Теория Уфлянд-Миндлин вибрационных пластин является продолжением теории Кирхгофа-Лява пластины , которая принимает во внимание сдвиговые деформации через-толщины пластины. Теория была предложена в 1948 году Яковом Соломоновичем Уфляндом [1] (1916–1991) и в 1951 году Раймондом Миндлином [2] со ссылкой на работы Уфлянда. Следовательно, эта теория должна быть отнесена к теории мы Уфлянд-Миндлин пластины, как это делается в справочнике по Elishakoff , [3] и в работах Андронова, [4] Elishakoff, Hache и Challamel, [5] Локтев, [6 ] Россихин и Шитикова[7] и Войнар. [8] В 1994 году Элишаков [9] предложил пренебречь производной четвертого порядка по времени в уравнениях Уфлянда-Миндлина. Похожая, но не идентичная теория в статических условиях была предложена ранее Эриком Рейсснером в 1945 году. [10] Обе теории предназначены для толстых пластин, в которых нормаль к средней поверхности остается прямой, но не обязательно перпендикулярной середине. -поверхность. Теория Уфлянда-Миндлина используется для расчета деформаций и напряжений в пластине, толщина которой составляет порядка одной десятой плоских размеров, в то время как теория Кирхгофа-Лява применима к более тонким пластинам.
Деформация пластины с выделением смещения, средней поверхности (красный) и нормали к средней поверхности (синий)
Наиболее часто используемая форма теории пластин Уфлянд-Миндлина на самом деле принадлежит Миндлину. Теория Рейсснера немного отличается и является статическим аналогом теории Уфлянд-Миндлина. Обе теории включают деформации сдвига в плоскости, и обе являются расширением теории пластин Кирхгофа – Лява, включающей эффекты сдвига первого порядка.
Теория Уфлянд-Миндлина предполагает, что существует линейное изменение смещения по толщине пластины, но что толщина пластины не изменяется во время деформации. Дополнительное предположение состоит в том, что нормальное напряжение по толщине игнорируется; допущение, которое также называется условием плоского напряжения . С другой стороны, статическая теория Рейсснера предполагает, что напряжение изгиба линейно, а напряжение сдвига квадратично по толщине пластины. Это приводит к ситуации, когда смещение по толщине не обязательно является линейным, а толщина пластины может изменяться во время деформации. Следовательно, статическая теория Рейсснера не использует условие плоского напряжения.
Теорию Уфлянда-Миндлина часто называют теорией сдвиговых деформаций первого порядка пластин. Поскольку теория деформации сдвига первого порядка предполагает линейное изменение смещения по толщине, она несовместима с теорией статической пластины Рейсснера.
Теория МиндлинаТеория Миндлина была первоначально выведена для изотропных пластин с использованием соображений равновесия Уфлянда. [1] Здесь обсуждается более общая версия теории, основанная на энергетических соображениях. [11]
Предполагаемое поле смещения
Гипотеза Миндлина предполагает, что перемещения в пластине имеют вид
где а также - декартовы координаты на средней поверхности недеформированной пластины и - координата направления толщины, - смещения средней поверхности в плоскости, это смещение средней поверхности в направление, а также обозначьте углы, которые нормаль к средней поверхности образует с ось. В отличие от теории пластин Кирхгофа – Лява, где напрямую связаны с , Теория Миндлина не требует, чтобы а также .
Смещение средней поверхности (слева) и нормали (справа) |
Отношения деформация-смещение
В зависимости от величины вращения нормалей пластины из основных кинематических допущений могут быть получены два разных приближения для деформаций.
Для малых деформаций и малых вращений соотношения деформация – перемещение для пластин Миндлина – Рейсснера имеют вид
В этой теории не игнорируется деформация сдвига и, следовательно, напряжение сдвига по толщине пластины. Однако деформация сдвига постоянна по толщине пластины. Это не может быть точным, поскольку известно, что напряжение сдвига параболическое даже для пластин простой формы. Чтобы учесть неточность деформации сдвига, поправочный коэффициент сдвига () применяется так, чтобы правильное количество внутренней энергии предсказывалось теорией. потом
Уравнения равновесия
Уравнения равновесия пластины Миндлина – Рейсснера при малых деформациях и малых поворотах имеют вид
где - приложенная внеплоскостная нагрузка, равнодействующие напряжения в плоскости определяются как
равнодействующие момента определяются как
а результирующие сдвига определяются как
Вывод уравнений равновесия. |
---|
Для ситуации, когда деформации и повороты пластины малы, виртуальная внутренняя энергия определяется выражением
где равнодействующие напряжения и равнодействующие момента напряжения определяются аналогично тому, как это делается для пластин Кирхгофа. Результирующая величина сдвига определяется как
Интеграция по частям дает
Из симметрии тензора напряжений следует, что а также . Следовательно,
Для особого случая, когда верхняя поверхность пластины нагружена силой на единицу площади виртуальная работа внешних сил равна
Тогда из принципа виртуальной работы ,
Используя стандартные аргументы вариационного исчисления , уравнения равновесия пластины Миндлина – Рейсснера имеют следующий вид:
|
Изгибающие моменты и нормальные напряжения | Моменты и напряжения сдвига |
Результирующие сдвиговые и касательные напряжения |
Граничные условия
Граничные условия обозначаются граничными членами в принципе виртуальной работы.
