Эта статья содержит контент, который написан как реклама . ( Январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике некоторые виды ошибочных доказательств часто выставляются, а иногда и собираются в качестве иллюстраций концепции, называемой математической ошибкой . Существует различие между простой ошибкой и математической ошибкой в доказательстве в том, что ошибка в доказательстве приводит к недействительному доказательству, в то время как в наиболее известных примерах математических ошибок присутствует некоторый элемент сокрытия или обмана в представлении доказательство. [1]
Например, причина, по которой не действует достоверность, может быть отнесена к делению на ноль , которое скрыто алгебраической записью. Есть определенное качество математической ошибки: в том виде, в котором ее обычно представляют, она приводит не только к абсурдному результату, но и делает это хитрым или хитрым способом. [2] Поэтому эти заблуждения по педагогическим причинам обычно принимают форму ложных доказательств очевидных противоречий . Хотя доказательства ошибочны, ошибки, как правило, преднамеренные, являются сравнительно малозаметными или предназначены для демонстрации того, что определенные шаги являются условными и неприменимы в случаях, которые являются исключениями из правил.
Традиционный способ представления математической ошибки состоит в том, чтобы дать неверный шаг вывода, смешанный с действительными шагами, так что значение ошибки здесь немного отличается от логической ошибки . Последнее обычно применяется к форме аргументации, которая не соответствует действующим правилам логического вывода, тогда как проблемный математический шаг обычно представляет собой правильное правило, применяемое с неявным неверным предположением. Помимо педагогики, решение о заблуждении может привести к более глубокому пониманию предмета (например, введение аксиомы паша в евклидовой геометрии , [3] теорема пятицветной из теории графов ). ПсевдарияДревняя утерянная книга ложных доказательств приписывается Евклиду . [4]
Математические ошибки существуют во многих областях математики. В элементарной алгебре типичные примеры могут включать этап, на котором выполняется деление на ноль , когда корень извлекается неправильно или, в более общем смысле, приравниваются разные значения многозначной функции . Хорошо известные заблуждения существуют также в элементарной евклидовой геометрии и исчислении . [5] [6]
Howlers [ править ]
Аномальная
отмена
в исчислении
Существуют примеры математически правильных результатов, полученных в результате неправильных рассуждений. Такой аргумент, каким бы верным он ни казался, математически неверен и обычно известен как вопль . [1] Ниже приводится пример ревуна, включающего аномальную отмену :
Здесь, хотя вывод 16/64 знак равно 1/4правильно, на среднем этапе происходит ошибочная, недействительная отмена. [примечание 1] Другой классический пример ревуна - доказательство теоремы Кэли – Гамильтона путем простой замены скалярных переменных характеристического многочлена на матрицу.
Поддельные доказательства, вычисления или выводы, построенные для получения правильного результата, несмотря на неправильную логику или операции, Максвелл назвал «воплями». [7] За пределами математики термин « ревун» имеет различные значения, как правило, менее конкретные.
Деление на ноль [ править ]
У ошибки деления на ноль есть много вариантов. В следующем примере используется замаскированное деление на ноль, чтобы «доказать», что 2 = 1, но его можно изменить, чтобы доказать, что любое число равно любому другому числу.
- Пусть a и b равны, ненулевые величины
- Умножьте а
- Вычтем b 2
- Разложите на множители обе стороны: левые множители как разность квадратов , правая множители путем извлечения b из обоих членов
- Разделить ( а - б )
- Заметив, что a = b
- Объедините похожие термины слева
- Разделить на ненулевое b
- QED [8]
Ошибка в строке 5: переход от строки 4 к строке 5 включает деление на a - b , которое равно нулю, поскольку a = b . Поскольку деление на ноль не определено, аргумент недопустим.
