Квадратные отклонения от среднего

Эта статья требует внимания специалиста по математике . Пожалуйста , добавьте причину в или разговоре параметр для этого шаблона , чтобы объяснить проблему с статьей. WikiProject Mathematics может помочь нанять эксперта. ( Октябрь 2019 г. )

Квадратные отклонения от среднего значения (SDM) используются в различных расчетах. В теории вероятностей и статистике , определение дисперсии является либо ожидаемое значением в SDM (при рассмотрении теоретического распределения ) или его среднего значения (для фактических экспериментальных данных). Вычисления для дисперсионного анализа включают разбиение суммы SDM.

Введение [ править ]

Понимание используемых вычислений значительно улучшается за счет изучения статистической ценности

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X ^ {2})}$, где - оператор ожидаемого значения.${\ displaystyle \ operatorname {E}}$

Для случайной величины со средним и дисперсией ,${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = \ operatorname {E} (X ^ {2}) - \ mu ^ {2}.}$^[1]

Следовательно,

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X ^ {2}) = \ sigma ^ {2} + \ mu ^ {2}.}$

Из вышесказанного можно вывести следующее:

${\ Displaystyle \ OperatorName {E} \ left (\ sum \ left (X ^ {2} \ right) \ right) = n \ sigma ^ {2} + n \ mu ^ {2},}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left (\ left (\ sum X \ right) ^ {2} \ right) = n \ sigma ^ {2} + n ^ {2} \ mu ^ {2}.}$

Пример отклонения [ править ]

Сумма квадратов отклонений, необходимых для расчета дисперсии выборки (до принятия решения о делении на n или n  - 1), проще всего рассчитать как

${\ Displaystyle S = \ сумма х ^ {2} - {\ гидроразрыва {\ влево (\ сумма х \ вправо) ^ {2}} {п}}}$

Из двух производных ожиданий, приведенных выше, ожидаемое значение этой суммы равно

${\ displaystyle \ operatorname {E} (S) = n \ sigma ^ {2} + n \ mu ^ {2} - {\ frac {n \ sigma ^ {2} + n ^ {2} \ mu ^ {2 }} {n}}}$

что подразумевает

${\displaystyle \operatorname {E} (S)=(n-1)\sigma ^{2}.}$

Это эффективно доказывает использование делителя n  - 1 при вычислении несмещенной выборочной оценки  σ ² .

Разделение - дисперсионный анализ [ править ]

В ситуации, когда данные доступны для k различных групп лечения, имеющих размер n _i, где i варьируется от 1 до k , тогда предполагается, что ожидаемое среднее значение для каждой группы равно

${\displaystyle \operatorname {E} (\mu _{i})=\mu +T_{i}}$

и дисперсия каждой экспериментальной группы не отличается от дисперсии популяции .${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Согласно нулевой гипотезе о том, что лечение не имеет эффекта, каждое из значений будет равно нулю.${\displaystyle T_{i}}$

Теперь можно вычислить три суммы квадратов:

Физическое лицо

${\displaystyle I=\sum x^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (I)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}$

Лечение

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\sum x\right)^{2}/n_{i}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(\mu +T_{i})^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}}$

При нулевой гипотезе о том, что методы лечения не вызывают различий и все они равны нулю, ожидание упрощается до${\displaystyle T_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.}$

Комбинация

${\displaystyle C=\left(\sum x\right)^{2}/n}$

${\displaystyle \operatorname {E} (C)=\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}$

Суммы квадратов отклонений [ править ]

Согласно нулевой гипотезе, различие любой пары I , T и C не содержит никакой зависимости только от .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (I-C)=(n-1)\sigma ^{2}}$общие квадраты отклонений или общая сумма квадратов

${\displaystyle \operatorname {E} (T-C)=(k-1)\sigma ^{2}}$Отклонения в квадрате лечения, также известные как сумма квадратов

${\displaystyle \operatorname {E} (I-T)=(n-k)\sigma ^{2}}$остаточные квадраты отклонений, иначе называемые остаточной суммой квадратов

Константы ( n  - 1), ( k  - 1) и ( n  -  k ) обычно называют числом степеней свободы .

Пример [ править ]

В очень простом примере пять наблюдений возникают в результате двух обработок. Первая обработка дает три значения 1, 2 и 3, а вторая обработка дает два значения 4 и 6.

${\displaystyle I={\frac {1^{2}}{1}}+{\frac {2^{2}}{1}}+{\frac {3^{2}}{1}}+{\frac {4^{2}}{1}}+{\frac {6^{2}}{1}}=66}$

${\displaystyle T={\frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{\frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62}$

${\displaystyle C={\frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.2}$

Давая

Суммарные квадраты отклонений = 66 - 51,2 = 14,8 с 4 степенями свободы.

Квадрат отклонений лечения = 62 - 51,2 = 10,8 с 1 степенью свободы.

Остаточные квадратные отклонения = 66 - 62 = 4 с 3 степенями свободы.

Двусторонний дисперсионный анализ [ править ]

Следующий гипотетический пример показывает урожайность 15 растений, подверженных двум различным изменениям окружающей среды и трех различных удобрений.

Рассчитываются пять сумм квадратов:

Фактор	Расчет	Сумма	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
Физическое лицо	${\displaystyle 7^{2}+2^{2}+1^{2}+7^{2}+6^{2}+11^{2}+6^{2}+10^{2}+7^{2}+3^{2}+5^{2}+3^{2}+4^{2}+11^{2}+4^{2}}$	641	15
Удобрение × Окружающая среда	${\displaystyle {\frac {(7+2+1)^{2}}{3}}+{\frac {(7+6)^{2}}{2}}+{\frac {(11+6)^{2}}{2}}+{\frac {(10+7+3)^{2}}{3}}+{\frac {(5+3+4)^{2}}{3}}+{\frac {(11+4)^{2}}{2}}}$	556.1667	6
Удобрения	${\displaystyle {\frac {(7+2+1+7+6)^{2}}{5}}+{\frac {(11+6+10+7+3)^{2}}{5}}+{\frac {(5+3+4+11+4)^{2}}{5}}}$	525,4	3
Среда	${\displaystyle {\frac {(7+2+1+11+6+5+3+4)^{2}}{8}}+{\frac {(7+6+10+7+3+11+4)^{2}}{7}}}$	519.2679	2
Композитный	${\displaystyle {\frac {(7+2+1+11+6+5+3+4+7+6+10+7+3+11+4)^{2}}{15}}}$	504,6	1

Наконец, можно вычислить суммы квадратов отклонений, необходимые для дисперсионного анализа .

Фактор	Сумма	${\displaystyle \sigma ^{2}}$	Общее	Среда	Удобрения	Удобрение × Окружающая среда	Остаточный
Физическое лицо	641	15	1				1
Удобрение × Окружающая среда	556.1667	6				1	−1
Удобрения	525,4	3			1	−1
Среда	519.2679	2		1		−1
Композитный	504,6	1	−1	−1	−1	1
Квадратные отклонения			136,4	14,668	20,8	16,099	84,833
Степени свободы			14	1	2	2	9

См. Также [ править ]

• Абсолютное отклонение
• Алгоритмы расчета дисперсии
• Ошибки и остатки
• Наименьших квадратов
• Среднеквадратичная ошибка
• Остаточная сумма квадратов
• Разложение дисперсии

Ссылки [ править ]