum percolation, том 119 кембриджских трактатов по математике, 1996.
- ^ Дейли и Вер-Джонс (2003) , стр. 27.
- ^ Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. С. 35–36. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ а б в Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. стр. 41 и 51. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ а б в г Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. С. 41–42. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ Дейли и Вер-Джонс (2003) , стр. 22.
- ^ JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. С. 73–76. ISBN 978-0-19-159124-2.
- ^ а б в г д ХК Таймс (18 апреля 2003 г.). Первый курс стохастических моделей . Джон Вили и сыновья. С. 1–2. ISBN 978-0-471-49880-3.
- Перейти ↑ Daley & Vere-Jones (2003) , pp. 26–37.
- ^ ХК Таймс (18 апреля 2003 г.). Первый курс стохастических моделей . Джон Вили и сыновья. стр. 1 и 9. ISBN 978-0-471-49880-3.
- ^ Б с д е е г Шелдон М. Росс (1996). Случайные процессы . Вайли. С. 59–60. ISBN 978-0-471-12062-9.
- ^ а б А. Баддели. Ускоренный курс стохастической геометрии. Стохастическая геометрия: правдоподобие и вычисления Ред. О. Э. Барндорф-Нильсен, В. С. Кендалл, Х. Н. Н. ван Лисхаут (Лондон: Чепмен и Холл) , страницы 1–35, 1999.
- ^ DJ Daley; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer Science & Business Media. С. 1–2. ISBN 978-0-387-21337-8.
- ^ Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. С. 110–111. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ а б в г д JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. С. 11–12. ISBN 978-0-19-159124-2.
- ^ а б Дейли, Дэрил Дж .; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer. п. 26. ISBN 978-0387213378.
- ^ Джеспер Моллер; Расмус Пленге Ваагепетерсен (25 сентября 2003 г.). Статистический вывод и моделирование процессов пространственных точек . CRC Press. С. 15–16. ISBN 978-0-203-49693-0.
- ^ Рой Л. Стрейт (15 сентября 2010 г.). Процессы точки Пуассона: отображение, отслеживание и зондирование . Springer Science & Business Media. С. 7–8. ISBN 978-1-4419-6923-1.
- ^ а б В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. ii pod. 1974 г.
- ^ а б в г JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. п. 13. ISBN 978-0-19-159124-2.
- ^ а б в Джеспер Моллер; Расмус Пленге Ваагепетерсен (25 сентября 2003 г.). Статистический вывод и моделирование процессов пространственных точек . CRC Press. п. 14. ISBN 978-0-203-49693-0.
- ^ Дейли и Вер-Джонс (2003) , стр. 20.
- ^ а б в г ХК Таймс (18 апреля 2003 г.). Первый курс стохастических моделей . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-49880-3.
- ^ Шелдон М. Росс (1996). Случайные процессы . Вайли. п. 64. ISBN 978-0-471-12062-9.
- ^ Б с д е е г Дейли, Дэрил Дж .; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer. п. 19. ISBN 978-0387213378.
- Перейти ↑ Daley & Vere-Jones (2003) , pp. 19–23.
- ^ JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. п. 42. ISBN 978-0-19-159124-2.
- ^ Хенк К. Таймс (6 мая 2003 г.). Первый курс стохастических моделей . Вайли. С. 2–3. ISBN 978-0-471-49881-0.
- ^ Шелдон М. Росс (1996). Случайные процессы . Вайли. С. 35–36. ISBN 978-0-471-12062-9.
- ^ а б в JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. С. 38–39. ISBN 978-0-19-159124-2.
- Перейти ↑ Daley & Vere-Jones (2003) , pp. 29–30.
- ^ Шелдон М. Росс (1996). Случайные процессы . Вайли. п. 151. ISBN. 978-0-471-12062-9.
- ↑ Cox & Isham (1980) , стр. 25.
- ^ Дейли, Дэрил Дж .; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer. п. 29. ISBN 978-0387213378.
- ^ a b c Э. Мерцбах и Д. Нуаларт. Характеристика пространственного пуассоновского процесса и изменения времени. Анналы вероятности , 14 (4): 1380–1390, 1986.
- ^ Шелдон М. Росс (1996). Случайные процессы . Вайли. п. 235. ISBN 978-0-471-12062-9.
- ^ А. Папулис и С.У. Пиллаи. Вероятность, случайные величины и случайные процессы . Тата Макгроу-Хилл Образование, 2002.
