Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
В этом китайском названии , то фамилия является Тянь .
Тиан Ганг
Gang Tian.jpeg
Тиан в Обервольфахе в 2005 году
Родившийся( 1958-11-24 )24 ноября 1958 г. (62 года)
Нанкин , Цзянсу , Китай
НациональностьКитай
Альма-матерГарвардский университет
Пекинский университет
Нанкинский университет
ИзвестенГипотеза Яу-Тиан-Дональдсона
K-устойчивость
НаградыПремия Веблена (1996)
Премия Алана Т. Уотермана (1994)
Научная карьера
ПоляМатематика
УчрежденияПринстонский университет
Пекинский университет
ДокторантШинг-Тунг Яу
ДокторантыНаташа Шешум
китайское имя
Традиционный китайский田 剛
Упрощенный китайский田 刚
Транскрипции
Стандартный мандарин
Ханю ПиньиньТиан Ганг

Тиан Ган ( кит .刚; родился 24 ноября 1958 г.) [1] - китайский математик . Он является профессором математики Пекинского университета и почетным профессором Хиггинса в Принстонском университете . Он известен вкладом в математические области кэлеровской геометрии , теории Громова-Виттена и геометрического анализа .

С 2020 года он является заместителем председателя Китайской демократической лиги и президентом Китайского математического общества . С 2017 по 2019 год занимал должность вице-президента Пекинского университета .

Биография [ править ]

Тиан родился в Нанкине , Цзянсу , Китай. Он получил квалификацию на втором вступительном экзамене в колледж после культурной революции в 1978 году. Он окончил Нанкинский университет в 1982 году и получил степень магистра в Пекинском университете в 1984 году. В 1988 году он получил докторскую степень. в области математики из Гарвардского университета , под руководством Яу Шинтуна .

В 1998 году он был назначен профессором стипендии Cheung Kong в Пекинском университете. Позже его назначение было изменено на профессуру кафедры стипендии Cheung Kong Scholar. С 1995 по 2006 год он был профессором математики Массачусетского технологического института (с 1996 года занимал должность профессора математики Саймонса). Его работа в Принстоне началась с 2003 года, а позже он был назначен профессором математики Хиггинса. С 2005 г. он был директором Пекинского международного центра математических исследований (BICMR); [2] с 2013 по 2017 год он был деканом факультета математических наук Пекинского университета. [3] Он и Джон Милнор - старшие ученыеИнститут математики Клэя (CMI). В 2011 году Тиан стал директором китайско-французской исследовательской программы по математике в Национальном центре научных исследований (CNRS) в Париже . В 2010 году он стал научным консультантом Международного центра теоретической физики в Триесте , Италия. [4]

Тиан работал во многих комитетах, в том числе присуждал Премию Абеля и Премию Лероя П. Стила . [5] Он является членом редакционных коллегий многих журналов, включая «Успехи в математике» и «Журнал геометрического анализа». В прошлом он был членом редколлегии Annals of Mathematics и Journal of the American Mathematical Society.

Среди его наград и наград:

  • Исследовательская стипендия Слоуна (1991–1993 годы)
  • Премия Алана Т. Уотермана (1994)
  • Премия Освальда Веблена по геометрии (1996)
  • Избран в Китайскую академию наук (2001)
  • Избран в Американскую академию искусств и наук (2004 г.)

По крайней мере с 2013 года он активно участвует в китайской политике, работая заместителем председателя Китайской демократической лиги , второй по численности политической партии в Китае .

Математические материалы [ править ]

Проблема Келера-Эйнштейна [ править ]

Тиан хорошо известен своим вкладом в кэлерову геометрию и, в частности, в изучение метрик Кэлера-Эйнштейна . Шинг-Тунг Яу в своей знаменитой резолюции гипотезы Калаби рассмотрел случай замкнутых кэлеровых многообразий с неположительным первым классом Черна. Его работа по применению метода непрерывности показала, что C 0 -управления кэлеровыми потенциалами достаточно для доказательства существования метрик Кэлера-Эйнштейна на замкнутых кэлеровых многообразиях с положительным первым классом Черна, также известных как «многообразия Фано».

