Метод прямой жесткости

В качестве одного из методов структурного анализа метод прямой жесткости , также известный как метод жесткости матрицы , особенно подходит для автоматизированного компьютерного анализа сложных структур, включая статически неопределенный тип. Это матричный метод, в котором отношения жесткости стержней используются для расчета сил стержней и смещений в конструкциях. Метод прямой жесткости является наиболее распространенной реализацией метода конечных элементов (МКЭ). При применении метода система должна быть смоделирована как набор более простых, идеализированных элементов, соединенных между собой в узлах. Свойства жесткости материала этих элементов затем черезматричная математика , составленная в одно матричное уравнение, которое управляет поведением всей идеализированной структуры. Неизвестные перемещения и силы конструкции затем могут быть определены путем решения этого уравнения. Метод прямой жесткости лежит в основе большинства коммерческих программ конечных элементов с бесплатными исходными кодами.

Метод прямой жесткости зародился в области авиакосмической промышленности . Исследователи рассмотрели различные подходы к анализу сложных кадров самолетов. К ним относятся теория упругости , принципы энергия в строительной механике , метод гибкости и матрица жесткости методы . Именно благодаря анализу этих методов метод прямой жесткости стал эффективным методом, идеально подходящим для компьютерной реализации.

История [ править ]

Между 1934 и 1938 годами А. Р. Коллар и У. Дж. Дункан опубликовали первые статьи с описанием и терминологией матричных систем, которые используются сегодня. Исследования аэроупругости продолжались во время Второй мировой войны, но ограничения на публикацию с 1938 по 1947 год затрудняют отслеживание этой работы. Второй крупный прорыв в матричном структурном анализе произошел в 1954 и 1955 годах, когда профессор Джон Х. Аргирис систематизировал концепцию сборки элементарных компонентов конструкции в систему уравнений. Наконец, 6 ноября 1959 г. М. Дж. Тернер , глава Boeingподразделение Structural Dynamics Unit опубликовало статью, в которой описал метод прямой жесткости как эффективную модель для компьютерной реализации ( Felippa 2001 ).

Отношения жесткости элементов [ править ]

Типичное отношение жесткости стержня имеет следующий общий вид:

${\ Displaystyle \ mathbf {Q} ^ {m} = \ mathbf {k} ^ {m} \ mathbf {q} ^ {m} + \ mathbf {Q} ^ {om} \ qquad \ qquad \ qquad \ mathrm { (1)}}$

где

m = номер элемента m .

${\ displaystyle \ mathbf {Q} ^ {m}}$ = вектор характеристических сил стержня, которые являются неизвестными внутренними силами.

${\ displaystyle \ mathbf {k} ^ {m}}$ = матрица жесткости стержня, которая характеризует сопротивление стержня деформациям.

${\ Displaystyle \ mathbf {д} ^ {м}}$ = вектор характерных смещений или деформаций стержня.

${\ displaystyle \ mathbf {Q} ^ {om}}$= вектор характеристических сил стержня, вызванных внешними воздействиями (такими как известные силы и изменения температуры), приложенными к стержню во время .${\ displaystyle \ mathbf {q} ^ {m} = 0}$

Если это деформации стержня, а не абсолютные смещения, то это независимые силы стержня, и в таком случае (1) можно инвертировать, чтобы получить так называемую матрицу гибкости стержня , которая используется в методе гибкости .${\ Displaystyle \ mathbf {д} ^ {м}}$${\ displaystyle \ mathbf {Q} ^ {m}}$

Соотношение жесткости системы [ править ]

Для системы с множеством элементов, соединенных между собой в точках, называемых узлами, отношения жесткости элементов, такие как уравнение (1), можно интегрировать, используя следующие наблюдения:

• Деформации стержня могут быть выражены в терминах узловых перемещений системы r , чтобы гарантировать совместимость между стержнями. Это означает, что r будет первичными неизвестными.${\ Displaystyle \ mathbf {д} ^ {м}}$
• Силы членов помогают к держать узлы в равновесии под узловыми силами R . Это означает, что правая часть (1) будет интегрирована в правую часть следующих узловых уравнений равновесия для всей системы:${\ displaystyle \ mathbf {Q} ^ {m}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {R} = \ mathbf {Kr} + \ mathbf {R} ^ {o} \ qquad \ qquad \ qquad \ mathrm {(2)}}$

где

${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ = вектор узловых сил, представляющих внешние силы, приложенные к узлам системы.

