В механике жидкости , то теорема Тейлор-Праудмен (после того, как Джеффри Ingram Тейлора и Джозеф Праудмен ) утверждает , что , когда твердое тело [ необходимы разъяснения ] перемещается медленно , в течение жидкости , которая постоянно вращается с высокой угловой скоростью , скорость жидкости будет равномерной вдоль любой линии, параллельной оси вращения.должен быть большим по сравнению с движением твердого тела, чтобы сила Кориолиса была большой по сравнению с условиями ускорения.
Вывод
Уравнения Навье – Стокса для установившегося потока с нулевой вязкостью и объемной силой, соответствующей силе Кориолиса, имеют вид
где - скорость жидкости, - плотность жидкости, а давление. Если предположить, чтоявляется скалярным потенциалом, и адвективным членом слева можно пренебречь (разумно, если число Россби намного меньше единицы) и что поток несжимаемый (плотность постоянна), уравнения принимают следующий вид:
где - вектор угловой скорости . Если взять ротор этого уравнения, результатом будет теорема Тейлора – Праудмана:
Чтобы вывести это, нужны векторные тождества
а также
а также
(потому что завихрение градиента всегда равно нулю). Обратите внимание, что также необходимо (угловая скорость без расходимости).
Векторная форма теоремы Тейлора – Праудмена, возможно, лучше понять, расширив скалярное произведение:
В координатах, для которых , уравнения сводятся к
если . Таким образом, все три компонента вектора скорости однородны вдоль любой линии, параллельной оси z.
Колонка Тейлора
Колонка Тейлора представляет собой воображаемый цилиндр выше и ниже реальный цилиндр , который был размещен параллельно оси вращения ( в любом месте в потоке, не обязательно в центре). Поток будет изгибаться вокруг воображаемых цилиндров точно так же, как и реальный из-за теоремы Тейлора – Праудмана, которая гласит, что поток во вращающейся, однородной, невязкой жидкости является двумерным в плоскости, ортогональной оси вращения, и поэтому нет изменение потока по ось, часто принимаемая за ось.
Колонка Тейлора - это упрощенный экспериментально наблюдаемый эффект того, что происходит в атмосфере и океанах Земли.
История
Результат, известный как теорема Тейлора-Праудмена, был впервые получен Сиднеем Сэмюэлем Хоу (1870-1923), математиком из Кембриджского университета, в 1897 году. [1] : 506 [2] Праудман опубликовал другой вывод в 1916 году, а Тейлор в 1917 году затем этот эффект был экспериментально продемонстрирован Тейлором в 1923 году. [3] : 648 [4] : 245 [5] [6]
Рекомендации
- ^ Гилл, Адриан Э. (2016). Атмосфера - динамика океана . Эльзевир. ISBN 9781483281582.
- ^ Хаф, СС (1 января 1897 г.). «О применении гармонического анализа к динамической теории приливов. Часть I. О« колебаниях первого вида »Лапласа и о динамике океанских течений» . Фил. Пер. R. Soc. Лондон. . 189 : 201–257. Bibcode : 1897RSPTA.189..201H . DOI : 10,1098 / rsta.1897.0009 .
- ^ Wu, J.-Z .; Ma, H.-Y .; Чжоу, М.-Д. (2006). Завихренность и вихревая динамика . Берлин: Springer. ISBN 9783540290285.
- ^ Лонгэр, Малкольм (2016). Устойчивое наследие Максвелла: научная история лаборатории Кавендиша . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781316033418.
- ^ Праудмен, Дж. (1 июля 1916 г.). «О движении твердых тел в жидкости, обладающей завихренностью» . Proc. R. Soc. Лондон. . 92 : 408–424. Bibcode : 1916RSPSA..92..408P . DOI : 10,1098 / rspa.1916.0026 .
- ^ Тейлор, Г.И. (1 марта 1917 г.). «Движение твердых тел в жидкостях, когда течение не является безвихревым» . Proc. R. Soc. Лондон. . 93 : 92–113. Bibcode : 1917RSPSA..93 ... 99T . DOI : 10,1098 / rspa.1917.0007 .