Результирующие напряжения

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найти источники:  «Результаты стресса»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Результирующие напряжения - это упрощенные представления напряженного состояния в элементах конструкции, таких как балки , пластины или оболочки . ^[1] Геометрия типичных структурных элементов позволяет упростить внутреннее напряженное состояние из-за наличия направления «толщины», в котором размер элемента намного меньше, чем в других направлениях. Как следствие, три компонента тяги, которые изменяются от точки к точке в поперечном сечении, могут быть заменены набором равнодействующих сил и результирующих моментов. Это результирующие напряжения (также называемые мембранными силами, поперечные силы и изгибающий момент ), которые можно использовать для определения подробного напряженного состояния в структурном элементе. Тогда трехмерная задача может быть сведена к одномерной задаче (для балок) или двумерной задаче (для пластин и оболочек).

Результирующие напряжения определяются как интегралы напряжения по толщине элемента конструкции. Интегралы взвешиваются целыми степенями координаты толщины z (или x ₃ ). Результирующие напряжения определены таким образом, чтобы представить эффект напряжения как мембранную силу N (нулевая степень по z ), изгибающий момент M (степень 1) на балку или оболочку (конструкцию) . Результирующие напряжения необходимы для исключения зависимости напряжения от z из уравнений теории пластин и оболочек.

Результирующие напряжения в балках [ править ]

Компоненты напряжения на поверхностях конструктивного элемента.

Рассмотрим элемент, показанный на соседнем рисунке. Предположим, что направление толщины равно x ₃ . Если элемент был извлечен из балки, ширина и толщина сопоставимы по размеру. Пусть x ₂ будет направлением ширины. Тогда x ₁ - это направление длины.

Мембранные и поперечные силы [ править ]

Вектор результирующей силы из-за тяги в поперечном сечении ( A ), перпендикулярном оси x _1, равен

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=\int _{A}(\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dA}$

где e ₁ , e ₂ , e ₃ - единичные векторы вдоль x ₁ , x ₂ и x ₃ соответственно. Определим результирующие напряжения так, что

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=:N_{11}\mathbf {e} _{1}+V_{2}\mathbf {e} _{2}+V_{3}\mathbf {e} _{3}}$

где N ₁₁ - мембранная сила, а V ₂ , V ₃ - поперечные силы. Более точно, для пучка высоты т и шириной Ь ,

${\displaystyle N_{11}=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}\sigma _{11}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

Аналогичным образом равнодействующие силы сдвига равны

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\\V_{3}\end{bmatrix}}=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{12}\\\sigma _{13}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

Изгибающие моменты [ править ]

Вектор изгибающего момента из-за напряжений в поперечном сечении A, перпендикулярном оси x _1, определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{A}\mathbf {r} \times (\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dA\quad {\text{where}}\quad \mathbf {r} =x_{2}\,\mathbf {e} _{2}+x_{3}\,\mathbf {e} _{3}\,.}$

Расширяя это выражение, мы имеем

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{A}\left(-x_{2}\sigma _{11}\mathbf {e} _{3}+x_{2}\sigma _{13}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{11}\mathbf {e} _{2}-x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}\right)dA=:M_{11}\,\mathbf {e} _{1}+M_{12}\,\mathbf {e} _{2}+M_{13}\,\mathbf {e} _{3}\,.}$

Результирующие компоненты изгибающего момента можно записать как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{12}\\M_{13}\end{bmatrix}}:=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}x_{2}\sigma _{13}-x_{3}\sigma _{12}\\x_{3}\sigma _{11}\\-x_{2}\sigma _{11}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

Результирующие напряжения в пластинах и оболочках [ править ]

Для пластин и оболочек размеры x ₁ и x ₂ намного больше, чем размер в направлении x ₃ . Интегрирование по площади поперечного сечения должно было бы включать одно из более крупных измерений и привело бы к модели, которая слишком проста для практических расчетов. По этой причине напряжения интегрируются только по толщине, а результирующие напряжения обычно выражаются в единицах силы на единицу длины (или моменте на единицу длины ) вместо истинной силы и момента, как в случае балок.

Мембранные и поперечные силы [ править ]

Для пластин и оболочек необходимо учитывать два поперечных сечения. Первый перпендикулярен оси x _1, а второй перпендикулярен оси x ₂ . Следуя той же процедуре, что и для балок, и учитывая, что теперь результирующие на единицу длины, мы имеем

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}(\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {F} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}(\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}}$

Мы можем записать это как

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=N_{11}\mathbf {e} _{1}+N_{12}\mathbf {e} _{2}+V_{1}\mathbf {e} _{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {F} _{2}=N_{12}\mathbf {e} _{1}+N_{22}\mathbf {e} _{2}+V_{2}\mathbf {e} _{3}}$

где мембранные силы определяются как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}:=\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,dx_{3}}$

а поперечные силы определяются как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}=\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{13}\\\sigma _{23}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,.}$

Изгибающие моменты [ править ]

Для результирующих изгибающих моментов имеем

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}\mathbf {r} \times (\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}\mathbf {r} \times (\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}}$

где r = x ₃ e ₃ . Расширяя эти выражения, мы получаем

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}[-x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{11}\mathbf {e} _{2}]\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}[-x_{3}\sigma _{22}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}]\,dx_{3}}$

Определите равнодействующие изгибающего момента так, чтобы

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=:-M_{12}\mathbf {e} _{1}+M_{11}\mathbf {e} _{2}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=:-M_{22}\mathbf {e} _{1}+M_{12}\mathbf {e} _{2}\,.}$

Тогда равнодействующие изгибающих моментов имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}:=\int _{-t/2}^{t/2}x_{3}\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,.}$

Это результаты, которые часто встречаются в литературе, но необходимо следить за тем, чтобы знаки были правильно интерпретированы.

См. Также [ править ]

• Сдвигающая сила
• Изгибающий момент
• Теория пластин
• Гибка плит
• Теория пластин Кирхгофа – Лява
• Теория пластин Миндлина – Рейсснера
• Вибрация плит

Ссылки [ править ]