Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Явление статистической стабильности , одно из самых удивительных физических явлений, - это слабость зависимости статистики (т. Е. Функций выборки) от размера выборки, если этот размер большой. Этот эффект характерен, например, для относительных частот ( эмпирических вероятностей ) массовых событий и средних значений. Это широко распространенное явление, поэтому его можно рассматривать как фундаментальное явление природы.

Физическая природа явления статистической устойчивости раскрывается при наблюдении за массовыми событиями.

В настоящее время известны две теории, описывающие это явление. Это классическая теория вероятностей , имеющая долгую историю развития, и теория гиперслучайных явлений, созданная в последние десятилетия.

История [ править ]

Первым, кто обратил внимание на феномен статистической стабильности, был торговец тканями Дж. Граунт (1620–1674) [1] в 1662 году. Информация об исследованиях статистической стабильности фрагментарна для периода с конца семнадцатого века до конца. XIX века, например, Якоба Бернулли (1654–1705), Симеона Дени Пуассона (1781–1840), Ирене-Жюля Биенайме (1796–1878), Антуана Огюстена Курно (1801–1877), Адольфа Кетле (1796–1874) ), Джон Венн (1834–1923) и др. [2] [3]

Систематическое изучение статистической стабильности началось в конце девятнадцатого века. В 1879 году немецкий статистик Вильгельм Лексис (1837–1914) сделал первую попытку связать понятие статистической стабильности относительной частоты с дисперсией. На рубеже веков и в начале двадцатого века статистическую устойчивость изучали Карл Пирсон (1857–1936), Александр Александрович Чупров (1874–1926), Ладислав Борткевич (1868–1931), Андрей Марков (1856–1922). , Рихард фон Мизес (1883–1953) и другие.

Новый этап экспериментальных исследований начался в конце ХХ века. Дополнительные исследования стали необходимы в связи с новыми прикладными задачами и обнаружением ряда явлений, которые нельзя удовлетворительно объяснить и описать в рамках классической теории вероятностей. Новые задачи - это, в частности, сверхточное измерение физических величин и сверхточное прогнозирование развития событий на больших интервалах наблюдения. Относительно новые явления, например, непредсказуемо измерение прогрессивная (дрейф) ошибка , [4] [5] , а также фликкер - шум , [6] , который обнаруживается везде и не может быть подавлен путем усреднения данных.

Статистическая стабильность относительных частот событий [ править ]

Многие известные ученые вели экспериментальные исследования явления статистической устойчивости. Известно, например, что эксперименты по подбрасыванию монет изучали П.С. де Лаплас (1749–1827), Жорж-Луи Леклерк, граф де Бюффон (1707–1788), Карл Пирсон , лауреат Нобелевской премии Ричард Фейнман (1918–1988). ), Август де Морган (1806–1871), Уильям Стэнли Джевонс (1835–1882), Всеволод Иванович Романовский (1879–1954), Уильям Феллер (1906–1970) и другие. Тривиальная на первый взгляд задача не казалась им тривиальной. В таблице 1 представлены некоторые результаты их экспериментов. [7] [8] [9] Таблица 2 показывает результаты, описанные в [10], для десяти прогонов одного и того же эксперимента, в котором каждый прогон состоит из 1000 бросков. Таблицы показывают, что при большом количестве подбрасываний относительная частота выпадения орла или решки близка к 0,5.

Таблица 1. Результаты экспериментов по подбрасыванию монет, проведенных разными учеными.
Таблица 2. Результаты экспериментов по подбрасыванию монеты, описанные в книге ( Mosteller et al. 1961)

Экспериментальные исследования других реальных физических событий показывают, что для большого числа экспериментов относительная частота событий стабилизируется; что показывает фундаментальную природу явления статистической устойчивости.

Стабильность статистики [ править ]

Явление статистической стабильности проявляется не только в стабильности относительной частоты массовых событий, но и в стабильности среднего значения процесса или его выборочного среднего. Явление статистической устойчивости проявляется при усреднении флуктуаций разного типа, в частности стохастических, детерминированных и реальных физических процессов.

Пример 1. На рис. 1а и рис. 1в представлена ​​реализация шума с однородной спектральной плотностью мощности ( белый шум ) и процесс с определенным периодом. На рис. 1б и 1г показаны зависимости средних значений от интервала усреднения. Как видно из рисунков 1b и 1d, при увеличении интервала усреднения флуктуации выборочного среднего значения уменьшаются, и среднее значение постепенно стабилизируется.

