Задача Тарского по алгебре в старшей школе

В математической логике проблема Тарского по алгебре в средней школе была задана Альфредом Тарским . Он спрашивает, существуют ли тождества , включающие сложение , умножение и возведение в степень над положительными целыми числами , которые нельзя доказать с помощью одиннадцати аксиом об этих операциях, которые преподаются в математике на уровне средней школы . Вопрос был решен в 1980 году Алексом Уилки , который показал, что такие недоказуемые тождества действительно существуют.

Тарски считал следующие одиннадцать аксиом о сложении ('+'), умножении ('·') и возведении в степень стандартными аксиомами, преподаваемыми в средней школе:

Эти одиннадцать аксиом, иногда называемые тождествами средней школы [ 1] , связаны с аксиомами бидекартовой замкнутой категории или экспоненциального кольца . [2] Проблема Тарского становится следующей: существуют ли тождества, включающие только сложение, умножение и возведение в степень, которые верны для всех натуральных чисел, но которые нельзя доказать , используя только аксиомы 1–11?

Поскольку аксиомы, кажется, перечисляют все основные факты о рассматриваемых операциях, не сразу очевидно, что должно быть что-то доказуемо истинное, что можно утверждать, используя только три операции, но нельзя доказать с помощью аксиом. Однако доказательство, казалось бы, безобидных утверждений может потребовать длинных доказательств с использованием только приведенных выше одиннадцати аксиом. Рассмотрим следующее доказательство того, что ( x  + 1) 2  =  x 2  + 2 ·  x  + 1:

Строго мы не должны писать суммы более чем двух слагаемых без скобок, и поэтому вполне формальное доказательство доказало бы тождество ( x  + 1) 2  = ( x 2  + 2 ·  x ) + 1 (или ( x  + 1) 2  =  x 2  + (2 ·  x  + 1)) и будет иметь дополнительный набор скобок в каждой строке .

Длина доказательств не имеет значения; доказательства тождества, аналогичного приведенному выше, для таких вещей, как ( x  +  y ) 100 , заняли бы много строк, но на самом деле потребовали бы немногим большего, чем приведенное выше доказательство.