Отношение площади поверхности к объему

Графики площади поверхности A против объема V платоновых тел и сферы, показывающие, что площадь поверхности уменьшается для более округлых форм, а отношение площади поверхности к объему уменьшается с увеличением объема. Их точки пересечения с пунктирными линиями показывают, что при увеличении объема в 8 (2 ³) раз площадь поверхности увеличивается в 4 (2 ²) раза.

Отношение площади поверхности к объему , также называемое отношением площади поверхности к объему и по-разному обозначаемое sa / vol или SA: V , представляет собой величину площади поверхности на единицу объема объекта или совокупности объектов. В химических реакциях с участием твердого материала отношение площади поверхности к объему является важным фактором реакционной способности , то есть скорости, с которой будет протекать химическая реакция.

Для заданного объема объект с наименьшей площадью поверхности (и, следовательно, с наименьшим SA: V) является шаром , что является следствием изопериметрического неравенства в трех измерениях . Напротив, объекты с крошечными шипами будут иметь очень большую площадь поверхности для данного объема.

SA: V для шаров и N-шаров [ править ]

Шар представляет собой трехмерный объект, будучи заполненные версии сферы ( «сфера» должным образом относится только к поверхности и , следовательно, сфера не имеет объема). Шары существуют в любом измерении и обычно называются n-шарами , где n - количество измерений.

График отношения площади поверхности к объему (SA: V) для трехмерного шара, показывающий, что соотношение уменьшается обратно пропорционально увеличению радиуса шара.

Для обычного трехмерного шара SA: V можно рассчитать с помощью стандартных уравнений для поверхности и объема, которые соответственно равны и . Для единичного случая, когда r = 1, SA: V, таким образом, равно 3. SA: V имеет обратную связь с радиусом - если радиус удвоен, SA: V делится пополам (см. Рисунок). ${\ Displaystyle 4 \ pi {г ^ {2}}}$ ${\ Displaystyle (4/3) \ пи {г ^ {3}}}$

Те же рассуждения можно обобщить на n-шары, используя общие уравнения для объема и площади поверхности, а именно:

объем = ; площадь поверхности = ${\ Displaystyle г ^ {п} \ пи ^ {п / 2} \ над \ Гамма (1 + п / 2)}$ ${\ displaystyle nr ^ {n-1} \ pi ^ {n / 2} \ over \ Gamma (1+ {n / 2})}$

График отношения площади поверхности к объему (SA: V) для n-шариков как функция количества измерений и размера радиуса. Обратите внимание на линейное масштабирование как функцию размерности и обратное масштабирование как функцию радиуса.

Таким образом, соотношение уменьшается до . Таким образом, такая же линейная зависимость между площадью и объемом сохраняется для любого количества измерений (см. Рисунок): удвоение радиуса всегда уменьшает соотношение вдвое. ${\ displaystyle nr ^ {- 1}}$

Размер [ править ]

Отношение площади поверхности к объему имеет физический размер L ^-1 (обратная длина) и поэтому выражается в единицах обратного расстояния. Например, куб со сторонами длиной 1 см будет иметь площадь поверхности 6 см ² и объем 1 см ³ . Таким образом, отношение поверхности к объему для этого куба

{\ displaystyle {\ mbox {SA: V}} = {\ frac {6 ~ {\ mbox {cm}} ^ {2}} {1 ~ {\ mbox {cm}} ^ {3}}} = 6 ~ {\ mbox {см}} ^ {- 1}}

.

Для данной формы SA: V обратно пропорционален размеру. Куб со стороной 2 см имеет отношение 3 см ^-1 , что вдвое меньше, чем у куба со стороной 1 см. И наоборот, сохранение SA: V по мере увеличения размера требует изменения формы на менее компактную .

Физическая химия [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Февраль 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Материалы с высоким отношением площади поверхности к объему (например, очень маленького диаметра, очень пористые или некомпактные ) реагируют гораздо быстрее, чем монолитные материалы, потому что для реакции доступна большая поверхность. Примером является зерновая пыль: хотя зерно обычно не горючее, зерновая пыль взрывоопасна . Соль мелкого помола растворяется намного быстрее, чем соль крупного помола.