Рис. 1. Реализация белого гауссовского шума (а) и гармонических колебаний (в) вместе с зависимостями соответствующего выборочного среднего от интервала усреднения (б, г)

Пример 2. На рис. 2а и 2б показано, как напряжение в сети в городе колеблется быстро, а среднее - медленно. По мере увеличения интервала усреднения от нуля до одного часа среднее напряжение стабилизируется (рис. 2, б).

Рис. 2. Зависимость сетевого напряжения (а) и соответствующего среднего (б) от времени за 1,8 часа.

Явление статистической устойчивости наблюдается при расчете и других статистических данных, в частности, выборочных моментов .

Свойства статистической устойчивости [ править ]

Появление [ править ]

Статистическая стабильность относительной частоты - свойство массовых (множественных) событий. Это свойство присуще не одному событию, а их совокупности. Точно так же статистическая стабильность статистики - это свойство, присущее набору выборок. Следовательно, статистическая стабильность относительной частоты или статистическая стабильность статистики может рассматриваться как эмерджентное свойство .

Гипотеза идеальной статистической устойчивости [ править ]

На первый взгляд кажется вполне правдоподобным, что последовательность относительных частот любого реального события должна стремиться к определенному значению (вероятности), а последовательность выборочных средних дискретных выборок любого реального процесса должна иметь предел , а именно. , . Это гипотеза идеальной (идеальной) статистической устойчивости. Теория вероятностей основана на этой гипотезе. [ сомнительно - обсудить ]

Критика гипотезы о совершенной статистической устойчивости [ править ]

Долгие годы гипотеза об идеальной статистической устойчивости не вызывала сомнений, хотя некоторые ученые (даже Андрей Колмогоров (1903–1987) [11] [12] [13] и такие известные ученые, как Андрей Марков , [14] Анатолий Скороход ( 1930–2011), [15] Эмиль Борель (1871–1956), [16] В.Н. Тутубалин [17] ) и др.) Заметили, что в реальном мире эта гипотеза верна только с некоторыми оговорками.

Гипотеза несовершенной статистической устойчивости [ править ]

Возможность адекватного описания относительных частот действительных событий и выборочных средних значений фактических дискретных выборок выражениями , только гипотеза. Это не следует из каких-либо экспериментов и каких-либо логических выводов. Легко показать, что не все процессы, даже колебательного типа, обладают свойством идеальной статистической устойчивости.

Пример 3. На рис. 3а и рис. 3в представлены два детерминированных колебания, а на рис. 3б и рис. 3d показаны их средние значения. Из рис. 3б и рис. 3d видно, что в обоих случаях среднее значение не имеет предела, т. Е. Оба процесса статистически нестабильны.

Рис. 3. Статистически неустойчивые колебания (а, в) и соответствующие средние значения ( б , г ).

Экспериментальные исследования различных процессов различной физической природы в широких интервалах наблюдений показывают, что гипотеза об идеальной статистической устойчивости не подтверждается ».. Реальный мир постоянно меняется, и изменения происходят на всех уровнях, включая статистический. Статистические оценки, сформированные на основе сравнительно небольших интервалов наблюдений, относительно стабильны. Их устойчивость проявляется в уменьшении флуктуации статистических оценок при увеличении объема статистических данных. Это создает иллюзию идеальной статистической стабильности. Однако за пределами определенного критического объема уровень колебаний практически не меняется (а иногда даже растет) при увеличении объема данных. Это указывает на то, что статистическая стабильность не идеальна.

Пример 4. Неидеальная статистическая стабильность проиллюстрирована рис. 4, [18], на котором представлены колебания сетевого напряжения за 2,5 дня. Обратите внимание, что колебание на рис. 2а показывает начальную часть колебания, представленного на рис. 4а. Как видно из рис. 4b, выборочное среднее не стабилизируется даже для очень длинных интервалов усреднения.

Рис. 4. Зависимость сетевого напряжения (а) и соответствующего среднего (б) от времени за 60 часов.

