Стационарное пространство-время

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Апрель 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В общей теории относительности , в частности в уравнениях поля Эйнштейна , пространство-время называется стационарным, если оно допускает вектор Киллинга, который асимптотически подобен времени . ^[1]

Описание и анализ [ править ]

В стационарном пространстве-времени компоненты метрического тензора могут быть выбраны так, чтобы все они не зависели от временной координаты. Линейный элемент стационарного пространства-времени имеет вид${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$${\ Displaystyle (я, j = 1,2,3)}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ lambda (dt- \ omega _ {i} \, dy ^ {i}) ^ {2} - \ lambda ^ {- 1} h_ {ij} \, dy ^ {i } \, dy ^ {j},}$

где - координата времени, - три пространственные координаты и - метрический тензор 3-мерного пространства. В этой системе координат векторное поле Киллинга имеет компоненты . является положительным скаляром, представляющим норму вектора Киллинга, т. е., и является 3-вектором, называемым вектором скручивания, который обращается в нуль, когда вектор Киллинга ортогонален гиперповерхности. Последний возникает как пространственные компоненты 4-вектора крутки (см., Например, ^[2] с. 163), который ортогонален вектору Киллинга , т. Е. Удовлетворяет${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle у ^ {я}}$${\ displaystyle h_ {ij}}$${\displaystyle \xi ^{\mu }}$${\displaystyle \xi ^{\mu }=(1,0,0,0)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =g_{\mu \nu }\xi ^{\mu }\xi ^{\nu }}$${\displaystyle \omega _{i}}$${\displaystyle \omega _{\mu }=e_{\mu \nu \rho \sigma }\xi ^{\nu }\nabla ^{\rho }\xi ^{\sigma }}$${\displaystyle \xi ^{\mu }}$${\displaystyle \omega _{\mu }\xi ^{\mu }=0}$. Вектор поворота измеряет степень, в которой вектор Киллинга не может быть ортогональным семейству 3-поверхностей. Ненулевой поворот указывает на наличие вращения в геометрии пространства-времени.

Описанное выше координатное представление имеет интересную геометрическую интерпретацию. ^[3] времени трансляции Killing вектор генерирует один-параметрическую группу движение в пространстве - времени . Идентифицируя точки пространства-времени, которые лежат на определенной траектории (также называемой орбитой), можно получить 3-мерное пространство (многообразие траекторий Киллинга) , фактор-пространство. Каждая точка представляет собой траекторию в пространстве-времени . Эта идентификация, называется канонической проекцией, является отображение , которое переводит каждую траекторию на точке и индуцирует метрику на с помощью отката. Величины , и${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V=M/G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi :M\rightarrow V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle h=-\lambda \pi *g}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \omega _{i}}$${\displaystyle h_{ij}}$все поля включены и, следовательно, не зависят от времени. Таким образом, геометрия стационарного пространства-времени не меняется во времени. В частном случае говорят, что пространство-время статично . По определению каждое статическое пространство-время стационарно, но обратное, как правило, неверно, поскольку метрика Керра дает контрпример.${\displaystyle V}$${\displaystyle \omega _{i}=0}$

Использовать в качестве отправной точки для уравнений вакуумного поля [ править ]

В стационарном пространстве-времени, удовлетворяющем вакуумным уравнениям Эйнштейна вне источников, 4-вектор скручивания не имеет завитков,${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$${\displaystyle \omega _{\mu }}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }\omega _{\nu }-\nabla _{\nu }\omega _{\mu }=0,\,}$

и поэтому локально является градиентом скаляра (называемого скаляром скручивания):${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega _{\mu }=\nabla _{\mu }\omega .\,}$

Вместо того , чтобы скаляров и удобнее использовать два Hansen потенциалы, потенциалы массы и углового момента, и , определяется как ^[4]${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \Phi _{M}}$${\displaystyle \Phi _{J}}$

${\displaystyle \Phi _{M}={\frac {1}{4}}\lambda ^{-1}(\lambda ^{2}+\omega ^{2}-1),}$

${\displaystyle \Phi _{J}={\frac {1}{2}}\lambda ^{-1}\omega .}$

В общей теории относительности потенциал массы играет роль ньютоновского гравитационного потенциала. Нетривиальный потенциал углового момента возникает для вращающихся источников из-за вращательной кинетической энергии, которая, из-за эквивалентности массы и энергии, также может действовать как источник гравитационного поля. Ситуация аналогична статическому электромагнитному полю, в котором имеется два набора потенциалов: электрический и магнитный. В общей теории относительности вращающиеся источники создают гравитомагнитное поле , не имеющее ньютоновского аналога.${\displaystyle \Phi _{M}}$${\displaystyle \Phi _{J}}$

Таким образом, стационарная вакуумная метрика выражается через потенциалы Хансена ( , ) и 3-метрику . В терминах этих величин уравнения Эйнштейна вакуумного поля могут быть записаны в виде ^[4]${\displaystyle \Phi _{A}}$${\displaystyle A=M}$${\displaystyle J}$${\displaystyle h_{ij}}$

${\displaystyle (h^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}-2R^{(3)})\Phi _{A}=0,\,}$

${\displaystyle R_{ij}^{(3)}=2[\nabla _{i}\Phi _{A}\nabla _{j}\Phi _{A}-(1+4\Phi ^{2})^{-1}\nabla _{i}\Phi ^{2}\nabla _{j}\Phi ^{2}],}$

где , и - тензор Риччи пространственной метрики и соответствующий скаляр Риччи. Эти уравнения являются отправной точкой для исследования точных стационарных метрик вакуума.${\displaystyle \Phi ^{2}=\Phi _{A}\Phi _{A}=(\Phi _{M}^{2}+\Phi _{J}^{2})}$${\displaystyle R_{ij}^{(3)}}$${\displaystyle R^{(3)}=h^{ij}R_{ij}^{(3)}}$

См. Также [ править ]

• Статическое пространство-время
• Сферически симметричное пространство-время

Ссылки [ править ]