Анализ [ править ]
Математический анализ, как математическое исследование изменений и ограничений, может привести к математическим ошибкам, если игнорировать свойства интегралов и дифференциалов . Например, наивное использование интегрирования по частям может быть использовано для ложного доказательства того, что 0 = 1. [9] Положив u = 1/журнал xи dv = dx/Икс, мы можем написать:
после чего первообразные может быть отменена с получением 0 = 1. Проблема состоит в том, что первообразные определены только до более постоянной и сдвига их на 1 или действительно любое число допускается. Ошибка действительно обнаруживается, когда мы вводим произвольные пределы интегрирования a и b .
Поскольку разница между двумя значениями постоянной функции равна нулю, по обе стороны уравнения появляется один и тот же определенный интеграл.
Многозначные функции [ править ]
Многие функции не имеют уникального обратного . Например, возведение числа в квадрат дает уникальное значение, но есть два возможных квадратных корня из положительного числа. Квадратный корень многозначен . Одно значение может быть выбрано условно как главное значение ; в случае квадратного корня неотрицательное значение является главным значением, но нет гарантии, что квадратный корень, заданный как главное значение квадрата числа, будет равен исходному числу (например, главный квадратный корень квадрата −2 равно 2). Это остается верным для корней n-й степени .
Положительные и отрицательные корни [ править ]
Необходимо соблюдать осторожность при извлечении квадратного корня из обеих частей равенства . Несоблюдение этого правила приводит к «доказательству» [10] 5 = 4.
Доказательство:
- Начать с
- Напишите это как
- Перепишите как
- Добавлять 81 год/4 с обеих сторон:
- Это идеальные квадраты:
- Извлеките квадратный корень из обеих частей:
- Добавлять 9/2 с обеих сторон:
- QED
Ошибка заключается в предпоследней строке, где берется квадратный корень из обеих сторон: a 2 = b 2 означает, что a = b, только если a и b имеют одинаковый знак, что здесь не так. В этом случае это означает, что a = - b , поэтому уравнение должно читать
который, добавив 9/2 с обеих сторон правильно уменьшается до 5 = 5.
Другой пример, иллюстрирующий опасность извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения, включает следующее фундаментальное тождество [11]
которое выполняется как следствие теоремы Пифагора . Затем, извлекая квадратный корень,
так что
Но оценивая это при x = π , мы получаем, что
или же
что неверно.
Ошибка в каждом из этих примеров в основном заключается в том, что любое уравнение вида
где , имеет два решения:
и важно проверить, какое из этих решений имеет отношение к рассматриваемой проблеме. [12] В вышеупомянутой ошибке квадратный корень, который позволил вывести второе уравнение из первого, действителен только тогда, когда cos x положителен. В частности, когда x установлен в π , второе уравнение становится недействительным.
Квадратные корни отрицательных чисел [ править ]
Недействительные доказательства, использующие силы и корни, часто бывают следующего вида:
Заблуждение состоит в том, что правило справедливо только в том случае, если оба значения и являются неотрицательными (при работе с действительными числами), что здесь не так. [13]
В качестве альтернативы мнимые корни запутываются в следующем:
Ошибка здесь заключается в последнем равенстве, где мы игнорируем другие корни четвертой степени из 1 [примечание 2], которые являются -1, i и -i (где i - мнимая единица ). Поскольку мы возводили нашу фигуру в квадрат, а затем пустили корни, мы не всегда можем предположить, что все корни будут правильными. Таким образом, правильные корни четвертой степени - это i и - i , которые представляют собой мнимые числа, возведенные в квадрат до −1.
Сложные показатели [ править ]
Когда число возводится в комплексную степень, результат не определяется однозначно (см. Несостоятельность степеней и тождества логарифма ). Если это свойство не распознается, могут возникнуть следующие ошибки:
Ошибка здесь в том, что правило умножения показателей степени, как при переходе к третьей строке, не применяется без изменений с комплексными показателями, даже если при установке обеих сторон в степень i выбирается только главное значение. Когда они рассматриваются как многозначные функции , обе стороны производят один и тот же набор значений, равный { e 2 π n | n ∈ ℤ} .
