Вибрация плит

Режим вибрации зажатой квадратной пластины

Вибрации пластин являются частным случаем более общей задачи механических колебаний . Уравнения, управляющие движением пластин, проще, чем уравнения для обычных трехмерных объектов, потому что один из размеров пластины намного меньше, чем два других. Это говорит о том, что теория двумерных пластин даст отличное приближение к реальному трехмерному движению пластинчатого объекта, и это действительно так. ^[1]

Существует несколько теорий, которые были разработаны для описания движения плит. Чаще всего используются теория Кирхгофа-Лява ^[2] и теория Уфлянд-Миндлина. ^{[3] [4]} Последняя теория подробно обсуждается Элишаковым . ^[5] Решения основных уравнений, предсказываемых этими теориями, могут дать нам представление о поведении пластинчатых объектов как в свободных, так и в вынужденных условиях. Это включает в себя распространение волн и изучение стоячих волн и мод колебаний в пластинах. Тема колебаний пластин рассматривается в книгах Лейссы, ^{[6] [7]} Гонткевича, ^[8] Рао,^[9] Сёдел, ^[10] Ю, ^[11] Горман ^{[12] [13]} и Рао. ^[14]

Пластинки Кирхгофа-Лява [ править ]

Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа-Лява:

${\ displaystyle {\ begin {align} N _ {\ alpha \ beta, \ beta} & = J_ {1} ~ {\ ddot {u}} _ {\ alpha} \\ M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} -q (x, t) & = J_ {1} ~ {\ ddot {w}} - J_ {3} ~ {\ ddot {w}} _ {, \ alpha \ alpha} \ end {выровнено}} }$

где - смещения средней поверхности пластины в плоскости, - поперечное (вне плоскости) смещение средней поверхности пластины, - приложенная поперечная нагрузка, и определяются результирующие силы и моменты. в виде${\ displaystyle u _ {\ alpha}}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle q}$

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\quad {\text{and}}\quad M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\,.}$

Обратите внимание, что толщина пластины равна и что результирующие определяются как средневзвешенные значения напряжений в плоскости . Производные в основных уравнениях определяются как${\displaystyle 2h}$${\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle {\dot {u}}_{i}:={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }:={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}$

где латинские индексы идут от 1 до 3, а греческие - от 1 до 2. Предполагается суммирование по повторяющимся индексам. В координатах вне плоскости , а координаты и находятся в плоскости. Для пластины равномерной толщины и однородной массовой плотности${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle 2h}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2\rho h\quad {\text{and}}\quad J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}\rho h^{3}\,.}$

Изотропные пластины Кирхгофа – Лява [ править ]

Для изотропной и однородной пластины зависимости напряжения от деформации имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

где деформации в плоскости. Соотношения деформации-смещения для пластин Кирхгофа-Лява имеют вид${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })-x_{3}\,w_{,\alpha \beta }\,.}$

Следовательно, результирующие моменты, соответствующие этим напряжениям, равны

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}\\w_{,22}\\w_{,12}\end{bmatrix}}}$

Если мы пренебрегаем смещениями в плоскости , основные уравнения сводятся к${\displaystyle u_{\alpha \beta }}$

${\displaystyle D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-q(x,t)-2\rho h{\ddot {w}}\,}$

где - жесткость пластины на изгиб. Для однородной пластины толщины ,${\displaystyle D}$${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

Вышеупомянутое уравнение также можно записать в альтернативной записи:

${\displaystyle \mu \Delta \Delta w+{\hat {q}}+\rho w_{tt}=0\,.}$

В механике твердого тела пластина часто моделируется как двухмерное упругое тело, потенциальная энергия которого зависит от того, как он изгибается из плоской конфигурации, а не от того, как он растягивается (что, напротив, имеет место для мембраны, такой как пластина барабана). ). В таких ситуациях вибрирующую пластину можно смоделировать аналогично вибрирующему барабану . Тем не менее, в результате чего парциальное дифференциальное уравнение для вертикального перемещения ш пластины от ее положения равновесия четвертого порядка, включая квадрат лапласиана из ш , а не второго порядка, а его качественное поведение принципиально отличается от круглой мембраны барабан.

