Стандартный балл

Сравнивает различные методы оценки в нормальном распределении. Включает: стандартные отклонения, совокупные проценты, эквиваленты процентилей, Z-баллы, T-баллы.

В статистике , то стандартный счет является число стандартных отклонений , по которому значение исходного балла (то есть, наблюдаемое значение или точка данных) выше или ниже среднего значения , что наблюдается или измерить. Исходные баллы выше среднего имеют положительные стандартные баллы, тогда как баллы ниже среднего имеют отрицательные стандартные баллы.

Он рассчитывается путем вычитания среднего значения по совокупности из индивидуальной исходной оценки и последующего деления разницы на стандартное отклонение по совокупности . Этот процесс преобразования исходной оценки в стандартную оценку называется стандартизацией или нормализацией (однако «нормализация» может относиться ко многим типам соотношений; подробнее см. Нормализация ).

Стандартные оценки чаще всего называются z- оценками ; эти два термина могут использоваться как взаимозаменяемые, как и в этой статье. Другие термины включают z-значения, нормальные оценки и стандартизованные переменные .

Для вычисления z-показателя необходимо знать среднее значение и стандартное отклонение для всей совокупности, к которой принадлежит точка данных; если есть только выборка наблюдений от совокупности, то аналогичное вычисление с выборочным средним и выборочным стандартным отклонением дает t- статистику .

Расчет [ править ]

Если известны среднее значение и стандартное отклонение для населения, исходный результат x преобразуется в стандартный балл ^[1]

{\ Displaystyle г = {х- \ му \ над \ сигма}}

где:

μ - среднее значение генеральной совокупности.

σ - стандартное отклонение генеральной совокупности.

Абсолютное значение z представляет собой расстояние между исходной оценкой x и средним значением генеральной совокупности в единицах стандартного отклонения. z отрицателен, когда исходная оценка ниже среднего, и положительна, когда выше.

Для вычисления z по этой формуле требуются среднее значение и стандартное отклонение генеральной совокупности, а не выборочное среднее или выборочное отклонение. Но знать истинное среднее значение и стандартное отклонение популяции часто нереально, за исключением таких случаев, как стандартизированное тестирование , когда измеряется вся совокупность.

Если среднее значение и стандартное отклонение для генеральной совокупности неизвестны, стандартный балл может быть рассчитан с использованием выборочного среднего и стандартного отклонения выборки в качестве оценок значений генеральной совокупности. ^[2]^[3]^[4]^[5]

В этих случаях z- оценка равна

{\ displaystyle z = {x - {\ bar {x}} \ over S}}

где:

{\ displaystyle {\ bar {x}}}

это средний образца.

S - стандартное отклонение выборки.

В любом случае, поскольку числитель и знаменатель уравнения должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения, и поскольку единицы компенсируются путем деления, z остается как безразмерная величина .

Приложения [ править ]

Z-тест [ править ]

Z-оценка часто используется в z-тесте в стандартизированном тестировании - аналоге t-критерия Стьюдента для совокупности, параметры которой известны, а не оцениваются. Поскольку знать всю совокупность очень необычно, гораздо более широко используется t-критерий.

Интервалы прогнозов [ править ]

Стандартная оценка может использоваться при вычислении интервалов прогнозирования . Интервал прогнозирования [ L , U ], состоящий из нижней конечной точки, обозначенной L, и верхней конечной точки, обозначенной U , представляет собой интервал, такой, что будущее наблюдение X будет лежать в интервале с высокой вероятностью , т. Е. ${\ displaystyle \ gamma}$

{\ Displaystyle P (L <X <U) = \ gamma,}

Для стандартной оценки Z из X это дает: ^[6]

{\ displaystyle P \ left ({\ frac {L- \ mu} {\ sigma}} <Z <{\ frac {U- \ mu} {\ sigma}} \ right) = \ gamma.}

Определив квантиль z такой, что

{\ Displaystyle P \ влево (-z <Z <Z \ right) = \ гамма}

следует:

{\ Displaystyle L = \ mu -z \ sigma, \ U = \ mu + z \ sigma}

Управление процессом [ править ]

В приложениях для управления технологическим процессом значение Z позволяет оценить, насколько нецелевой процесс работает.

Сравнение оценок по разным шкалам: ACT и SAT [ править ]

Значение z для Студента A было 1, что означает, что Студент A был на 1 стандартное отклонение выше среднего. Таким образом, студент А показал результат 84,13 процентиля по SAT.

Когда баллы измеряются по разным шкалам, они могут быть преобразованы в z-баллы для облегчения сравнения. Dietz et al. ^[7] приводят следующий пример, в котором сравниваются результаты учащихся по старшим школьным тестам SAT и ACT. В таблице показаны среднее значение и стандартное отклонение общего балла по SAT и ACT. Предположим, что студент A набрал 1800 баллов по тесту SAT, а студент B получил 24 балла по тесту ACT. Какой ученик показал лучшие результаты по сравнению с другими тестируемыми?

	СИДЕЛ	ДЕЙСТВОВАТЬ
Иметь в виду	1500	21 год
Стандартное отклонение	300	5

Показатель z для Студента B был 0,6, что означает, что Студент B был на 0,6 стандартного отклонения выше среднего. Таким образом, студент B показал результат 72,57 процентиля по SAT.

Z-балл для ученика A равен $z={x-\mu \over \sigma }={1800-1500 \over 300}=1$

Z-балл для ученика B равен $z={x-\mu \over \sigma }={24-21 \over 5}=0.6$

Поскольку студент A имеет более высокий z-балл, чем студент B, студент A показал лучшие результаты по сравнению с другими тестируемыми, чем студент B.

Процент наблюдений ниже z-значения [ править ]

Продолжая пример баллов ACT и SAT, если можно дополнительно предположить, что баллы ACT и SAT распределены нормально (что приблизительно верно), тогда z-баллы можно использовать для расчета процента испытуемых, получивших более низкие оценки. баллов, чем ученики A и B.

Кластерный анализ и многомерное масштабирование [ править ]

«Для некоторых многомерных методов, таких как многомерное масштабирование и кластерный анализ, концепция расстояния между единицами данных часто представляет значительный интерес и важность ... Когда переменные в многомерном наборе данных находятся в разных масштабах, имеет смысл рассчитывать расстояния после некоторой стандартизации ". ^[8]

Анализ основных компонентов [ править ]

В анализе основных компонентов «часто стандартизируются переменные, измеряемые в разных шкалах или в общей шкале с сильно различающимися диапазонами». ^[9]

Относительная важность переменных в множественной регрессии: стандартизованные коэффициенты регрессии [ править ]

Стандартизация переменных перед множественным регрессионным анализом иногда используется в качестве помощи при интерпретации. ^[10] (стр. 95) утверждают следующее.

«Наклон стандартизированной регрессии - это наклон уравнения регрессии, если X и Y стандартизированы… Стандартизация X и Y выполняется путем вычитания соответствующих средних значений из каждого набора наблюдений и деления на соответствующие стандартные отклонения… В множественной регрессии, где несколько Используются переменные X, стандартизованные коэффициенты регрессии определяют относительный вклад каждой переменной X ».

Однако Kutner et al. ^[11] (стр. 278) дают следующее предостережение: «… следует проявлять осторожность при интерпретации любых коэффициентов регрессии, независимо от того, стандартизованы они или нет. Причина в том, что, когда переменные-предикторы коррелированы между собой,… на коэффициенты регрессии влияет фактор другие переменные-предикторы в модели ... На величину стандартизованных коэффициентов регрессии влияет не только наличие корреляций между переменными-предикторами, но и интервалы между наблюдениями по каждой из этих переменных. Иногда эти интервалы могут быть совершенно произвольными. Следовательно, , обычно неразумно интерпретировать величины стандартизованных коэффициентов регрессии как отражающие сравнительную важность переменных-предикторов ».

Стандартизация математической статистики [ править ]

В математической статистики , А случайная величина Х является стандартизированы путем вычитания его ожидаемого значения и деления разности на его стандартное отклонение $\operatorname {E} [X]$ $\sigma (X)={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}:$

Z={X-\operatorname {E} [X] \over \sigma (X)}

Если случайная величина рассматриваемый является выборочным средним случайной выборки из X : $\ X_{1},\dots ,X_{n}$

{\bar {X}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}

тогда стандартизированная версия

Z={\frac {{\bar {X}}-\operatorname {E} [{\bar {X}}]}{\sigma (X)/{\sqrt {n}}}}.

Т-счет [ править ]

В образовательной оценке T-балл - это стандартный балл Z, сдвинутый и масштабированный так, чтобы получить среднее значение 50 и стандартное отклонение 10. ^[12]^[13]^[14]

При измерении плотности костной ткани T-балл является стандартным баллом измерения по сравнению с популяцией здоровых 30-летних взрослых. ^[15]

См. Также [ править ]

Нормализация (статистика)
Соотношение Омега
Стандартное нормальное отклонение

Ссылки [ править ]

^ E. Kreyszig (1979). Высшая инженерная математика (четвертое изд.). Вайли. п. 880, ур. 5. ISBN 0-471-02140-7.
^ Spiegel, Murray R .; Стивенс, Ларри Дж. (2008), Статистика контуров Шаума (четвертое издание), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-148584-5
^ Менденхолл, Уильям; Синчич, Терри (2007), Статистика инженерии и науки (пятое изд.), Пирсон / Прентис Холл, ISBN 978-0131877061
^ Гланц, Стэнтон А .; Слинкер, Брайан К .; Нейландс, Торстен Б. (2016), Учебник по прикладной регрессии и дисперсионному анализу (третье издание), McGraw Hill, ISBN 978-0071824118
^ Ахо, Кен А. (2014), Основы и прикладная статистика для биологов (первое издание), Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 978-1439873380
^ E. Kreyszig (1979). Высшая инженерная математика (четвертое изд.). Вайли. п. 880, ур. 6. ISBN 0-471-02140-7.
^ Diez, Дэвид; Барр, Кристофер; Четинкая-Рундел, Майн (2012), Статистика OpenIntro (второе изд.), Openintro.org
^ Эверит, Брайан; Hothorn, Torsten J (2011), Введение в прикладной многомерный анализ с помощью R , Springer, ISBN 978-1441996497
^ Джонсон, Ричард; Уичерн, Уичерн (2007), Прикладной многомерный статистический анализ , Pearson / Prentice Hall
^ Афифи, Абдельмонем; Мэй, Susanne K .; Кларк, Вирджиния А. (2012), Практический многомерный анализ (пятое изд.), Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1439816806
^ Катнер, Майкл; Нахтсхайм, Кристофер; Нетер, Джон (204), Прикладные модели линейной регрессии (четвертое издание), McGraw Hill, ISBN 978-0073014661
^ Джон Сальвия; Джеймс Иселдайк; Сара Уитмер (29 января 2009 г.). Оценка: в специальном и инклюзивном образовании . Cengage Learning. С. 43–. ISBN 0-547-13437-1.
^ Эдвард С. Нойкруг; Р. Чарльз Фосетт (1 января 2014 г.). Основы тестирования и оценки: Практическое руководство для консультантов, социальных работников и психологов . Cengage Learning. С. 133–. ISBN 978-1-305-16183-2.
↑ Рэнди В. Кампхаус (16 августа 2005 г.). Клиническая оценка интеллекта детей и подростков . Springer. стр. 123–. ISBN 978-0-387-26299-4.
^ «Измерение костной массы: что означают числа» . Национальный ресурсный центр по остеопорозу и родственным заболеваниям костей NIH . Национальный институт здоровья . Дата обращения 5 августа 2017 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Кэрролл, Сьюзан Ровецци; Кэрролл, Дэвид Дж. (2002). Статистика упрощена для руководителей школ (иллюстрированный ред.). Роуман и Литтлфилд. ISBN 978-0-8108-4322-6. Проверено 7 июня 2009 года .
Ларсен, Ричард Дж .; Маркс, Моррис Л. (2000). Введение в математическую статистику и ее приложения (Третье изд.). п. 282. ISBN. 0-13-922303-7.

Внешние ссылки [ править ]

Интерактивная вспышка по z-значениям и вероятностям нормальной кривой Джима Рида

[1] E. Kreyszig (1979). Высшая инженерная математика (четвертое изд.). Вайли. п. 880, ур. 5. ISBN 0-471-02140-7.

[SpiegelStephens2008-2] Spiegel, Murray R .; Стивенс, Ларри Дж. (2008), Статистика контуров Шаума (четвертое издание), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-148584-5

[Mendenhall2007-3] Менденхолл, Уильям; Синчич, Терри (2007), Статистика инженерии и науки (пятое изд.), Пирсон / Прентис Холл, ISBN 978-0131877061

[GlantzSlinker2016-4] Гланц, Стэнтон А .; Слинкер, Брайан К .; Нейландс, Торстен Б. (2016), Учебник по прикладной регрессии и дисперсионному анализу (третье издание), McGraw Hill, ISBN 978-0071824118

[Aho2014-5] Ахо, Кен А. (2014), Основы и прикладная статистика для биологов (первое издание), Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 978-1439873380

[6] E. Kreyszig (1979). Высшая инженерная математика (четвертое изд.). Вайли. п. 880, ур. 6. ISBN 0-471-02140-7.

[Diez2012-7] Diez, Дэвид; Барр, Кристофер; Четинкая-Рундел, Майн (2012), Статистика OpenIntro (второе изд.), Openintro.org

[EverittHothorn2011-8] Эверит, Брайан; Hothorn, Torsten J (2011), Введение в прикладной многомерный анализ с помощью R , Springer, ISBN 978-1441996497

[JohnsonWichern2007-9] Джонсон, Ричард; Уичерн, Уичерн (2007), Прикладной многомерный статистический анализ , Pearson / Prentice Hall

[AfifiMayClark2012-10] Афифи, Абдельмонем; Мэй, Susanne K .; Кларк, Вирджиния А. (2012), Практический многомерный анализ (пятое изд.), Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1439816806

[KutnerNachtsheim2004-11] Катнер, Майкл; Нахтсхайм, Кристофер; Нетер, Джон (204), Прикладные модели линейной регрессии (четвертое издание), McGraw Hill, ISBN 978-0073014661

[12] Джон Сальвия; Джеймс Иселдайк; Сара Уитмер (29 января 2009 г.). Оценка: в специальном и инклюзивном образовании . Cengage Learning. С. 43–. ISBN 0-547-13437-1.

[13] Эдвард С. Нойкруг; Р. Чарльз Фосетт (1 января 2014 г.). Основы тестирования и оценки: Практическое руководство для консультантов, социальных работников и психологов . Cengage Learning. С. 133–. ISBN 978-1-305-16183-2.

[14] Рэнди В. Кампхаус (16 августа 2005 г.). Клиническая оценка интеллекта детей и подростков . Springer. стр. 123–. ISBN 978-0-387-26299-4.

[15] «Измерение костной массы: что означают числа» . Национальный ресурсный центр по остеопорозу и родственным заболеваниям костей NIH . Национальный институт здоровья . Дата обращения 5 августа 2017 .

[1]