Геометрия [ править ]
Многие математические ошибки в геометрии возникают из-за использования аддитивного равенства, включающего ориентированные величины (например, добавление векторов вдоль заданной линии или добавление ориентированных углов на плоскости) к действительной идентичности, но которое фиксирует только абсолютное значение (одной из) этих величин. . Затем эта величина включается в уравнение с неправильной ориентацией, чтобы сделать абсурдный вывод. Эта неправильная ориентация обычно подразумевается путем предоставления неточной схемы ситуации, в которой относительное положение точек или линий выбирается таким образом, который фактически невозможен в соответствии с гипотезами аргумента, но неочевидно.
В общем, такое заблуждение легко выявить, нарисовав точную картину ситуации, в которой некоторые относительные положения будут отличаться от тех, что указаны на представленной диаграмме. Чтобы избежать таких заблуждений, правильный геометрический аргумент с использованием сложения или вычитания расстояний или углов должен всегда доказывать, что величины включаются с их правильной ориентацией.
Ошибка равнобедренного треугольника [ править ]
Ошибочность равнобедренного треугольника, из ( Maxwell , 1959 , Глава II, § 1), имеет целью показать , что каждый треугольник является равнобедренным , а это означает , что две стороны треугольника конгруэнтны . Это заблуждение приписывают Льюису Кэрроллу . [14]
Для треугольника △ ABC докажите, что AB = AC:
- Проведите линию, разделяющую ∠A пополам .
- Нарисуйте серединный перпендикуляр к отрезку BC, который делит BC пополам в точке D.
- Пусть эти две прямые пересекаются в точке O.
- Проведите линию OR перпендикулярно AB, линию OQ перпендикулярно AC.
- Нарисуйте линии OB и OC.
- По AAS , RAO ≅ △ QAO (∠ORA = ∠OQA = 90 °; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (общая сторона)).
- Согласно RHS , [примечание 3] △ ROB ≅ △ QOC (∠BRO = ∠CQO = 90 °; BO = OC (гипотенуза); RO = OQ (нога)).
- Таким образом, AR = AQ, RB = QC и AB = AR + RB = AQ + QC = AC.
QED
Как следствие, можно показать, что все треугольники равносторонние, показав, что AB = BC и AC = BC таким же образом.
Ошибка доказательства состоит в предположении на диаграмме, что точка O находится внутри треугольника. Фактически, O всегда лежит в описанной окружности треугольника ABC (за исключением равнобедренных и равносторонних треугольников, в которых AO и OD совпадают). Более того, можно показать, что если AB длиннее, чем AC, то R будет лежать внутри AB, а Q будет лежать вне AC, и наоборот (фактически, любая диаграмма, нарисованная с помощью достаточно точных инструментов, подтвердит два вышеупомянутых факта. ). Из-за этого AB по-прежнему AR + RB, но AC на самом деле AQ - QC; и, следовательно, длины не обязательно одинаковы.
Доказательство по индукции [ править ]
Существует несколько ошибочных доказательств с помощью индукции, в которых один из компонентов, базисный случай или индуктивный шаг, неверен. Интуитивно, индукционные доказательства работают, утверждая, что если утверждение истинно в одном случае, оно истинно в следующем, и, следовательно, многократно применяя это утверждение, можно показать, что оно истинно для всех случаев. Следующее «доказательство» показывает, что все лошади одного цвета . [15] [примечание 4]
- Предположим, что любая группа из N лошадей одного цвета.
- Если мы удалим лошадь из группы, мы получим группу из N - 1 лошадей одного цвета. Если мы добавим еще одну лошадь, у нас будет еще одна группа из N лошадей. По нашему предыдущему предположению, все лошади в этой новой группе одного цвета, поскольку это группа из N лошадей.
- Таким образом, мы построили две группы из N лошадей одного цвета с N - 1 общей лошадью. Поскольку у этих двух групп есть несколько общих лошадей, они должны быть одного цвета.
- Таким образом, объединив всех используемых лошадей, мы получим группу из N + 1 лошадей одного цвета.
- Таким образом, если все N лошадей одного цвета, все N + 1 лошадей одного цвета.
- Это явно верно для N = 1 (т.е. одна лошадь - это группа, в которой все лошади одного цвета). Таким образом, по индукции, N лошади имеют такой же цвет для любого натурального N . т.е. все лошади одного цвета.