Тиан в 1987 г. ввел « α -инвариант», который, по сути, является оптимальной константой в неравенстве Мозера-Трудингера в применении к кэлеровым потенциалам с супремальным значением 0. Он показал, что если α- инвариант достаточно велик (т. Е. если выполняется достаточно сильное неравенство Мозера-Трудингера), то может быть достигнуто управление C 0 в методе непрерывности Яу. Это было применено для демонстрации новых примеров поверхностей Кэлера-Эйнштейна.

Случай кэлеровых поверхностей был повторно рассмотрен Тианом в 1990 году, дав полное решение проблемы Кэлера-Эйнштейна в этом контексте. Основная техника заключалась в изучении возможных геометрических вырождений последовательности метрик Кэлера-Эйнштейна, обнаруживаемых с помощью сходимости Громова-Хаусдорфа . Тиан адаптировал многие технические новшества Карен Уленбек , разработанные для связей Янга-Миллса, к параметрам Кэлера. Некоторые похожие и влиятельные работы в римановой среде были выполнены в 1989 и 1990 годах Майклом Андерсоном , Сигетоши Бандо, Ацуши Касуэ и Хираку Накадзима . [6] [7] [8]

Самый известный вклад Тиана в проблему Кэлера-Эйнштейна был сделан в 1997 году. В 1980-х годах Яу предположил, частично по аналогии с теоремой Дональдсона-Уленбека-Яу , что существование метрики Келлера-Эйнштейна должно соответствовать стабильности лежащей в основе кэлеровской метрики. многообразие в определенном смысле геометрической теории инвариантов . Это было общепринятым, особенно после работы Акито Футаки, [9]что существование голоморфных векторных полей должно действовать как препятствие для существования метрик Кэлера-Эйнштейна. Тиан в своей статье 1997 года привел конкретные примеры кэлеровых многообразий, у которых не было голоморфных векторных полей, а также метрик Кэлера-Эйнштейна, показывая, что критерий идеальности лежит глубже. Яу предположил, что вместо голоморфных векторных полей на самом многообразии уместно изучать деформации проективных вложений кэлеровых многообразий при голоморфных векторных полях на проективном пространстве. Эта идея была модифицирована Тианом, введя понятие K-устойчивости и показав, что любое многообразие Кэлера-Эйнштейна должно быть K-стабильным.

Саймон Дональдсон в 2002 году модифицировал и расширил определение K-устойчивости Тиана. [10] Гипотеза о том, что K-устойчивость будет достаточной для обеспечения существования метрики Келера-Эйнштейна, стала известна как гипотеза Яу-Тиан-Дональдсона . В 2015 году Сюксюн Чен , Дональдсон и Сон Сун опубликовали доказательство гипотезы, получив за свою работу премию Освальда Веблена по геометрии . [11] [12] [13] Тянь опубликовал доказательство гипотезы в том же году, хотя Чен, Дональдсон и Сан обвинили Тиана в академической и математической некорректной работе над его статьей. [14] [15]

Кэлерова геометрия [ править ]

В статье 1987 года Тиан изучал пространство метрик Калаби-Яу на кэлеровом многообразии. Он показал, что любую бесконечно малую деформацию структуры Калаби-Яу можно «интегрировать» в однопараметрическое семейство метрик Калаби-Яу; это доказывает, что «пространство модулей» метрик Калаби-Яу на данном многообразии имеет структуру гладкого многообразия. Ранее это также изучал Андрей Тодоров, и результат известен как теорема Тиан-Тодорова. [16] В качестве приложения Тиан нашел формулу для метрики Вейля-Петерсона на пространстве модулей метрик Калаби-Яу в терминах отображения периодов . [17]