Высокое отношение площади поверхности к объему обеспечивает мощную «движущую силу» для ускорения термодинамических процессов, которые минимизируют свободную энергию .

Биология [ править ]

Клетки, выстилающие тонкий кишечник, увеличивают площадь поверхности, на которой они могут поглощать питательные вещества, с помощью ковра из микроворсинок, похожих на пучки .

Соотношение между площадью поверхности и объемом клеток и организмов оказывает огромное влияние на их биологию , включая их физиологию и поведение . Например, многие водные микроорганизмы имеют увеличенную площадь поверхности, что увеличивает сопротивление их движению в воде. Это снижает скорость их опускания и позволяет им оставаться у поверхности с меньшими затратами энергии. ^{[ необходима цитата ]}

Увеличение отношения площади поверхности к объему также означает повышенное воздействие окружающей среды. Мелкоразветвленные отростки фильтраторов, таких как криль, обеспечивают большую площадь поверхности для просеивания воды в поисках пищи. ^[1]

Отдельные органы, такие как легкое, имеют многочисленные внутренние разветвления, увеличивающие площадь поверхности; в случае легких большая поверхность поддерживает газообмен, доставляя кислород в кровь и высвобождая диоксид углерода из крови. ^[2]^[3] Точно так же тонкий кишечник имеет мелко морщинистую внутреннюю поверхность, позволяющую организму эффективно усваивать питательные вещества. ^[4]

Клетки могут достигать высокого отношения площади поверхности к объему с тщательно извилистой поверхностью, как у микроворсинок, выстилающих тонкий кишечник . ^[5]

Увеличенная площадь поверхности также может привести к биологическим проблемам. Более тесный контакт с окружающей средой через поверхность клетки или органа (относительно его объема) увеличивает потерю воды и растворенных веществ. Высокое отношение площади поверхности к объему также создает проблемы с контролем температуры в неблагоприятных условиях окружающей среды. ^{[ необходима цитата ]}

Поверхности к объему организмов различных размеров также приводит к некоторым биологическим правилам , таким , как правило Аллена , правило Бергмана ^[6]^[7]^[8] и gigantothermy . ^[9]

Распространение огня [ править ]

В контексте лесных пожаров важным измерением является отношение площади поверхности твердого топлива к его объему. Характер распространения огня часто коррелирует с отношением площади поверхности к объему топлива (например, листьев и ветвей). Чем выше его значение, тем быстрее частица реагирует на изменения условий окружающей среды, таких как температура или влажность. Более высокие значения также коррелируют с более коротким временем воспламенения топлива и, следовательно, более высокой скоростью распространения пожара.

Планетарное охлаждение [ править ]

Тело из ледяного или каменистого материала в космическом пространстве может, если оно способно накапливать и сохранять достаточное количество тепла, образовывать дифференцированный интерьер и изменять свою поверхность в результате вулканической или тектонической активности. Продолжительность времени, в течение которого планетарное тело может поддерживать активность по изменению поверхности, зависит от того, насколько хорошо оно сохраняет тепло, и это регулируется соотношением его площади поверхности к объему. Для Весты (r = 263 км) это соотношение настолько велико, что астрономы были удивлены, обнаружив, что она действительно дифференцировалась и имела кратковременную вулканическую активность. Луна , Меркурий и Марсиметь радиус в несколько тысяч километров; все три достаточно хорошо сохраняли тепло, чтобы их можно было тщательно дифференцировать, хотя примерно через миллиард лет они стали слишком холодными, чтобы показывать что-то большее, чем очень локализованную и редкую вулканическую активность. Однако по состоянию на апрель 2019 года НАСА объявило об обнаружении «маротрясения», измеренного 6 апреля 2019 года посадочным устройством НАСА InSight. ^[10] Венера и Земля (r> 6000 км) имеют достаточно низкое отношение площади поверхности к объему (примерно вдвое меньше, чем у Марса и намного ниже, чем у всех других известных скалистых тел), так что их тепловые потери минимальны. ^[11]

Математические примеры [ править ]

Форма	Характерная длина ${\ displaystyle a}$	Площадь поверхности	Объем	Соотношение SA / V	Соотношение SA / V для единицы объема
Тетраэдр	край	${\ displaystyle {\ sqrt {3}} а ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {2}} а ^ {3}} {12}}}$	${\frac {6{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {14.697}{a}}$	7.21
Куб	сторона	$6a^{2}$	$a^{3}$	${\frac {6}{a}}$	6
Октаэдр	сторона	$2{\sqrt {3}}a^{2}$	${\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}$	${\frac {3{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {7.348}{a}}$	5,72
Додекаэдр	сторона	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}$	${\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}$	${\frac {12{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{(15+7{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {2.694}{a}}$	5,31
Капсула	радиус (R)	$4\pi a^{2}+2\pi a*2a=8\pi a^{2}$	${\frac {4\pi a^{3}}{3}}+\pi a^{2}*2a={\frac {10\pi a^{3}}{3}}$	${\frac {12}{5a}}$	5,251
Икосаэдр	сторона	$5{\sqrt {3}}a^{2}$	${\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}$	${\frac {12{\sqrt {3}}}{(3+{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {3.970}{a}}$	5,148
Сфера	радиус	$4\pi a^{2}$	${\frac {4\pi a^{3}}{3}}$	${\frac {3}{a}}$	4,83598

Примеры кубиков разного размера
Сторона куба	Сторона ²	Площадь одного лица	6 × сторона ²	Площадь всего куба (6 граней)	Сторона ³	Объем	Отношение площади поверхности к объему
2	2x2	4	6x2x2	24	2x2x2	8	3: 1
4	4x4	16	6x4x4	96	4x4x4	64	3: 2
6	6x6	36	6x6x6	216	6x6x6	216	3: 3
8	8x8	64	6x8x8	384	8x8x8	512	3: 4
12	12x12	144	6x12x12	864	12x12x12	1728	3: 6
20	20x20	400	6x20x20	2400	20x20x20	8000	3:10
50	50x50	2500	6x50x50	15000	50x50x50	125000	3:25
1000	1000x1000	1000000	6x1000x1000	6000000	1000x1000x1000	1000000000	3: 500

См. Также [ править ]

Мера компактности формы
Взрыв пыли
Закон квадрата-куба

Ссылки [ править ]

Шмидт-Нильсен, Кнут (1984). Масштабирование: почему так важен размер животного? . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-26657-4. OCLC 10697247 .
Фогель, Стивен (1988). Устройства жизни: физический мир животных и растений . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08504-3. OCLC 18070616 .

Специфический

^ Килс, У .: Плавание и кормление антарктического криля, Euphausia superba - некоторые выдающиеся энергетика и динамика - некоторые уникальные морфологические детали . В Berichte zur Polarforschung , Институт полярных и морских исследований Альфреда Вегенера , специальный выпуск 4 (1983): «О биологии криля Euphausia superba », Труды семинара и отчет Группы экологии криля, редактор С.Б. Шнак, 130–155 и изображение титульной страницы.
^ Tortora, Джерард Дж .; Анагностакос, Николас П. (1987). Основы анатомии и физиологии (Пятое изд.). Нью-Йорк: Harper & Row, Publishers. С. 556–582 . ISBN 978-0-06-350729-6.
^ Уильямс, Питер L; Уорвик, Роджер; Дайсон, Мэри; Баннистер, Лоуренс Х. (1989). Анатомия Грея (тридцать седьмое изд.). Эдинбург: Черчилль Ливингстон. С. 1278–1282. ISBN 0443-041776.
^ Ромер, Альфред Шервуд; Парсонс, Томас С. (1977). Тело позвоночного . Филадельфия, Пенсильвания: Holt-Saunders International. С. 349–353. ISBN 978-0-03-910284-5.
↑ Краузе Дж. Уильям (июль 2005 г.). Краузе «Основная гистология человека для студентов-медиков» . Универсальные издатели. С. 37–. ISBN 978-1-58112-468-2. Проверено 25 ноября 2010 года .
^ Meiri, S .; Даян, Т. (20.03.2003). «О справедливости правила Бергмана». Журнал биогеографии . 30 (3): 331–351. DOI : 10.1046 / j.1365-2699.2003.00837.x .
^ Эштон, Кайл G .; Трейси, Марк С .; Кейруш, Алан де (октябрь 2000 г.). «Действительно ли правило Бергмана для млекопитающих?». Американский натуралист . 156 (4): 390–415. DOI : 10.1086 / 303400 . JSTOR 10.1086 / 303400 . PMID 29592141 . S2CID 205983729 .
^ Миллиен, Вирджиния; Лайонс, С. Кэтлин; Олсон, Линк; и другие. (23 мая 2006 г.). «Экотипическая изменчивость в контексте глобального изменения климата: пересмотр правил» . Письма об экологии . 9 (7): 853–869. DOI : 10.1111 / j.1461-0248.2006.00928.x . PMID 16796576 .
^ Фитцпатрик, Кэти (2005). «Гигантотермия» . Дэвидсон-колледж . Архивировано из оригинала на 2012-06-30 . Проверено 21 декабря 2011 .
^ "Marsquake! Посадочный модуль InSight НАСА чувствует свой первый тремор на Красной планете" .
^ http://www.astro.uvic.ca/~venn/A201/maths.6.planetary_cooling.pdf