${\ displaystyle \ mathbf {K}}$= матрица жесткости системы, которая устанавливается путем сборки матриц жесткости элементов .${\ displaystyle \ mathbf {k} ^ {m}}$

${\displaystyle \mathbf {r} }$= Вектор узловых перемещений системы , которые могут определить все возможные деформированные конфигурации системы с учетом произвольных узловых силами R .

${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$= Вектор эквивалентных узловых сил, представляющих все , кроме узловых сил , которые уже включены в предыдущей узловой вектор силы внешних эффектов R . Этот вектор устанавливается путем сборки членов ' .${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$

Решение [ править ]

Матрица жесткости системы K является квадратной, поскольку векторы R и r имеют одинаковый размер. Кроме того, он симметричен, потому что он симметричен. После того, как ограничения опор учтены в (2), узловые перемещения находятся путем решения системы линейных уравнений (2), символически:${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {K} ^{-1}(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{o})\qquad \qquad \qquad \mathrm {(3)} }$

Впоследствии характеристические силы стержней могут быть найдены из уравнения (1), где их можно найти из r , исходя из соображений совместимости.${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$

Метод прямой жесткости [ править ]

Обычно , чтобы иметь уравнение. (1) в форме , где и являются, соответственно, членом-концевые смещения и силы , соответствующие по направлению с г и R . В таком случае и может быть получено прямым суммированием матриц членов и . Этот метод известен как метод прямой жесткости.${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$

Преимущества и недостатки метода определения жесткости матрицы сравниваются и обсуждаются в статье о методе гибкости .

Пример [ править ]

Разбивка [ править ]

Первым шагом при использовании метода прямой жесткости является определение отдельных элементов, составляющих конструкцию.

Как только элементы идентифицированы, структура разъединяется в узлах, точках, которые соединяют различные элементы вместе.

Затем каждый элемент анализируется индивидуально для построения уравнений жесткости стержня. Силы и перемещения связаны через матрицу жесткости элемента, которая зависит от геометрии и свойств элемента.

Элемент фермы может передавать только силы сжатия или растяжения. Это означает, что в двух измерениях каждый узел имеет две степени свободы (DOF): горизонтальное и вертикальное смещение. Полученное уравнение содержит матрицу жесткости четыре на четыре.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}}$

Элемент рамы способен выдерживать не только сжатие и растяжение, но и изгибающие моменты. Это приводит к трем степеням свободы: горизонтальное смещение, вертикальное смещение и вращение в плоскости. Матрица жесткости в этом случае шесть на шесть.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\m_{z1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\m_{z2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}&k_{15}&k_{16}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}&k_{25}&k_{26}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}&k_{35}&k_{36}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}&k_{45}&k_{46}\\k_{51}&k_{52}&k_{53}&k_{54}&k_{55}&k_{56}\\k_{61}&k_{62}&k_{63}&k_{64}&k_{65}&k_{66}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\theta _{z1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\theta _{z2}\\\end{bmatrix}}}$

Другие элементы, такие как пластины и оболочки, также могут быть включены в метод прямой жесткости, и должны быть разработаны аналогичные уравнения.

Сборка [ править ]

После того, как отношения жесткости отдельных элементов будут разработаны, они должны быть собраны в исходную конструкцию. Первым шагом в этом процессе является преобразование отношений жесткости для отдельных элементов в глобальную систему для всей конструкции. В случае элемента фермы глобальная форма метода жесткости зависит от угла элемента по отношению к глобальной системе координат (обычно эта система является традиционной декартовой системой координат ).