Руководствуясь проблемой Келера-Эйнштейна и гипотезой Яу, относящейся к метрике Бергмана , Тиан изучил следующую проблему. Пусть L линейное расслоение над келеровым многообразием M , и фиксирует эрмитову расслоения метрики, кривизна которой форма является формой Kähler на М . Предположим , что при достаточно больших т , ортонормированного множества голоморфных сечений линейного расслоения L ⊗ м определяет проективное вложение М . Можно отодвинуть метрику Фубини-Штуди, чтобы определить последовательность метрик на M как mувеличивается. Тиан показал, что определенное изменение масштаба этой последовательности обязательно сойдется в топологии C 2 к исходной кэлеровой метрике. Уточненная асимптотика этой последовательности была рассмотрена в ряде влиятельных последующих работ других авторов и особенно важна в программе Саймона Дональдсона по экстремальным метрикам. [18] [19] [20] [21] [22] Аппроксимируемость кэлеровой метрики кэлеровыми метриками, индуцированными из проективных вложений, также имеет отношение к картине Яу гипотезы Яу-Тиан-Дональдсона, как указано выше.

В весьма технической статье 2008 года Сюксюн Чен и Тиан изучали теорию регулярности некоторых сложных уравнений Монжа-Ампера с приложениями к изучению геометрии экстремальных кэлеровых метрик. Хотя их статья очень широко цитируется, Джулиус Росс и Дэвид Витт Нистрем нашли контрпримеры к результатам Чена и Тиана о регулярности в 2015 году. [23] Неясно, какие результаты статьи Чена и Тиана остаются в силе.

Теория Громова-Виттена [ править ]

Псевдоголоморфные кривые были показаны Михаилом Громовым в 1985 году как мощные инструменты симплектической геометрии . [24] В 1991 году Эдвард Виттен высказал предположение об использовании теории Громова для определения перечислительных инвариантов . [25] Тиан и Юнбинь Руан нашли детали такой конструкции, доказав, что различные пересечения образов псевдоголоморфных кривых не зависят от многих вариантов выбора, и, в частности, дали ассоциативное полилинейное отображение на гомологиях некоторых симплектических многообразий. Эта структура известна как квантовые когомологии.; современный и столь же влиятельный подход принадлежит Дусе Макдафф и Дитмару Саламону . [26] Результаты Руана и Тиана носят несколько более общий характер.

Вместе с Цзюнь Ли Тиан провел чисто алгебраическую адаптацию этих результатов к условиям алгебраических многообразий . Это было сделано одновременно с Каем Берендом и Барбарой Фантечи , используя другой подход. [27]

Затем Ли и Тянь адаптировали свою алгебро-геометрическую работу к аналитическому контексту симплектических многообразий, расширив более ранние работы Руана и Тиана. Тиан и Ганг Лю использовали эту работу для доказательства известной гипотезы Арнольда о числе неподвижных точек гамильтоновых диффеоморфизмов. Однако работы Ли-Тяня и Лю-Тяня по симплектической теории Громова-Виттена были подвергнуты критике со стороны Дузы Макдафф и Катрин Вехрхейм как неполные или неправильные, заявив, что в статье Ли и Тянь «почти не хватает всех деталей» по некоторым вопросам и В статье Лю и Тянь есть «серьезные аналитические ошибки». [28]

Геометрический анализ [ править ]

В 1995 году , Тянь и Weiyue Дин изучал гармонический поток карту тепла из двумерного замкнутого риманова многообразия в замкнутое риманова многообразия N . В основополагающей работе 1985 года, последовавшей за прорывом в 1982 году Джонатана Сакса и Карен Уленбек , Майкл Струве изучил эту проблему и показал, что существует слабое решение, которое существует на все времена. Кроме того, Струве показал, что решение u гладко вне конечного числа точек пространства-времени; для любой последовательности точек пространства-времени, в которых решение является гладким и которые сходятся к данной особой точке ( p , T ), можно выполнить некоторые пересчета, чтобы (последовательно) определить конечное число гармонических отображений из круглой 2-мерной сферы в N , называемых «пузырями». Дин и Тиан доказали определенное «квантование энергии», означающее, что дефект между энергией Дирихле u ( T ) и пределом энергии Дирихле u ( t ) при приближении t к T точно измеряется суммой энергий Дирихле пузырей. Такие результаты важны в геометрическом анализе после первоначального результата квантования энергии Юм-Тонг Сиу и Шинг-Тунг Яу.в их доказательстве гипотезы Франкеля. [29] Аналогичная проблема для гармонических отображений , в отличие от рассмотрения Дингом и Тианом потока гармонических отображений, была рассмотрена Чанъю Ван примерно в то же время. [30]

