Временная дискретизация - это математический метод, применяемый к нестационарным задачам, возникающим в областях прикладной физики и техники.
Переходные проблемы часто решаются путем моделирования с использованием пакетов автоматизированного проектирования (CAE), которые требуют дискретизации определяющих уравнений как в пространстве, так и во времени. Такие проблемы нестабильны (например, проблемы с потоком ), и поэтому требуют решений, положение которых изменяется в зависимости от времени. Временная дискретизация включает в себя интегрирование каждого члена в различных уравнениях на временном шаге (Δ t ).
Пространственная область может быть дискретизирована для получения полудискретной формы: [1]
Если дискретизация выполняется с использованием обратных разностей , временная дискретизация первого порядка задается как: [2]
А дискретизация второго порядка задается как:
где
- φ = скалярная величина.
- n + 1 = значение на следующем временном уровне, t + Δ t .
- n = значение на текущем временном уровне, t .
- n - 1 = значение на предыдущем временном уровне, t - Δ t .
Функция F () оценивается с использованием неявного и явного интегрирования по времени. [3]
Описание
Временная дискретизация выполняется посредством интегрирования по времени общего дискретизированного уравнения. Сначала принимаются значения для заданного контрольного объема P в интервале времени t , а затем находится значение в интервале времени t + Δt. Этот метод утверждает, что интеграл по времени заданной переменной равен средневзвешенному между текущими и будущими значениями. Интегральная форма уравнения можно записать в виде:
где ƒ - вес от 0 до 1.
- ƒ = 0.0 приводит к полностью явной схеме .
- ƒ = 1.0 приводит к полностью неявной схеме .
- ƒ = 0,5 приводит к схеме кривошипно-Николсона .
Для любого контрольного объема это интегрирование справедливо для любой дискретизированной переменной. Следующее уравнение получается при применении к основному уравнению, включающему полностью дискретизированную диффузию , конвекцию и источники . [4]
Методы оценки функции F ()
После дискретизации производной по времени функция F () еще предстоит оценить. Функция теперь оценивается с использованием неявной и явной интеграции по времени. [5]
Неявная интеграция во времени
Этот метод оценивает функцию F () в будущем.
Формулировка
Оценка с использованием неявного интегрирования по времени дается как:
Это называется неявной интеграцией, поскольку в данной ячейке связано с в соседних камерах через :
В случае неявного метода установка безусловно устойчива и может обрабатывать большой временной шаг (Δ t ). Но стабильность не означает точность. Следовательно, большое Δ t влияет на точность и определяет временное разрешение. Но поведение может включать физические временные рамки, которые необходимо решить.
Явная интеграция по времени
Этот метод оценивает функцию F () в текущее время.
Формулировка
Оценка с использованием интеграции с явным временем дается как:
И называется явной интеграцией, поскольку можно явно выразить в существующих значениях решения, :
Здесь временной шаг (Δ t ) ограничен пределом устойчивости решателя (т. Е. Временной шаг ограничен условием Куранта – Фридрихса – Леви . Чтобы быть точным по времени, один и тот же временной шаг должен использоваться во всей области и Чтобы быть стабильным, временной шаг должен быть минимальным из всех локальных временных шагов в домене.Этот метод также называется «глобальным временным шагом».
Примеры
Во многих схемах используется интеграция с явным временем. Вот некоторые из них: