Оптимизация формы

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Оптимизация формы является частью теории оптимального управления . Типичная проблема состоит в том, чтобы найти форму, которая является оптимальной в том смысле, что она минимизирует определенный функционал стоимости при удовлетворении заданных ограничений . Во многих случаях решаемый функционал зависит от решения данного уравнения в частных производных, определенного в переменной области.

Оптимизация топологии , кроме того, касается количества связанных компонентов / границ, принадлежащих домену. Такие методы необходимы, поскольку обычно методы оптимизации формы работают в подмножестве допустимых форм, которые имеют фиксированные топологические свойства, такие как фиксированное количество отверстий в них. Затем методы топологической оптимизации могут помочь обойти ограничения чистой оптимизации формы.

Определение [ править ]

Математически , оптимизация формы может быть поставлена как задача нахождения ограниченного множества , минимизируя функционал ${\ displaystyle \ Omega}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (\ Omega)}

,

возможно при условии ограничения формы

{\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ Omega) = 0.}

Обычно нас интересуют множества, которые являются липшицевыми или границами C ¹ и состоят из конечного числа компонентов , что является способом сказать, что мы хотели бы найти довольно приятную форму в качестве решения, а не какой-то беспорядочный набор грубых кусочков. Иногда с этой целью необходимо наложить дополнительные ограничения, чтобы гарантировать корректность задачи и уникальность решения. ${\ displaystyle \ Omega}$

Оптимизация формы - это задача оптимизации с бесконечным числом измерений . Кроме того, пространство допустимых форм, по которому выполняется оптимизация, не допускает структуры векторного пространства , что затрудняет применение традиционных методов оптимизации.

Примеры [ править ]

Среди всех трехмерных фигур данного объема найдите ту, которая имеет минимальную площадь поверхности. Здесь:
${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (\ Omega) = {\ mbox {Area}} (\ partial \ Omega)}$ ,
с участием
${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ Omega) = {\ mbox {Volume}} (\ Omega) = {\ mbox {const.}}}$
Ответ, который дает изопериметрическое неравенство , - шар .
Найдите форму крыла самолета, которая минимизирует сопротивление . Здесь ограничениями могла быть сила крыла или размеры крыла.
Найдите форму различных механических конструкций, которые могут противостоять заданному напряжению , имея при этом минимальную массу / объем.
Для известного трехмерного объекта с фиксированным источником излучения внутри выведите форму и размер источника на основе измерений, выполненных на части границы объекта. Формулировка этой обратной задачи с использованием аппроксимации методом наименьших квадратов приводит к проблеме оптимизации формы.

Методы [ править ]

Задачи оптимизации формы обычно решаются численно с использованием итерационных методов . То есть, мы начинаем с первоначального предположения о форме, а затем постепенно развиваем ее, пока она не трансформируется в оптимальную форму.

Отслеживание формы [ править ]

Пример: оптимизация формы применительно к геометрии здания. Пример предоставлен Formsolver.com

Пример: семейства форм оптимизации, полученные в результате различных целевых параметров. Пример предоставлен Formsolver.com

Чтобы решить проблему оптимизации формы, нужно найти способ представить форму в памяти компьютера и проследить ее эволюцию. Обычно используется несколько подходов.

Один из подходов - следовать границе формы. Для этого можно сделать выборку границы формы относительно плотной и однородной, то есть рассмотреть достаточно точек, чтобы получить достаточно точный контур формы. Затем можно развивать форму, постепенно перемещая граничные точки. Это называется лагранжевым подходом .

Другой подход заключается в рассмотрении функции, определенной в прямоугольной рамке вокруг фигуры, которая положительна внутри фигуры, равна нулю на границе фигуры и отрицательна вне фигуры. Затем можно развить эту функцию вместо самой формы. Можно рассмотреть прямоугольную сетку на коробке и выбрать функцию в точках сетки. По мере развития формы точки сетки не меняются; изменяются только значения функции в точках сетки. Такой подход с использованием фиксированной сетки называется эйлеровым подходом . Идея использования функции для представления формы лежит в основе метода установки уровня .

Третий подход - рассматривать эволюцию формы как проблему потока. То есть можно представить, что форма сделана из пластического материала, постепенно деформирующегося, так что любую точку внутри или на границе формы всегда можно проследить до точки исходной формы взаимно однозначным образом. Математически, если - исходная форма, а - форма в момент времени t , учитываются диффеоморфизмы ${\ displaystyle \ Omega _ {0}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {t}}$

{\ displaystyle f_ {t}: \ Omega _ {0} \ to \ Omega _ {t}, {\ mbox {for}} 0 \ leq t \ leq t_ {0}.}

Идея снова в том, что формы - это сложные объекты, с которыми нужно иметь дело напрямую, поэтому манипулируйте ими с помощью функции.

Итерационные методы с использованием градиентов формы [ править ]

Рассмотрим гладкое поле скорости и семейство преобразований начальной области под действием поля скорости : ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle T_ {s}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0}}$ ${\ displaystyle V}$

{\ displaystyle x (0) = x_ {0} \ in \ Omega _ {0}, \ quad x '(s) = V (x (s)), \ quad T_ {s} (x_ {0}) = x (s), \ quad s \ geq 0}

,

и обозначим

{\ displaystyle \ Omega _ {0} \ mapsto T_ {s} (\ Omega _ {0}) = \ Omega _ {s}.}

Тогда Gâteaux или производная формы at относительно формы является пределом ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0}}$

d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\lim _{s\to 0}{\frac {{\mathcal {F}}(\Omega _{s})-{\mathcal {F}}(\Omega _{0})}{s}}

если этот предел существует. Если, кроме того, производная линейна по , существует единственный элемент и $V$ $\nabla {\mathcal {F}}\in L^{2}(\partial \Omega _{0})$

d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\langle \nabla {\mathcal {F}},V\rangle _{\partial \Omega _{0}}

где называется градиентом формы. Это дает естественное представление о градиентном спуске , когда граница развивается в направлении отрицательного градиента формы, чтобы уменьшить значение функционала стоимости. Аналогичным образом можно определить производные более высокого порядка, что приведет к методам, подобным Ньютону. $\nabla {\mathcal {F}}$ $\partial \Omega$

Обычно предпочтение отдается градиентному спуску, даже если требуется большое количество итераций, потому что может быть сложно вычислить производную второго порядка (то есть гессиан ) целевого функционала . ${\mathcal {F}}$

Если задача оптимизации формы имеет ограничения, то есть функционал присутствует, необходимо найти способы преобразовать задачу с ограничениями в задачу без ограничений. Иногда могут работать идеи, основанные на множителях Лагранжа . ${\mathcal {G}}$

Параметризация геометрии [ править ]

Оптимизация формы может быть решена с использованием стандартных методов оптимизации, если задана параметризация геометрии. Такая параметризация очень важна в области CAE, где целевые функции обычно представляют собой сложные функции, вычисляемые с использованием численных моделей (CFD, FEA, ...). Удобный подход, подходящий для широкого класса задач, заключается в параметризации модели САПР в сочетании с полной автоматизацией всего процесса, необходимого для оценки функции (построение сетки, решение и обработка результатов). Морфинг сетки - правильный выбор для сложных проблем, которые решают типичные проблемы, связанные с повторным построением сетки, такие как разрывы в вычисленных целевых функциях и ограничивающих функциях. ^[1]В этом случае параметризация определяется после этапа построения сетки, действуя непосредственно на числовую модель, используемую для расчета, которая изменяется с использованием методов обновления сетки. Для морфинга сетки доступно несколько алгоритмов ( деформирующие объемы , псевдотвердые тела , радиальные базисные функции.). Выбор подхода параметризации зависит в основном от размера проблемы: подход САПР предпочтителен для моделей малого и среднего размера, в то время как подход морфинга сетки является лучшим (а иногда и единственно возможным) для больших и очень больших моделей. . Многоцелевая оптимизация Парето (NSGA II) может использоваться как мощный подход для оптимизации формы. В этом отношении подход оптимизации Парето демонстрирует полезные преимущества в методе проектирования, такие как эффект ограничения площади, который другие многоцелевые оптимизации не могут объявить его. Подход с использованием штрафной функции является эффективным методом, который можно использовать на первом этапе оптимизации.В этом методе задача проектирования ограниченной формы адаптируется к задаче без ограничений с использованием ограничений в целевой функции в качестве штрафного коэффициента. Фактор штрафа по времени в большинстве случаев зависит от количества вариаций ограничений, а не от количества ограничений. В настоящей задаче оптимизации применяется методика реального кодирования GA. Поэтому расчеты основаны на реальных значениях переменных.^[2]