Описание явления статистической устойчивости [ править ]

Шестая проблема Гильберта [ править ]

До конца XIX века теория вероятностей рассматривалась как физическая дисциплина . На Втором Международном конгрессе математиков (1900 г.) Дэвид Гильберт (1862–1943) выступил с речью, озаглавленной «Математические проблемы». [19] Здесь он сформулировал то, что он считал двадцатью тремя наиболее важными проблемами , изучение которых могло бы значительно стимулировать дальнейшее развитие науки. Шестая проблема - математическое описание аксиом физики. В части своего выступления, относящейся к этой проблеме, Гильберт отметил, что параллельно с исследованиями основ геометрии можно было бы подходить к проблеме аксиоматического построения, в том же русле,физические науки, в которых математика играла исключительную роль, и в частности теория вероятностей и механика.

Многие ученые откликнулись на призыв Гильберта. Среди них были Рихард фон Мизес , рассматривавший проблему с точки зрения естествознания, и Андрей Колмогоров , предложивший в 1929 году решение, основанное на теории множеств и теории меры. Аксиоматический подход, предложенный А. Н. Колмогоровым [20] , сейчас пользуется популярностью в теории вероятностей. Этот подход даже возведен в ранг стандарта. [21]

Описание явления статистической устойчивости в рамках теории вероятностей [ править ]

Колмогоровская теория вероятностей - типичная математическая дисциплина. В нем предметом является абстрактное вероятностное пространство, а предметом исследования являются математические отношения между его элементами. Физический феномен статистической стабильности относительной частоты событий, который формально составляет основу этой дисциплины, в таком случае, по-видимому, не играет никакой роли. Это явление учтено в идеализированной форме путем принятия аксиомы счетной аддитивности, что равносильно принятию гипотезы идеальной статистической устойчивости.

Описание явления статистической устойчивости в рамках теории гиперслучайных явлений [ править ]

В отличие от классической математической теории вероятностей, теория гиперслучайных явлений является физико-математической . Предметом исследования является феномен статистической устойчивости, а предметом исследования является адекватное описание его так называемыми гиперслучайными моделями ( гиперслучайные явления ) с учетом нарушения статистической устойчивости. [22]

Теория гипер-случайных явлений не стирает достижений теории вероятностей и классической математической статистики, а дополняет их, расширяя положения этих дисциплин до области, в которой они еще не рассматривались, где нет сближения статистики.

Параметры статистической устойчивости [ править ]

Существует ряд параметров, характеризующих статистическую устойчивость, в частности, параметры статистической нестабильности по отношению к среднему, параметры статистической нестабильности по отношению к стандартному отклонению, интервалы статистической устойчивости по отношению к среднему, стандартное отклонение, и прочая статистика и пр. Математически корректное определение этих параметров и разработка методологии их оценки в случае неограниченных и ограниченных размеров выборки изучаются в рамках теории гиперслучайных явлений.

Области эффективного использования различных подходов к описанию явления статистической устойчивости [ править ]

Основными параметрами, определяющими границы эффективного использования классической теории вероятностей и теории гиперслучайных явлений, являются интервалы статистической устойчивости по различным статистическим данным. В пределах этих интервалов нарушения статистической устойчивости незначительны, поэтому использование теории вероятностей возможно и разумно. Вне этих интервалов нарушения статистической устойчивости существенны, поэтому необходимо использовать методы, учитывающие эти нарушения, в частности, методы теории гиперслучайных явлений.

Ограничения статистической стабильности становятся очевидными для больших размеров выборки и при переходе к пределу. Размер выборки часто невелик, поэтому многие практические задачи можно решить с приемлемой точностью с помощью случайных (стохастических) моделей. Такие модели обычно проще, чем гиперслучайные модели, поэтому предпочтительны для не очень больших размеров выборки. Однако гиперслучайные модели имеют очевидные преимущества перед стохастическими и другими более простыми моделями в случаях, когда становится очевидным ограниченный статистический характер статистической устойчивости, обычно для длинных интервалов наблюдений и больших размеров выборки .

Поэтому основное применение гиперслучайных моделей - статистический анализ различных физических процессов (электрических, магнитных, электромагнитных, акустических, гидроакустических, сейсмоакустических, метеорологических и др.) Большой продолжительности, а также высокоточных измерений различных физические величины и прогнозирование физических процессов путем статистической обработки больших массивов данных.