- ↑ Cox & Isham (1980) , стр. 3.
- ^ Д. Снайдер и М. Миллер. Случайные точечные процессы во времени и пространстве 2e springer-verlag. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк , 1991 год.
- ^ а б Дейли, Дэрил Дж .; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer. ISBN 978-0387213378.
- ^ Лоусон, А.Б. (1993). «Остаточное отклонение для неоднородных пространственных пуассоновских процессов». Биометрия . 49 (3): 889–897. DOI : 10.2307 / 2532210 . JSTOR 2532210 .
- ^ а б Дейли, Дэрил Дж .; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer. С. 19–23. ISBN 978-0387213378.
- ^ Lee, C.-H .; Shih, C.-Y .; Чен, Ю.-С. (2012). «Модели на основе стохастической геометрии для моделирования сотовых сетей в городских районах». Беспроводные сети . 19 (6): 1063–1072. DOI : 10.1007 / s11276-012-0518-0 . S2CID 8409538 .
- ^ а б в DJ Daley; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer Science & Business Media. п. 31. ISBN 978-0-387-21337-8.
- ^ Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. С. 38–40 и 53–54. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ а б DJ Daley; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer Science & Business Media. п. 25. ISBN 978-0-387-21337-8.
- ^ JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. п. X. ISBN 978-0-19-159124-2.
- ^ Рой Л. Стрейт (15 сентября 2010 г.). Процессы точки Пуассона: отображение, отслеживание и зондирование . Springer Science & Business Media. п. 6. ISBN 978-1-4419-6923-1.
- ^ а б в ХК Таймс (18 апреля 2003 г.). Первый курс стохастических моделей . Джон Вили и сыновья. С. 22–23. ISBN 978-0-471-49880-3.
- ^ L. Citi; Д. Ба; EN Браун и Р. Барбьери (2014). «Методы правдоподобия для точечных процессов с рефрактерностью» (PDF) . Нейронные вычисления . 26 (2): 237–263. DOI : 10.1162 / NECO_a_00548 . ЛВП : 1721,1 / 85015 . PMID 24206384 . S2CID 1436173 .
- ^ а б А. Баддели; И. Барань; Р. Шнайдер (26 октября 2006 г.). Стохастическая геометрия: Лекции в CIME летней школы , состоявшейся в Martina Franca, Италия, сентябрь 13-18, 2004 . Springer. п. 12. ISBN 978-3-540-38175-4.
- ^ Шелдон М. Росс (1996). Случайные процессы . Вайли. С. 78–81. ISBN 978-0-471-12062-9.
- ↑ А. Хойер, К. Мюллер и О. Рубнер. Футбол: забивание голов - это предсказуемый пуассоновский процесс? АПЛ , 89 (3): 38007, 2010.
- ^ JY Hwang, W. Kuo и С. Ха. Моделирование выхода интегральных схем с использованием пространственного неоднородного пуассоновского процесса. Производство полупроводников, IEEE Transactions on , 24 (3): 377–384, 2011.
- ^ М. Крко {\ vs} эк, М. А. Льюис и Дж. П. Вольпе. Динамика передачи паразитических морских вшей от фермы к дикому лососю. Труды Королевского общества B: Биологические науки , 272 (1564): 689–696, 2005.
- ^ П. А. Льюис и Г. С. Шедлер. Моделирование неоднородных пуассоновских процессов утонением. Ежеквартальный журнал военно-морских исследований , 26 (3): 403–413, 1979.
- ^ JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. п. 10. ISBN 978-0-19-159124-2.
- ↑ Cox & Isham (1980) , стр. 3–6.
- ^ Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. п. 44. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ Мартин Хенгги (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей . Издательство Кембриджского университета. п. 11. ISBN 978-1-107-01469-5.
- ^ а б в г Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. С. 53–55. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ Рой Л. Стрейт (15 сентября 2010 г.). Процессы точки Пуассона: отображение, отслеживание и зондирование . Springer Science & Business Media. С. 13–14. ISBN 978-1-4419-6923-1.
- ^ Рой Л. Стрейт (15 сентября 2010 г.). Процессы точки Пуассона: отображение, отслеживание и зондирование . Springer Science & Business Media. С. 14–16. ISBN 978-1-4419-6923-1.
- ^ а б Мартин Хенгги (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей . Издательство Кембриджского университета. С. 18–19. ISBN 978-1-107-01469-5.