Свободные колебания изотропных пластин [ править ]

Для свободных колебаний внешняя сила q равна нулю, и основное уравнение изотропной пластины сводится к

${\displaystyle D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-2\rho h{\ddot {w}}}$

или же

${\displaystyle \mu \Delta \Delta w+\rho w_{tt}=0\,.}$

Это соотношение может быть получено альтернативным способом, учитывая кривизну пластины. ^[15] Плотность потенциальной энергии пластины зависит от того, как пластина деформируется, а также от средней кривизны и гауссовой кривизны пластины. Для малых деформаций средняя кривизна выражается через w , вертикальное смещение пластины из кинетического равновесия, как Δ w , лапласиан w , а гауссова кривизна - это оператор Монжа – Ампера w _xx w _yy - w²
_ху. Таким образом, полная потенциальная энергия пластины Ω имеет вид

${\displaystyle U=\int _{\Omega }[(\Delta w)^{2}+(1-\mu )(w_{xx}w_{yy}-w_{xy}^{2})]\,dx\,dy}$

кроме общей несущественной константы нормализации. Здесь μ - постоянная величина, зависящая от свойств материала.

Кинетическая энергия дается интегралом вида

${\displaystyle T={\frac {\rho }{2}}\int _{\Omega }w_{t}^{2}\,dx\,dy.}$

Принцип Гамильтона утверждает , что ш является стационарной точкой относительно вариаций полной энергии Т + U . Получающееся уравнение в частных производных имеет вид

${\displaystyle \rho w_{tt}+\mu \Delta \Delta w=0.\,}$

Круглые тарелки [ править ]

Для свободно колеблющихся круглых пластин `` лапласиан в цилиндрических координатах имеет вид${\displaystyle w=w(r,t)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)\,.}$

Таким образом, основное уравнение для свободных колебаний круглой пластины толщиной :${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}\left\{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)\right\}\right]=-{\frac {2\rho h}{D}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.}$

Расширенный,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial r^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial ^{3}w}{\partial r^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {\partial w}{\partial r}}=-{\frac {2\rho h}{D}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.}$

Для решения этого уравнения мы используем идею разделения переменных и предполагаем решение вида

${\displaystyle w(r,t)=W(r)F(t)\,.}$

Подставляя это предполагаемое решение в основное уравнение, мы получаем

${\displaystyle {\frac {1}{\beta W}}\left[{\frac {d^{4}W}{dr^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {dW}{dr}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\cfrac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\omega ^{2}}$

где - постоянная и . Решение правого уравнения есть${\displaystyle \omega ^{2}}$${\displaystyle \beta :=2\rho h/D}$

${\displaystyle F(t)={\text{Re}}[Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}]\,.}$

Левое уравнение можно записать как

${\displaystyle {\frac {d^{4}W}{dr^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\cfrac {dW}{dr}}=\lambda ^{4}W}$

где . Общее решение этой проблемы собственных значений , подходящее для пластин, имеет вид${\displaystyle \lambda ^{4}:=\beta \omega ^{2}}$

${\displaystyle W(r)=C_{1}J_{0}(\lambda r)+C_{2}I_{0}(\lambda r)}$

где - функция Бесселя первого рода порядка 0 и - модифицированная функция Бесселя первого рода порядка 0 . Константы и определяются из граничных условий. Для пластины радиуса с зажатой окружностью граничные условия:${\displaystyle J_{0}}$${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle W(r)=0\quad {\text{and}}\quad {\cfrac {dW}{dr}}=0\quad {\text{at}}\quad r=a\,.}$

Из этих граничных условий находим, что

${\displaystyle J_{0}(\lambda a)I_{1}(\lambda a)+I_{0}(\lambda a)J_{1}(\lambda a)=0\,.}$

Мы можем решить это уравнение для (а существует бесконечное количество корней) и на основании этого найти модальные частоты . Мы также можем выразить смещение в виде${\displaystyle \lambda _{n}}$${\displaystyle \omega _{n}=\lambda _{n}^{2}/{\sqrt {\beta }}}$