Внешние ссылки [ править ]

Размеры организмов: площадь поверхности: объемное соотношение
Национальная координационная группа по лесным пожарам: отношение площади поверхности к объему
Предыдущая ссылка не работает, ссылки есть в этом документе, PDF

Дальнейшее чтение [ править ]

О том, чтобы быть правильным размером, Дж.Б.С. Холдейн

[1] Килс, У .: Плавание и кормление антарктического криля, Euphausia superba - некоторые выдающиеся энергетика и динамика - некоторые уникальные морфологические детали . В Berichte zur Polarforschung , Институт полярных и морских исследований Альфреда Вегенера , специальный выпуск 4 (1983): «О биологии криля Euphausia superba », Труды семинара и отчет Группы экологии криля, редактор С.Б. Шнак, 130–155 и изображение титульной страницы.

[tortora1-2] Tortora, Джерард Дж .; Анагностакос, Николас П. (1987). Основы анатомии и физиологии (Пятое изд.). Нью-Йорк: Harper & Row, Publishers. С. 556–582 . ISBN 978-0-06-350729-6.

[grays-3] Уильямс, Питер L; Уорвик, Роджер; Дайсон, Мэри; Баннистер, Лоуренс Х. (1989). Анатомия Грея (тридцать седьмое изд.). Эдинбург: Черчилль Ливингстон. С. 1278–1282. ISBN 0443-041776.

[VB-4] Ромер, Альфред Шервуд; Парсонс, Томас С. (1977). Тело позвоночного . Филадельфия, Пенсильвания: Holt-Saunders International. С. 349–353. ISBN 978-0-03-910284-5.

[William2005-5] Краузе Дж. Уильям (июль 2005 г.). Краузе «Основная гистология человека для студентов-медиков» . Универсальные издатели. С. 37–. ISBN 978-1-58112-468-2. Проверено 25 ноября 2010 года .

[Meiri2003-6] Meiri, S .; Даян, Т. (20.03.2003). «О справедливости правила Бергмана». Журнал биогеографии . 30 (3): 331–351. DOI : 10.1046 / j.1365-2699.2003.00837.x .

[Ashton2000-7] Эштон, Кайл G .; Трейси, Марк С .; Кейруш, Алан де (октябрь 2000 г.). «Действительно ли правило Бергмана для млекопитающих?». Американский натуралист . 156 (4): 390–415. DOI : 10.1086 / 303400 . JSTOR 10.1086 / 303400 . PMID 29592141 . S2CID 205983729 .

[Millien2006-8] Миллиен, Вирджиния; Лайонс, С. Кэтлин; Олсон, Линк; и другие. (23 мая 2006 г.). «Экотипическая изменчивость в контексте глобального изменения климата: пересмотр правил» . Письма об экологии . 9 (7): 853–869. DOI : 10.1111 / j.1461-0248.2006.00928.x . PMID 16796576 .

[9] Фитцпатрик, Кэти (2005). «Гигантотермия» . Дэвидсон-колледж . Архивировано из оригинала на 2012-06-30 . Проверено 21 декабря 2011 .

[10] "Marsquake! Посадочный модуль InSight НАСА чувствует свой первый тремор на Красной планете" .

[11] ttp://www.astro.uvic.ca/~venn/A201/maths.6.planetary_cooling.pdf