При исследовании динамических систем теорема вложения с запаздыванием дает условия, при которых хаотическая динамическая система может быть восстановлена из последовательности наблюдений за состоянием динамической системы. Реконструкция сохраняет свойства динамической системы, которые не изменяются при плавных изменениях координат (т.е. диффеоморфизмы ), но не сохраняет геометрическую форму структур в фазовом пространстве.
Теорема Такенса - это теорема Флориса Такенса 1981 года о вложении с задержкой . Он обеспечивает условия, при которых гладкий аттрактор может быть восстановлен из наблюдений, сделанных с помощью функции общего вида. Более поздние результаты заменили гладкий аттрактор набором произвольной подсчитывающей размерности ящика, а класс общих функций - другими классами функций.
Теоремы вложения с задержкой проще сформулировать для динамических систем с дискретным временем . Пространство состояний динамической системы - это-мерное многообразие . Динамика задается гладкой картой
Предположим, что динамика имеет странный аттрактор с размером ящика подсчета . Используя идеи теоремы вложения Уитни , может быть встроен в -мерное евклидово пространство с
То есть существует диффеоморфизм что отображает в так что производная отимеет полное звание .
Теорема вложения с задержкой использует функцию наблюдения для построения функции вложения. Функция наблюдения должен быть дважды дифференцируемым и связывать действительное число с любой точкой аттрактора . Он также должен быть типичным , чтобы его производная имела полный ранг и не имела особых симметрий в своих компонентах. Теорема вложения с задержкой утверждает, что функция
является вложением странного аттрактора .
Упрощенная, немного неточная версия
Предположим, что -мерный вектор состояния развивается в соответствии с неизвестной, но непрерывной и (что особенно важно) детерминированной динамикой. Предположим также, что одномерная наблюдаемая является гладкой функцией , и «связан» со всеми компонентами . Теперь в любой момент мы можем посмотреть не только на настоящий замер., но также и по наблюдениям, которые иногда удаляются от нас на несколько кратных задержек. и т. д. Если мы используем лаги, у нас есть -мерный вектор. Можно было ожидать, что по мере увеличения количества задержек движение в отставленном пространстве будет становиться все более и более предсказуемым и, возможно, в пределе.станет детерминированным. Фактически, динамика запаздывающих векторов становится детерминированной в конечном измерении; не только это, но и детерминированная динамика полностью эквивалентна динамике исходного пространства состояний (точнее, они связаны плавной, обратимой заменой координат или диффеоморфизмом.) Магическое измерение вложения самое большее , а часто и реже. [1]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Шализи, Cosma R. (2006). «Методы и методы изучения сложных систем: обзор». В Deisboeck, ThomasS; Креш, Яша Яша (ред.). Комплексная системная наука в биомедицине . Темы международной серии книг по биомедицинской инженерии. Springer США. стр. 33 -114. DOI : 10.1007 / 978-0-387-33532-2_2 . ISBN 978-0-387-30241-6.
дальнейшее чтение
- Н. Паккард , Дж. Кратчфилд , Д. Фармер и Р. Шоу (1980). «Геометрия из временного ряда». Письма с физическим обзором . 45 (9): 712–716. Bibcode : 1980PhRvL..45..712P . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.45.712 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- Ф. Такенс (1981). «Обнаружение странных аттракторов в турбулентности». В DA Rand и L.-S. Янг (ред.). Динамические системы и турбулентность, Конспект лекций по математике, т. 898 . Springer-Verlag. С. 366–381.
- Р. Манье (1981). «О размерности компактных инвариантных множеств некоторых нелинейных отображений». В DA Rand и L.-S. Янг (ред.). Динамические системы и турбулентность, Конспект лекций по математике, т. 898 . Springer-Verlag. С. 230–242.
- Г. Сугихара и Р. М. Мэй (1990). «Нелинейное прогнозирование как способ отличить хаос от ошибки измерения во временных рядах». Природа . 344 (6268): 734–741. Bibcode : 1990Natur.344..734S . DOI : 10.1038 / 344734a0 . PMID 2330029 .
- Тим Зауэр , Джеймс А. Йорк и Мартин Касдагли (1991). «Эмбедология». Журнал статистической физики . 65 (3–4): 579–616. Bibcode : 1991JSP .... 65..579S . DOI : 10.1007 / BF01053745 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- Г. Сугихара (1994). «Нелинейное прогнозирование для классификации естественных временных рядов». Фил. Пер. R. Soc. Лондон. . 348 (1688): 477–495. Bibcode : 1994RSPTA.348..477S . DOI : 10,1098 / rsta.1994.0106 .
- П.А. Диксон , М.Дж. Миличич и Г. Сугихара (1999). «Эпизодические колебания количества личинок». Наука . 283 (5407): 1528–1530. Bibcode : 1999Sci ... 283.1528D . DOI : 10.1126 / science.283.5407.1528 . PMID 10066174 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- Г. Сугихара , М. Касдагли , Э. Хабджан , Д. Хесс , П. Диксон и Г. Холланд (1999). «Карты остаточной задержки раскрывают глобальные закономерности атмосферной нелинейности и дают улучшенные местные прогнозы» . PNAS . 96 (25): 210–215. Bibcode : 1999PNAS ... 9614210S . DOI : 10.1073 / pnas.96.25.14210 . PMC 24416 . PMID 10588685 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- C. Hsieh ; Глейзер, С.М. Лукас, AJ; Сугихара, Г. (2005). «Отличие случайных колебаний окружающей среды от экологических катастроф для северной части Тихого океана». Природа . 435 (7040): 336–340. Bibcode : 2005Natur.435..336H . DOI : 10,1038 / природа03553 . PMID 15902256 .
- Р.А. Риос , Л. Паррот , Х. Ланге и Р.Ф. де Мелло (2015). «Оценка показателей детерминизма для обнаружения закономерностей в наборах геопространственных данных». Дистанционное зондирование окружающей среды . 156 : 11–20. Bibcode : 2015RSEnv.156 ... 11R . DOI : 10.1016 / j.rse.2014.09.019 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Внешние ссылки
- Реконструкция аттрактора (научная литература)
- [1] Продукт Scientio ChaosKit использует встраивание для создания анализов и прогнозов. Доступ предоставляется в режиме онлайн через веб-службу и графический интерфейс.