См. Также [ править ]

Код SU2
Топологическая производная

Ссылки [ править ]

^ Wilke, DN; Кок, С .; Groenwold, AA (2010) Применение методов градиентной оптимизации для задач, дискретизированных с использованием непостоянных методов . Структурная и междисциплинарная оптимизация, Vol. 40, 433-451.
^ Talebitooti, R .; шоджаифард, MH; Ярмохаммадисатри, Садех (2015). «Оптимизация формы цилиндрического резервуара с использованием b-шлицевых кривых». Компьютер и жидкости . 109 : 100–112. DOI : 10.1016 / j.compfluid.2014.12.004 .

Источники [ править ]

Аллер, Г. (2002) Оптимизация формы методом гомогенизации . Прикладные математические науки 146, Springer Verlag. ISBN 0-387-95298-5
Ашок Д. Белегунду, Тирупати Р. Чандрупатла. (2003) Концепции оптимизации и приложения в Engineering Prentice Hall. ISBN 0-13-031279-7 .
Bendsøe MP; Зигмунд О. (2003) Оптимизация топологии: теория, методы и приложения . Springer. ISBN 3-540-42992-1 .
Burger, M .; Ошер, С.Л. (2005) Обзор методов набора уровней для обратных задач и оптимального проектирования . Европейский журнал прикладной математики, том 16, стр. 263–301.
Delfour, MC; Золесио, Ж.-П. (2001) Формы и геометрия - анализ, дифференциальное исчисление и оптимизация . СИАМ. ISBN 0-89871-489-3 .
Haslinger, J .; Мякинен Р. (2003) Введение в оптимизацию формы: теория, приближение и вычисления . Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 0-89871-536-9 .
Laporte, E .; Ле Таллек, П. (2003) Численные методы анализа чувствительности и оптимизации формы . Birkhäuser. ISBN 0-8176-4322-2 .
Mohammadi, B .; Пиронно, О. (2001) Прикладная оптимизация формы для жидкостей . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850743-7 .
Саймон Дж. (1980) Дифференцирование по области в краевых задачах . Нумер. Fuct. Анальный. and Optimiz., 2 (7 и 8), 649-687 (1980).

Внешние ссылки [ править ]

Optopo Group - Моделирование и библиография группы optopo в Ecole Polytechnique (Франция). Метод гомогенизации и метод установки уровня.

[wilke-1] Wilke, DN; Кок, С .; Groenwold, AA (2010) Применение методов градиентной оптимизации для задач, дискретизированных с использованием непостоянных методов . Структурная и междисциплинарная оптимизация, Vol. 40, 433-451.

[ssttds-2] Talebitooti, R .; шоджаифард, MH; Ярмохаммадисатри, Садех (2015). «Оптимизация формы цилиндрического резервуара с использованием b-шлицевых кривых». Компьютер и жидкости . 109 : 100–112. DOI : 10.1016 / j.compfluid.2014.12.004 .