Если единственная внешняя сила - это вертикальная сила на верхней поверхности пластины, граничные условия таковы:
Отношения напряжения и деформации
Соотношения между напряжениями и деформациями для линейной упругой пластины Миндлина – Рейсснера имеют вид
С не появляется в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что он не влияет на баланс импульса и им пренебрегают. Это предположение также называется предположением о плоском напряжении . Остальные соотношения напряжение-деформация для ортотропного материала в матричной форме могут быть записаны как
потом
а также
Для условий сдвига
В экстенсиональных жесткостях являются величинами
В гибочных жесткостях являются величинами
Теория Миндлина для изотропных пластинДля однородно толстых, однородных и изотропных пластин зависимости напряжения от деформации в плоскости пластины имеют вид
где - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона, а деформации в плоскости. Напряжения и деформации сдвига по толщине связаны соотношением
где - модуль сдвига .
Учредительные отношения
Соотношения между результирующими напряжениями и обобщенными деформациями:
а также
Жесткость при изгибе определяется как величина
Для плиты толщиной ( из следующего все указывает на толщину), жесткость на изгиб имеет вид
Основные уравнения
Если мы проигнорируем продолжение пластины в плоскости, основные уравнения будут следующими:
В терминах обобщенных деформаций эти уравнения можно записать как
Вывод уравнений равновесия в терминах деформаций. |
---|
Если мы расширим основные уравнения пластины Миндлина, мы получим
Напоминая, что
и объединив три основных уравнения, мы имеем
Если мы определим
мы можем записать приведенное выше уравнение как
Точно так же, используя отношения между равнодействующими поперечной силы и деформациями, а также уравнение баланса равнодействующих поперечных сил, мы можем показать, что
Поскольку в задаче есть три неизвестных, , , а также , нам нужно третье уравнение, которое можно найти, дифференцируя выражения для результирующих сил сдвига и определяющие уравнения в терминах результирующих моментов и приравнивая их. Полученное уравнение имеет вид
Следовательно, три основных уравнения относительно деформаций таковы:
|
Граничные условия по краям прямоугольной пластины:
Связь со статической теорией РейсснераКанонические определяющие соотношения для теорий сдвиговой деформации изотропных пластин могут быть выражены как [12] [13]
Обратите внимание, что толщина пластины составляет (и нет ) в приведенных выше уравнениях и . Если мы определим момент Маркуса ,
мы можем выразить результирующие сдвига как
Эти соотношения и определяющие уравнения равновесия, когда они объединены, приводят к следующим каноническим уравнениям равновесия в терминах обобщенных перемещений.
где
Согласно теории Миндлина, - поперечное смещение средней поверхности пластины и величины а также - повороты нормали к средней поверхности относительно а также -axes соответственно. Канонические параметры этой теории: а также . Коэффициент поправки на сдвиг обычно имеет значение .
С другой стороны, согласно теории Рейсснера, - средневзвешенный поперечный прогиб, а а также являются эквивалентными вращениями, которые не идентичны вращениям в теории Миндлина.
Связь с теорией Кирхгофа – ЛюбвиЕсли мы определим сумму моментов для теории Кирхгофа – Лява как
мы можем показать, что [12]
где - бигармоническая функция такая, что . Мы также можем показать, что если - смещение, предсказанное для пластины Кирхгофа – Лява,
где - функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, . Повороты нормали связаны со смещениями пластины Кирхгофа – Лява соотношением
где
Рекомендации- ^ а б Уфлянд, Я. С., 1948, Распространение волн поперечными колебаниями балок и пластин, ПММ: Журнал прикладной математики и механики, т. 12, 287-300 с.
- ^ RD Mindlin, 1951, Влияние вращательной инерции и сдвига на изгибные движения изотропных упругих пластин , ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 18 с. 31–38.
- ^ Elishakoff, I., 2020, Справочник по Тимошенко-эренфестовского Beam и Уфлянд-Миндлина теорий , World Scientific, Сингапур, ISBN 978-981-3236-51-6
- ^ Андронов И.В., 2007, Аналитические свойства и единственность решений задач рассеяния на компактных препятствиях в бесконечной пластине, описываемых моделью Уфлянд-Миндлина, Акустическая физика, т. 53 (6), 653-659
- ^ Elishakoff И., Hache Ф., Challamel Н., 2017, Вибрации Асимптотический и вариационно Based Уфлянд-Миндлин модели, Международный журнал технических наук, Vol. 116, 58-73
- ↑ Локтев, А.А., 2011, Динамический контакт сферического центра и предварительно напряженной орттропической плиты Уфлянд-Миндлина, Acta Mechanica, Vol. 222 (1-2), 17-25
- ^ Россихин Ю.А., Шитикова М.В. Задача ударного взаимодействия упругого стержня с пластиной Уфлянд-Миндлина // Прикладная механика. 29 (2), 118-125, 1993 г.
- ^ Войнар, Р., 1979, Уравнения напряжения движения для плиты Уфлянд-Миндлин, Bulletin de l 'Academie Polonaise des Sciences - Serie des Sciences Techniques, Vol. 27 (8-9), 731-740
- ^ Elishakoff, I, 1994, «Обобщение динамического краевого методом эффекта в Болотина для вибрационного анализа Миндлин плит,» Труды, 1994 Национальная конференция пошума Control Engineering, (JM Кушьери, SAL Glegg и Д.М. Йегер, ред.), Новая Йорк, стр. 911 916
- ↑ E. Reissner, 1945, Влияние деформации поперечного сдвига на изгиб упругих пластин , ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 12. С. A68–77.
- ^ Редди, Дж. Н., 1999, Теория и анализ упругих пластин , Тейлор и Фрэнсис, Филадельфия.
- ^ a b Лим, Г. Т. и Редди, Дж. Н., 2003 г., О канонических соотношениях изгиба пластин , Международный журнал твердых тел и структур, т. 40. С. 3039–3067.
- ^ В этих уравнениях используется несколько иное соглашение о знаках, чем в предыдущем обсуждении.
Смотрите также