Задача Тарского о квадрате круга
Задача Тарского о возведении в квадрат круга — это задача, поставленная Альфредом Тарским в 1925 году: взять диск на плоскости, разрезать его на конечное число частей и снова собрать части так, чтобы получился квадрат равной площади . Это было доказано Миклошем Лачковичем в 1990 году; разложение сильно использует аксиому выбора и поэтому неконструктивно . Лачкович оценил количество частей в своем разложении примерно в 10 50 . Совсем недавно Эндрю Маркс и Спенсер Унгер ( 2017 ) дали вполне конструктивное решение с использованием примерно борелевских кусочков . [1]
В частности, невозможно разрезать круг и сделать квадрат из частей, которые можно разрезать идеализированными ножницами (то есть с границей кривой Жордана ). Части, используемые в доказательстве Лачковича, являются неизмеримыми подмножествами .
Лачкович фактически доказал, что повторная сборка может быть выполнена только с использованием переводов ; обороты не требуются. Попутно он также доказал, что любой простой многоугольник на плоскости можно разложить на конечное число частей и собрать заново, используя переносы, чтобы сформировать квадрат равной площади. Теорема Бойяи-Гервина является родственным, но гораздо более простым результатом: она утверждает, что можно выполнить такое разложение простого многоугольника с конечным числом многоугольных частей , если для повторной сборки разрешены как переносы, так и повороты.
Из результата Уилсона (2005) следует, что можно выбрать фигуры таким образом, чтобы их можно было перемещать непрерывно, оставаясь при этом непересекающимися, чтобы получить квадрат. Более того, можно доказать, что и это более сильное утверждение выполняется только посредством переносов.
Эти результаты следует сравнить с гораздо более парадоксальными разложениями в трех измерениях, обеспечиваемыми парадоксом Банаха-Тарского ; эти разложения могут даже изменить объем набора. Однако на плоскости разложение на конечное число частей должно сохранять сумму банаховых мер частей и, следовательно, не может изменить общую площадь множества ( Wagon 1993 ).