В математике , А клубок , как правило , один из двух смежных понятий:
- Согласно определению Джона Конвея , n -спутник - это правильное вложение непересекающегося объединения n дуг в 3-шар ; вложение должно направить концы дуг в 2 n отмеченных точек на границе шара.
- В теории зацеплений клубок - это вложение n дуг и m окружностей в - отличие от предыдущего определения состоит в том, что оно включает в себя не только дуги, но и окружности, и разделяет границу на две (изоморфные) части, что более удобно с алгебраической точки зрения - оно позволяет, например, добавлять клубки, складывая их в стопку.
(Совершенно иное использование «путаницы» появляется в Graph minors X. Препятствия к древовидной декомпозиции Н. Робертсон и П. Д. Сеймур, Journal of Combinatorial Theory B 59 (1991) 153–190, которые использовали его для описания разделения в графах. Это использование было распространено на матроиды .)
Баланс этой статьи обсуждает чувство запутанности Конвея; для понимания теории ссылок см. эту статью.
Два n -угольника считаются эквивалентными, если существует окружающая изотопия одного клубка другому, сохраняя границу 3-шара фиксированной. Теорию клубков можно рассматривать как аналог теории узлов, за исключением того, что вместо замкнутых петель мы используем струны, концы которых прибиты гвоздями. См. Также теорию кос .
Диаграммы клубков
Не умаляя общности, считаем, что отмеченные точки на границе 3-х шаров лежат на большом круге. Клубок может быть расположен в общем положении по отношению к проекции на плоский диск, ограниченный большим кругом. Затем проекция дает нам диаграмму клубков , где мы отмечаем пересечение и пересечение, как в диаграммах узлов .
Клубки часто появляются в виде диаграмм клубков на диаграммах узлов или ссылок и могут использоваться в качестве строительных блоков для диаграмм ссылок , например, звеньев кренделя .
Рациональные и алгебраические связки
Рациональна клубок представляет собой 2-клубок , что гомеоморфно тривиальному 2-клубок отображения пара , состоящий из 3-шара и двух дуг. Четыре конечные точки дуг на граничной окружности диаграммы клубков обычно обозначаются как NE, NW, SW, SE, с символами, относящимися к направлениям компаса.
Произвольная диаграмма клубка рационального клубка может выглядеть очень сложной, но всегда есть диаграмма определенной простой формы: начните с диаграммы клубка, состоящей из двух горизонтальных (вертикальных) дуг; добавить "поворот", то есть одиночный переход путем переключения конечных точек NE и SE (конечных точек SW и SE); продолжайте, добавляя дополнительные повороты, используя либо конечные точки NE и SE, либо конечные точки SW и SE. Можно предположить, что каждое закручивание не меняет диаграмму внутри диска, содержащего ранее созданные пересечения.
Мы можем описать такую диаграмму, рассматривая числа, полученные последовательными поворотами вокруг одного и того же набора конечных точек, например (2, 1, -3) означает начало с двух горизонтальных дуг, затем 2 поворота с использованием конечных точек NE / SE, затем 1 поворот с использованием Конечные точки SW / SE, а затем 3 скручивания с использованием конечных точек NE / SE, но скручивание в направлении, противоположном предыдущему. Список начинается с 0, если вы начинаете с двух вертикальных дуг. Диаграмма с двумя горизонтальными дугами тогда будет (0), но мы присваиваем (0, 0) диаграмме с вертикальными дугами. Условие необходимо для описания «положительного» или «отрицательного» поворота. Часто «рациональный клубок» относится к списку чисел, представляющему простую диаграмму, как описано.
Доля рационального клубка тогда определяется как число, заданное непрерывной дробью . Дробь (0,0) определяется как. Конвей доказал, что дробь определена корректно и полностью определяет рациональный клубок с точностью до эквивалентности клубка. [1] Доступное доказательство этого факта приведено в :. [2] Конвей также определил долю произвольного клубка, используя многочлен Александера .
Операции над путаницами
Существует «арифметика» путаницы со сложением, умножением и обратными операциями. Алгебраический клубок получается из сложения и умножения рациональных клубков.
Замыкание числителя рационального клубка определяются как связь , полученной путем присоединения «Север» оконечного вместе и «Юг» конечные точки также вместе. Закрытия знаменателя определяются аналогично с помощью группировки «Восток» и «Запад» конечных точек. Рациональные связи определяются как замыкания рациональных связок.
Обозначение Конвея
Одной из причин, побудивших Конвея изучить путаницу, было обеспечение более систематической записи узлов, чем традиционное перечисление в таблицах.
Приложения
Было показано, что клубки полезны при изучении топологии ДНК . Действие данного фермента можно проанализировать с помощью теории клубочков. [3]
Смотрите также
Рекомендации
- Перейти ↑ Conway, JH (1970). «Перечень узлов и звеньев и некоторые их алгебраические свойства» (PDF) . В Пиявке, Дж. (Ред.). Вычислительные задачи абстрактной алгебры . Оксфорд, Англия: Pergamon Press. С. 329–358.
- ^ Кауфман, Луи Х .; Ламбропулу, София (12 января 2004 г.). «О классификации рациональных клубков» . Успехи в прикладной математике . 33 (2): 199–237. arXiv : математика / 0311499 . Bibcode : 2003math ..... 11499K .
- ^ Эрнст, С .; Самнерс, DW (ноябрь 1990 г.). «Расчет рациональных путаниц: приложения к рекомбинации ДНК». Математические труды Кембриджского философского общества . 108 (3): 489–515. Bibcode : 1990MPCPS.108..489E . DOI : 10.1017 / s0305004100069383 . ISSN 0305-0041 .
дальнейшее чтение
- Адамс, CC (2004). Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. xiv + 307. ISBN 0-8218-3678-1.
Внешние ссылки
- Маккей, Дэвид . «Код метапоста для рисования колтунов и других картинок» . Группа вывода . Проверено 13 апреля 2018 .
- Goldman, Jay R .; Кауфман, Луи Х. (1997). «Рациональные путаницы» (PDF) . Успехи в прикладной математике . 18 (3): 300–332. DOI : 10.1006 / aama.1996.0511 .