- ^ а б Хорошо, Эй Джей (1986). «Некоторые статистические приложения работы Пуассона» . Статистическая наука . 1 (2): 157–170. DOI : 10,1214 / сс / 1177013690 . ISSN 0883-4237 .
- ^ а б в Grimmett, G .; Стирзакер, Д. (2001). Вероятность и случайные процессы (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-857222-0.
- ^ Стиглер, С.М. (1982). «Пуассон о распределении Пуассона». Статистика и вероятностные письма . 1 (1): 33–35. DOI : 10.1016 / 0167-7152 (82) 90010-4 .
- Перейти ↑ Daley & Vere-Jones (2003) , pp. 8–9.
- ^ Quine, M .; Сенета, Э. (1987). «Данные Борткевича и закон малых чисел». Международное статистическое обозрение . 55 (2): 173–181. DOI : 10.2307 / 1403193 . JSTOR 1403193 .
- ^ Эмбрехтс, Пол; Фрей, Рюдигер; Феррер, Хансйорг (2001). «Стохастические процессы в страховании и финансах». Случайные процессы: теория и методы . Справочник по статистике. 19 . п. 367. DOI : 10.1016 / S0169-7161 (01) 19014-0 . ISBN 9780444500144. ISSN 0169-7161 .
- ^ Крамер, Харальд (1969). «Исторический обзор работ Филипа Лундберга по теории риска». Скандинавский актуарный журнал . 1969 (sup3): 6–12. DOI : 10.1080 / 03461238.1969.10404602 . ISSN 0346-1238 .
- ^ Illian, J .; Penttinen, A .; Стоян, H .; Стоян, Д. (2008). Статистический анализ и моделирование пространственных точечных паттернов . 70 . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-470-01491-2.
- ^ Кингман, Дж. (2009). «Первый век Эрланга - и следующий». Системы массового обслуживания . 63 (1–4): 3–12. DOI : 10.1007 / s11134-009-9147-4 . S2CID 38588726 .
- ^ а б Хауген, РБ (1995). «Жизнь и работа Конни Палм. Некоторые личные комментарии и впечатления». Симпозиум VTT . Valtion teknillinen tutkimuskeskus. 154 : 207. ISSN 0357-9387 .
- ^ а б DJ Daley; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer Science & Business Media. С. 13–14. ISBN 978-0-387-21337-8.
- ^ Дж. Гранделл. Смешанные процессы Пуассона , том 77. CRC Press, 1997.
- ↑ Cox & Isham (1980) , стр. ИКС.
- ^ Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. п. 109. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ Г. Михайлов и Т. Аверина. Статистическое моделирование неоднородных случайных функций на основе точечных полей Пуассона. В Докладах математики , том 82, страницы 701–704. Спрингер, 2010.
- ↑ И. Молчанов. Теория случайных множеств . Springer Science \ & Business Media, 2006.
- ^ а б К. Сато. Процессы Леви и бесконечная делимость, 1999.
- ^ В. Мандрекар и Б. Рюдигер. Стохастическое интегрирование в банаховых пространствах . Спрингер, 2015.
- ^ D. Applebaum. Процессы Леви и стохастическое исчисление . Издательство Кембриджского университета, 2009.
- ↑ EF Harding и R. Davidson. Стохастическая геометрия: дань памяти Ролло Дэвидсону . Wiley, 1974.
- ^ а б Л. Х. Чен и А. Ся. Метод Штейна, теория Пальма и приближение пуассоновского процесса. Анналы вероятности , страницы 2545–2569, 2004.
- ^ JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. п. 8. ISBN 978-0-19-159124-2.
- ^ а б Джеспер Моллер; Расмус Пленге Ваагепетерсен (25 сентября 2003 г.). Статистический вывод и моделирование процессов пространственных точек . CRC Press. п. 7. ISBN 978-0-203-49693-0.
- ^ Эмануэль Парзен (17 июня 2015 г.). Случайные процессы . Courier Dover Publications. С. 7–8 и 29–30. ISBN 978-0-486-79688-8.
- ^ Джон Ламперти (1977). Случайные процессы: обзор математической теории . Springer-Verlag. С. 1 и 10–11. ISBN 978-3-540-90275-1.
- ^ Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. п. 112. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ Дейли, Дэрил Дж .; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer. п. 20. ISBN 978-0387213378.