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}c^{2}&sc&-c^{2}&-sc\\sc&s^{2}&-sc&-s^{2}\\-c^{2}&-sc&c^{2}&sc\\-sc&-s^{2}&sc&s^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}{\begin{array}{r }s=\sin \beta \\c=\cos \beta \\\end{array}}}$(для элемента фермы под углом β) Эквивалентно,${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}f_{x1}\\f_{y1}\\\hline f_{x2}\\f_{y2}\\\end{array}}\right]={\frac {EA}{L}}\left[{\begin{array}{c c|c c}c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}&-c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}\\c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}&-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}\\\hline -c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}&c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}\\-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}&c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}u_{x1}\\u_{y1}\\\hline u_{x2}\\u_{y2}\\\end{array}}\right]}$

где и - направляющие косинусы элемента фермы (т. е. они являются компонентами единичного вектора, выровненного с элементом). Эта форма показывает, как обобщить жесткость элемента на трехмерные пространственные фермы, просто расширив узор, который очевиден в этой формулировке.${\displaystyle c_{x}}$${\displaystyle c_{y}}$

После разработки матрицы жесткости элементов в глобальной системе координат их необходимо объединить в единую «основную» или «глобальную» матрицу жесткости. При объединении этих матриц вместе необходимо соблюдать два правила: совместимость перемещений и равновесие сил в каждом узле. Эти правила поддерживаются путем связывания узловых смещений элементов с глобальными узловыми смещениями.

Каждый вектор глобального смещения и силы содержит по одной записи для каждой степени свободы в конструкции. Матрицы жесткости элементов объединяются путем увеличения или расширения каждой матрицы в соответствии с глобальными векторами смещения и нагрузки.

${\displaystyle k^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\rightarrow K^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$(для элемента (1) вышеуказанной конструкции)

Наконец, глобальная матрица жесткости строится путем сложения отдельных расширенных матриц элементов вместе.

Решение [ править ]

После построения глобальной матрицы жесткости, вектора смещения и вектора силы система может быть выражена в виде единого матричного уравнения.

Для каждой степени свободы в конструкции известно либо смещение, либо сила.

После ввода известного значения для каждой степени свободы основное уравнение жесткости завершено и готово к оценке. Существует несколько различных методов оценки матричного уравнения, включая, помимо прочего, разложение Холецкого и оценку систем уравнений методом грубой силы. Если конструкция не закреплена должным образом, приложение силы заставит ее жестко двигаться, и необходимо добавить дополнительные условия поддержки.

Метод, описанный в этом разделе, представляет собой обзор метода прямой жесткости. Для получения более подробной информации о процессе, а также о предположениях о свойствах материалов, присущих процессу, следует обращаться к дополнительным источникам.

Приложения [ править ]

Метод прямой жесткости был разработан специально для эффективной и простой реализации в компьютерном программном обеспечении для оценки сложных конструкций, содержащих большое количество элементов. Сегодня почти все доступные решатели конечных элементов основаны на прямом методе жесткости. Хотя каждая программа использует один и тот же процесс, многие из них были оптимизированы, чтобы сократить время вычислений и уменьшить требуемую память. Для этого были разработаны ярлыки.

Одна из самых больших областей использования метода прямой жесткости - это область структурного анализа, где этот метод был включен в программное обеспечение для моделирования. Программное обеспечение позволяет пользователям моделировать структуру, и после того, как пользователь определяет свойства материала элементов, программа автоматически генерирует взаимосвязи элементов и общей жесткости. Когда применяются различные условия нагружения, программное обеспечение оценивает конструкцию и генерирует прогибы для пользователя.

См. Также [ править ]

• Метод конечных элементов
• Метод конечных элементов в строительной механике
• Структурный анализ
• Метод гибкости
• Список пакетов программного обеспечения для конечных элементов

Внешние ссылки [ править ]

• Применение метода прямой жесткости к 1-мерной пружинной системе
• Матричный структурный анализ
• Анимации моделирования анализа жесткости

Ссылки [ править ]

• Felippa, Carlos A. (2001), "Исторический очерк матрицы структурного анализа: пьеса в трех действиях" (PDF) , Компьютеры и сооружения , 79 (14): 1313-1324, DOI : 10.1016 / S0045-7949 (01 ) 00025-6 , ISSN  0045-7949 , архивируются от оригинала (PDF) на 2007-06-29 , извлекаются 2005-10-05
• Фелиппа, Карлос А. Введение в метод конечных элементов. Осень 2001 г. Колорадский университет. 18 сентября 2005 г.
• Робинсон, Джон. Структурно-матричный анализ для инженера. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, 1966 г.
• Рубинштейн, Моше Ф. Матричный компьютерный анализ конструкций. Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1966 г.
• Макгуайр, В., Галлахер, Р. Х., Зиемиан, Р. Д. Матричный структурный анализ, 2-е изд. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья, 2000.