${\displaystyle w(r,t)=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}\left[J_{0}(\lambda _{n}r)-{\frac {J_{0}(\lambda _{n}a)}{I_{0}(\lambda _{n}a)}}I_{0}(\lambda _{n}r)\right][A_{n}e^{i\omega _{n}t}+B_{n}e^{-i\omega _{n}t}]\,.}$

Для данной частоты первый член внутри суммы в приведенном выше уравнении дает форму моды. Мы можем найти значение, используя соответствующее граничное условие при и коэффициенты и из начальных условий, воспользовавшись преимуществом ортогональности компонентов Фурье.${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$

• режим n = 1

• режим n = 2

Прямоугольные тарелки [ править ]

Рассмотрим прямоугольную пластину, которая имеет размеры в -плоскости и толщину в -направлении. Мы стремимся найти режимы свободных колебаний пластины.${\displaystyle a\times b}$${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$${\displaystyle 2h}$${\displaystyle x_{3}}$

Предположим, что поле смещения имеет вид

${\displaystyle w(x_{1},x_{2},t)=W(x_{1},x_{2})F(t)\,.}$

Затем,

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}=\left[{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}\right]F(t)}$

и

${\displaystyle {\ddot {w}}=W(x_{1},x_{2}){\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}\,.}$

Включение их в основное уравнение дает

${\displaystyle {\frac {D}{2\rho hW}}\left[{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\omega ^{2}}$

где - константа, потому что левая часть не зависит от, а правая часть не зависит от . Тогда с правой стороны мы имеем${\displaystyle \omega ^{2}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

${\displaystyle F(t)=Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}\,.}$

С левой стороны,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}={\frac {2\rho h\omega ^{2}}{D}}W=:\lambda ^{4}W}$

где

${\displaystyle \lambda ^{2}=\omega {\sqrt {\frac {2\rho h}{D}}}\,.}$

Поскольку приведенное выше уравнение является бигармонической проблемой собственных значений, мы ищем решения разложения Фурье вида

${\displaystyle W_{mn}(x_{1},x_{2})=\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}\,.}$

Мы можем проверить и увидеть, что это решение удовлетворяет граничным условиям для свободно колеблющейся прямоугольной пластины с свободно опертыми краями:

${\displaystyle {\begin{aligned}w(x_{1},x_{2},t)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{1}=0,a\quad {\text{and}}\quad x_{2}=0,b\\M_{11}=D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{1}=0,a\\M_{22}=D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{2}=0,b\,.\end{aligned}}}$

Подставляя решение в бигармоническое уравнение, мы получаем

${\displaystyle \lambda ^{2}=\pi ^{2}\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)\,.}$

Сравнение с предыдущим выражением для показывает, что у нас может быть бесконечное количество решений с${\displaystyle \lambda ^{2}}$

${\displaystyle \omega _{mn}=\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right){\sqrt {\frac {D\pi ^{4}}{2\rho h}}}\,.}$

Следовательно, общее решение уравнения пластины есть

${\displaystyle w(x_{1},x_{2},t)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}\left(A_{mn}e^{i\omega _{mn}t}+B_{mn}e^{-i\omega _{mn}t}\right)\,.}$

Для нахождения значений и используются начальные условия и ортогональность компонент Фурье. Например, если${\displaystyle A_{mn}}$${\displaystyle B_{mn}}$

${\displaystyle w(x_{1},x_{2},0)=\varphi (x_{1},x_{2})\quad {\text{on}}\quad x_{1}\in [0,a]\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial w}{\partial t}}(x_{1},x_{2},0)=\psi (x_{1},x_{2})\quad {\text{on}}\quad x_{2}\in [0,b]}$

мы получили,

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{mn}&={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}\varphi (x_{1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_{2}\\B_{mn}&={\frac {4}{ab\omega _{mn}}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}\psi (x_{1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_{2}\,.\end{aligned}}}$

Ссылки [ править ]

См. Также [ править ]

• Гибка
• Гибка плит
• Фигуры Хладни
• Теория бесконечно малых деформаций
• Теория пластин Кирхгофа – Лява
• Линейная эластичность
• Теория пластин Миндлина – Рейсснера
• Теория пластин
• Стресс (механика)
• Результирующие напряжения
• Структурная акустика