- ^ а б Дж. Гранделл. Точечные процессы и случайные меры. Успехи в прикладной теории вероятностей , страницы 502–526, 1977.
- ^ Некоторые модели Пуассона , Vose Software , извлечены 18 января 2016 г.
- ^ Хелске, Йоуни (2015-06-25), "KFAS: экспоненциальные модели пространства состояний семьи в R" (PDF) , Журнал статистического программного обеспечения , Комплексная сеть архивов R , 78 (10), arXiv : 1612.01907 , doi : 10.18637 / jss .v078.i10 , S2CID 14379617 , получено 18 января 2016 г.
- ^ а б в Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. п. 100. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ А. Карр. Вероятность . Тексты Springer в статистических сериях. Springer-Verlag, 1993.
- ^ Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. С. 120–126. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ DJ Daley; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer Science & Business Media. С. 52–75. ISBN 978-0-387-21337-8.
- ^ Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. С. 125–126. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ Гюнтер Ласт; Мэтью Пенроуз (8 августа 2017 г.). Лекции по пуассоновскому процессу (PDF) .
- ^ а б Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. С. 47–48. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. п. 42. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. п. 43. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ а б JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. п. 34. ISBN 978-0-19-159124-2.
- ^ DJ Daley; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer Science & Business Media. С. 384–385. ISBN 978-0-387-21337-8.
- ^ а б Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. п. 158. ISBN. 978-1-118-65825-3.
- ^ Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. п. 160. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ Д. Берцекас и Я. Цициклис . Введение в вероятность, сер. Athena Scientific оптимизация и серия вычислений. Афина Сайнтифик , 2008.
- ^ JF Hayes. Моделирование и анализ компьютерных сетей связи . Издательство Персей, 1984.
- ^ Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения . Джон Вили и сыновья. п. 165. ISBN 978-1-118-65825-3.
- ^ JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. п. 16. ISBN 978-0-19-159124-2.
- ^ а б в г JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. п. 61. ISBN 978-0-19-159124-2.
- ^ DJ Daley; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer Science & Business Media. С. 166–167. ISBN 978-0-387-21337-8.
- ^ а б JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. п. 18. ISBN 978-0-19-159124-2.
- ^ Джеффри Гримметт; Дэвид Стирзакер (31 мая 2001 г.). Вероятность и случайные процессы . ОУП Оксфорд. п. 284. ISBN 978-0-19-857222-0.
- ^ а б в г д Л. Х. Чен, А. Рёллин и др. Приблизительные зависимые редкие события. Бернулли , 19 (4): 1243–1267, 2013.
- ^ а б Р. Арратиа, С. Таваре и др. {Обзор: Д. Олдос, Аппроксимации вероятностей с помощью эвристики слипания Пуассона; А.Д. Барбур, Л. Холст, С. Янсон, Пуассоновское приближение}. Анналы вероятностей , 21 (4): 2269–2279, 1993.
- ^ а б Д. Олдос. Эвристика пуассоновского слипания . Онлайн-библиотека Wiley, 1989.
- ↑ AD Barbour и TC Brown. Метод Штейна и аппроксимация точечных процессов. Случайные процессы и их приложения , 43 (1): 9–31, 1992.
- ^ Д. Шухмахер. Оценки расстояний для зависимых суперпозиций точечных процессов. Случайные процессы и их приложения , 115 (11): 1819–1837, 2005.
- ^ Д. Шухмахер. Оценки расстояний для аппроксимации зависимых прореживаний пуассоновским процессом. Электронный вероятностный журнал , 10: 165–201, 2005.
- ^ а б в DJ Daley; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer Science & Business Media. С. 131–132. ISBN 978-0-387-21337-8.
- ^ DJ Daley; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer Science & Business Media. п. 146. ISBN. 978-0-387-21337-8.
- ^ Калеб Бастиан, Грегори Ремпала. Бросание камней и сбор костей: поиск случайных мер, подобных Пуассону, Математические методы в прикладных науках, 2020. doi: 10.1002 / mma.6224
- ^ Олав Калленберг (1983). Случайные меры . Академия-Верлаг. ISBN 978-0-12-394960-8.
- ^ JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. С. 79–84. ISBN 978-0-19-159124-2.
- ^ DJ Daley; Дэвид Вер-Джонс (12 ноября 2007 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer Science & Business Media. С. 368–413. ISBN 978-0-387-21337-8.