Ошибка в этом доказательстве возникает в строке 3. При N = 1 две группы лошадей имеют N - 1 = 0 общих лошадей и, следовательно, не обязательно одного цвета, поэтому группа из N + 1 = 2 лошади не обязательно должны быть одного цвета. Импликация «все N лошадей одного цвета, тогда N + 1 лошадей одного цвета» работает для любого N > 1, но не выполняется, когда N = 1. Базовый случай верен, но шаг индукции имеет фундаментальный недостаток.
См. Также [ править ]
- Аномальная отмена - арифметическая ошибка
- Деление на ноль - результат деления действительного числа на ноль.
- Список неполных доказательств - статья со списком Википедии
- Математическое совпадение - совпадение в математике
- Парадокс - утверждение, которое явно противоречит самому себе
- Доказательство запугиванием - метод убедить кого-либо, используя жаргон или заявляя, что он ясен.
Примечания [ править ]
- ^ То же заблуждение применимо и к следующему:
- ^ В общем, выражениеоценивается как n комплексных чисел, называемых корнями n- й степени из единицы .
- ^ Гипотенуза – нога конгруэнтности
- ^ Пойа «s оригинальное„доказательство“, что любые п девочка имеет однитот же цвет глаз.
Ссылки [ править ]
- ^ a b "Окончательный словарь высшего математического жаргона - математическая ошибка" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 24 октября 2019 .
- ^ Максвелл 1959 , стр. 9
- ^ Максвелл 1959
- ↑ Heath & Helberg 1908 , Глава II, §I
- ^ Барбо, Ed (1991). «Заблуждения, недостатки и вздор» (PDF) . Журнал математики колледжа . 22 (5). ISSN 0746-8342 .
- ^ «Мягкий вопрос - Лучшие фальшивые доказательства? (Коллекция, посвященная Дню дураков от M.SE)» . Обмен математическими стеками . Проверено 24 октября 2019 .
- ^ Максвелл 1959
- ^ Heuser, Harro (1989), Lehrbuch дер анализа - Teil 1 (. 6 - е изд), Teubner, стр. 51, ISBN 978-3-8351-0131-9
- ^ Барбо, Эд (1990), "Заблуждения, недостатки и вздор # 19: Теорема Долта", The College Mathematics Journal , 21 (3): 216–218
- ^ Frohlichstein, Джек (1967). Математические развлечения, игры и головоломки (иллюстрированный ред.). Курьерская корпорация. п. 207. ISBN. 0-486-20789-7. Отрывок страницы 207
- ^ Maxwell 1959 , глава VI, §I.1
- ^ Максвелл 1959 , Глава VI, §II
- ^ Nahin, Paul J. (2010). Воображаемая сказка: История « i » . Издательство Принстонского университета. п. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. Выдержка страницы 12
- ^ Робин Уилсон (2008), Льюис Кэрролл в Numberland , Penguin Books, стр. 169-170, ISBN 978-0-14-101610-8
- ^ Pólya, Джордж (1954). Индукция и аналогия в математике . Математика и правдоподобные рассуждения. 1 . Принстон. п. 120.
- Барбо, Эдвард Дж. (2000), математические ошибки, недостатки и вздор , MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-529-4, Руководство по ремонту 1725831.
- Банч, Брайан (1997), Математические заблуждения и парадоксы , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-29664-7, Руководство по ремонту 1461270.
- Хит, сэр Томас Литтл; Хейберг, Йохан Людвиг (1908), Тринадцать книг Элементов Евклида, Том 1 , The University Press.
- Максвелл, EA (1959), Ошибки в математике , Cambridge University Press , ISBN 0-521-05700-0, MR 0099907.
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы, связанные с недействительными доказательствами . |
- Недействительные доказательства в Cut-the knot (включая литературные ссылки)
- Классические заблуждения с некоторым обсуждением
- Больше недействительных доказательств с AhaJokes.com
- Математические анекдоты с недействительным доказательством