Исследования XXI века показывают, что гипер-случайные модели могут быть полезны и для решения других задач, например, при проектировании радиоэлектронного оборудования. [23] [24]

См. Также [ править ]

  • Согласованность (статистика)
  • Теория вероятности
  • Относительная частота
  • Вероятность склонности
  • Теория гипер-случайных явлений

Ссылки [ править ]

  1. ^ Граунт, Дж .: Естественные и политические наблюдения, сделанные на счетах смертности. Балтимор (1939)
  2. ^ Шейнин, OB: Теория Veroyatnostey. Исторический очерк. Теория вероятностей. Историческое обозрение. http: // www . sheynin.de (2009). Доступ 21 июня 2009 г.
  3. ^ Чайковский Ю.В .: О природе случайности. Центр системных исследований Института истории природы и техники РАН, Москва (2004)
  4. ↑ Сергеев А.Г., Крохин В.В.: Метрология. Логос, Москва (2001)
  5. ^ Elyasberg, PS: Informatsiya Измерительная. Сколко ее Нужно? (Измерение информации. Сколько нужно?). Наука, Москва (1983)
  6. ^ Жигальский, Г.П. Неравновесный γ-шум в проводящих пленках и контактах. Физика – Успехи. 46, 449–471 (2003).
  7. ^ Гнеденко, BV: Курс теорииVeroyatnostey (курс по теории вероятностей). Издательство физико – математической литературы, Москва (1988).
  8. Перейти ↑ Feynman, RP, Leighton, RB, Sands M .: The Feynman Lectures on Physics. Vol. 1. Addison Wesley Publishing Company, Inc. Рединг, Массачусетс – Пало-Альто – Лондон (1963 г.)
  9. ^ Рожков, В.А.: Теория вероятностей случайных событий, Величин и функции с гидрометеорологическими примерами. Прогрес – погода, Москва (1996).
  10. ^ Мостеллер, Ф., Рурк, РЕК, Томас, ГБ: Вероятность: первый курс. Эддисон Уэсли Паблишинг Компани, Инк. Рединг, Массачусетс – Лондон (1961 г.)
  11. ↑ Колмогоров А.Н.: Теория вероятностей. В кн .: Математика, ее методы и значение, 2, с. 252–284 (1956).
  12. ^ Колмогоров, А. Н.Основные Ponyatiya теорииVeroyatnostey (Основы теории вероятностей). ОНТИ, Москва (1974)
  13. ^ Колмогоров, А. Н.: О logicheskikh osnovaniyakh теорииveroyatnostey (о логических основах теории вероятностей). В кн .: Теория вероятностей и математическая статистика, с. 467–471. Наука, Москва (1986)
  14. ^ Марков, А.А.: Исчисление вероятностей. Москва (1924)
  15. ^ Иваненко В.И., Лабковский В.А.: Проблема неопределенности в задачах принятия решений. Наукова думка, Киев (1990)
  16. ↑ Borel, E .: Probabilité et Certitude. Прессы Universitaires de France, Париж (1956)
  17. ^ Тутубалин, В. Н.: Теория Veroyatnostey (теория вероятностей). Московский университет, Москва (1972)
  18. ^ Горбан, II: Феномен статистической стабильности. Техническая физика, 59 (3), 333–340 (2014).
  19. ^ Александров, PS (ред.): Проблемы Гильберта (проблемы Гильберта). Наука, Москва (1969)
  20. ^ Колмогоров, А. Н.Основные Ponyatiya теорииVeroyatnostey (Основы теории вероятностей). ОНТИ, Москва (1974)
  21. ^ ISO 3534–1: Статистика. Словарь и символы. Часть I: Общие статистические термины и термины, используемые в оценке вероятности (2006 г.)
  22. ^ Горбан, И.И. Феномен статистической стабильности - Спрингер, 2017. - 361 с. - ISBN  978-3-319-43584-8
  23. ^ Уваров, Б.М.: Методы представления характеристик радиоэлектронного оборудования на основе теории гиперслучайных явлений. Радиоэлектроника и системы связи 53 (10), 542–549 (2010).
  24. ^ Зиньковский, Ю.Ф., Уваров, Б.М.: Гиперслучайность алгоритмов моделирования современного радиоэлектронного оборудования. Радиоэлектроника и системы связи 54 (3), 147–154 (2011)