- ^ AE Гельфанд, П. Диггл, П. Гутторп и М. Фуэнтес. Справочник по пространственной статистике , Глава 9. CRC press, 2010.
- ^ О. Kallenberg. Случайные меры . Академический пр., 1983.
- ^ J. Меллер, А. Р. Syversveen и РП Waagepetersen. Лог-гауссовские процессы Кокса. Скандинавский статистический журнал , 25 (3): 451–482, 1998.
- ^ J. Møller и RP Waagepetersen. Современная статистика пространственных точечных процессов. Скандинавский статистический журнал , 34 (4): 643–684, 2007.
- ^ Джеспер Моллер; Расмус Пленге Ваагепетерсен (25 сентября 2003 г.). Статистический вывод и моделирование процессов пространственных точек . CRC Press. п. 8. ISBN 978-0-203-49693-0.
- ^ Мартин Хенгги (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей . Издательство Кембриджского университета. С. 138–140. ISBN 978-1-107-01469-5.
- ^ А. Баддели; И. Барань; Р. Шнайдер (26 октября 2006 г.). Стохастическая геометрия: Лекции в CIME летней школы , состоявшейся в Martina Franca, Италия, сентябрь 13-18, 2004 . Springer. С. 19–21. ISBN 978-3-540-38175-4.
- ^ а б JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. п. 55. ISBN 978-0-19-159124-2.
- ^ Франсуа Баччелли; Бартломей Блащишин (2009). Стохастическая геометрия и беспроводные сети . Теперь Publishers Inc., стр. 291–293. ISBN 978-1-60198-264-3.
- ^ Рой Л. Стрейт (15 сентября 2010 г.). Процессы точки Пуассона: отображение, отслеживание и зондирование . Springer Science & Business Media. С. 205–206. ISBN 978-1-4419-6923-1.
- Перейти ↑ Daley & Vere-Jones (2003) , pp. 198–199.
- ^ Дейли, Дэрил Дж .; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer. п. 198. ISBN 978-0387213378.
- ^ Дэвид Эпплбаум (5 июля 2004 г.). Процессы Леви и стохастическое исчисление . Издательство Кембриджского университета. С. 46–47. ISBN 978-0-521-83263-2.
- ^ Ву, С. (2019). Модель процесса отказа с экспоненциальным сглаживанием функций интенсивности . Европейский журнал операционных исследований , 275 (2), 502–513
Общий
Книги
- А. Баддели; И. Барань; Р. Шнайдер (26 октября 2006 г.). Стохастическая геометрия: Лекции в CIME летней школы , состоявшейся в Martina Franca, Италия, сентябрь 13-18, 2004 . Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
- Кокс, Д.Р . ; Ишем, Валери (1980). Точечные процессы . Чепмен и Холл. ISBN 978-0-412-21910-8.
- Дейли, Дэрил Дж .; Вер-Джонс, Дэвид (2003). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы . Springer. ISBN 978-1475781090.
- Дейли, Дэрил Дж .; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Springer. ISBN 978-0387213378.
- Кингман, Джон Франк (1992). Пуассоновские процессы . Кларедон Пресс. ISBN 978-0198536932.
- Моллер, Джеспер; Ваагепетерсен, Расмус П. (2003). Статистический вывод и моделирование процессов пространственных точек . CRC Press. ISBN 978-1584882657.
- Росс, С.М. (1996). Случайные процессы . Вайли. ISBN 978-0-471-12062-9.
- Снайдер, DL; Миллер, М.И. (1991). Случайные точечные процессы во времени и пространстве . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97577-1.
- Стоян, Дитрих; Kendall, Wilfred S .; Меке, Джозеф (1995). Стохастическая геометрия и ее приложения . Вайли. ISBN 978-0471950998.
- Streit, Streit (2010). Процессы точки Пуассона: отображение, отслеживание и зондирование . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1441969224.
- ХК Таймс (18 апреля 2003 г.). Первый курс стохастических моделей . Джон Вили и сыновья. С. 22–23. ISBN 978-0-471-49880-3.
Статьи
- Стирзакер, Дэвид (2000). «Советы ежикам, или, константы могут меняться». Математический вестник .
- Гутторп, Питер; Тораринсдоттир, Тордис Л. (2012). «Что случилось с дискретным хаосом, процессом Кенуй и острым марковским свойством? Немного истории случайных точечных процессов». Международное статистическое обозрение .