В математике , посторонний раствор (или поддельный раствор ) представляет собой раствор, например , что к уравнению, который вытекает из процесса решения проблемы , но это не является допустимым решением проблемы. [1] отсутствует решение является решением , которое является допустимым решением проблемы, но исчез в процессе решения задачи. И то и другое часто является следствием выполнения операций, которые необратимы для некоторых или всех значений переменных, что предотвращает двунаправленность цепочки логических следствий в доказательстве.
Посторонние решения: умножение
Один из основных принципов алгебры состоит в том, что можно умножить обе части уравнения на одно и то же выражение, не меняя решений уравнения. Однако, строго говоря, это не так, поскольку умножение на определенные выражения может привести к новым решениям, которых раньше не было. Например, рассмотрим следующее уравнение:
Если мы умножим обе стороны на ноль, мы получим,
Это верно для всех значений x , поэтому набор решений - все действительные числа. Но очевидно, что не все действительные числа являются решениями исходного уравнения. Проблема в том, что умножение на ноль не является обратимым : если мы умножаем на любое ненулевое значение, мы можем отменить шаг, разделив на то же самое значение, но деление на ноль не определено, поэтому умножение на ноль не может быть отменено.
Более тонко, предположим, что мы берем одно и то же уравнение и умножаем обе части на x . Мы получили
Это квадратное уравнение имеет два решения - 2 и 0. Но если в исходном уравнении вместо x подставить ноль , результатом будет недействительное уравнение 2 = 0. Этот противоречивый результат возникает, потому что в случае, когда x = 0, умножение обеих частей на x умножает обе части на ноль, и поэтому обязательно дает истинное уравнение, как в первом примере.
В общем, всякий раз, когда мы умножаем обе части уравнения на выражение, включающее переменные, мы вводим посторонние решения везде, где это выражение равно нулю. Но недостаточно исключить эти значения, потому что они могли быть законными решениями исходного уравнения. Например, предположим, что мы умножаем обе части нашего исходного уравнения x + 2 = 0 на x + 2. Мы получаем
который имеет только одно реальное решение: x = −2, и это решение исходного уравнения, поэтому его нельзя исключить, даже если x + 2 равен нулю для этого значения x .
Посторонние решения: рациональные
Посторонние решения могут возникнуть естественным образом в задачах с дробями с переменными в знаменателе. Например, рассмотрим это уравнение:
Чтобы начать решение, мы умножаем каждую часть уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей, содержащихся в уравнении. В этом случае наименьший общий знаменатель. После выполнения этих операций дроби удаляются, и уравнение принимает следующий вид:
Решение этого дает единственное решение x = −2. Однако, когда мы подставляем решение обратно в исходное уравнение, мы получаем:
Уравнение становится таким:
Это уравнение неверно, так как нельзя делить на ноль . Следовательно, решение x = –2 является посторонним и недействительным, а исходное уравнение не имеет решения.
В этом конкретном примере можно понять, что (для значения x = -2) операция умножения на будет умножением на 0. Однако не всегда просто оценить, разрешена ли каждая уже выполненная операция по окончательному ответу. Из-за этого часто единственный простой эффективный способ справиться с умножением с помощью выражений, включающих переменные, - это подставить каждое из полученных решений в исходное уравнение и подтвердить, что это дает правильное уравнение. После отбрасывания решений, которые приводят к неверному уравнению, у нас будет правильный набор решений. В некоторых случаях, как в приведенном выше примере, все решения могут быть отброшены, и в этом случае исходное уравнение не имеет решения.
Недостающие решения: деление
С посторонними решениями справиться не так уж сложно, потому что они просто требуют проверки всех решений на предмет применимости. Однако более коварными являются отсутствующие решения, которые могут возникнуть при выполнении операций с выражениями, недопустимыми для определенных значений этих выражений.
Например, если мы решали следующее уравнение, правильное решение получается путем вычитания 4 из обеих частей, а затем деления обеих частей на 2:
По аналогии, мы могли бы предположить, что можем решить следующее уравнение, вычитая 2 x из обеих частей, а затем разделив на x :
Решение x = −2 фактически является действительным решением исходного уравнения; но другое решение, x = 0, исчезло. Проблема в том, что мы разделили обе части на x , что включает в себя неопределенную операцию деления на ноль, когда x = 0.
Как правило, можно (и желательно) избегать деления на любое выражение, которое может быть нулевым; однако там, где это необходимо, достаточно убедиться, что любые значения переменных, которые делают его нулевым, также не удовлетворяют исходному уравнению. Например, предположим, что у нас есть это уравнение:
Допустимо разделить обе части на x −2, получив следующее уравнение:
Это верно, потому что единственное значение x, которое делает x −2 равным нулю, - это x = 2, а x = 2 не является решением исходного уравнения.
В некоторых случаях нас не интересуют определенные решения; например, нам могут потребоваться только решения, в которых x положительно. В этом случае нормально делить на выражение, которое равно нулю, только когда x равно нулю или отрицательно, потому что это может удалить только решения, которые нам не важны.
Прочие операции
Умножение и деление - не единственные операции, которые могут изменить набор решений. Например, возьмем задачу:
Если мы возьмем положительный квадратный корень из обеих частей, мы получим:
Здесь мы не извлекаем квадратный корень из любых отрицательных значений, так как x 2 и 4 обязательно положительны. Но мы потеряли решение x = −2. Причина в том, что x фактически не является положительным квадратным корнем из x 2 . Если x отрицательно, положительный квадратный корень из x 2 равен -x . Если шаг сделан правильно, он приводит к уравнению:
Это уравнение имеет те же два решения, что и исходное: x = 2 и x = −2.
Мы также можем изменить набор решений, возведя в квадрат обе стороны, потому что это сделает любые отрицательные значения в диапазонах уравнения положительными, что приведет к посторонним решениям.
Смотрите также
Рекомендации
- ↑ Рон Ларсон (1 января 2011 г.). Исчисление I с Precalculus . Cengage Learning. С. 4–. ISBN 0-8400-6833-6.