Основная статья Тиана 2000 года была посвящена уравнениям Янга – Миллса . Помимо расширения большей части анализа Карен Уленбек на более высокие измерения, он изучал взаимодействие теории Янга-Миллса с калиброванной геометрией . Уленбек показал в 1980-х годах, что, когда дана последовательность связностей Янга-Миллса с равномерно ограниченной энергией, они будут гладко сходиться на дополнении к подмножеству коразмерности не менее четырех, известному как дополнение к «сингулярному множеству». Тиан показал, что особое множество является спрямляемым множеством. В случае, если коллектор оснащен калибровкой, можно ограничить интерес соединениями Янга-Миллса, которые являются самодвойственными по отношению к калибровке. В этом случае Тиан показал, что особый набор откалиброван. Например, сингулярное множество последовательности эрмитовых связностей Янга-Миллса с равномерно ограниченной энергией будет голоморфным циклом. Это важная геометрическая особенность анализа связей Янга-Миллса.

В 2006 году Тиан и Чжоу Чжан изучали поток Риччи в специальной ситуации замкнутых кэлеровых многообразий . Их главным достижением было показать, что максимальное время существования можно охарактеризовать чисто когомологически. Это представляет собой один смысл, в котором поток Келера-Риччи значительно проще, чем обычный поток Риччи, где нет (известного) вычисления максимального времени существования из заданного геометрического контекста. Доказательство Тиана и Чжана состоит из использования скалярного принципа максимума в применении к различным геометрическим уравнениям эволюции в терминах потенциала Кэлера, параметризованного линейной деформацией форм, которая когомологична самому потоку Кэлера-Риччи.

В 2002 и 2003 годах, Григорий Перельман опубликовал три статьи о Arxiv , которые претендовал доказать гипотезу Пуанкаре и гипотезы геометризации в области трехмерной геометрической топологии . [31] [32] [33] Работы Перельмана сразу же получили признание за многие из их новых идей и результатов, хотя технические детали многих из его аргументов было трудно проверить. В сотрудничестве с Джоном Морганом Тиан опубликовал в 2007 году изложение работ Перельмана, заполнив многие детали. Другие экспозиции, которые также широко цитируются, были написаны Хуай-Донг Цао иСи-Пин Чжу , Брюс Клейнер и Джон Лотт . [34] [35] В сотрудничестве с Наташей Шешум , Тиан также опубликовал изложение работы Перельмана о потоке Риччи кэлеровских многообразий, которую Перельман не публиковал ни в какой форме. [36] Через восемь лет после публикации книги Моргана и Тиана Аббас Бахри в своей статье «Пять пробелов в математике» указал на некоторые из их работ как на ошибочные. [37] Это было исправлено Морганом и Тианом. [38]

Избранные публикации [ править ]

  • Тиан, банда. Гладкость универсального деформационного пространства компактных многообразий Калаби-Яу и его метрика Петерсона-Вейля. Математические аспекты теории струн (Сан-Диего, Калифорния, 1986), 629–646, Adv. Сер. Математика. Phys., 1, World Sci. Издательство, Сингапур, 1987.
  • Тиан, банда. О метриках Кэлера-Эйнштейна на некоторых кэлеровых многообразиях с c 1 ( M )> 0 . Изобретать. Математика. 89 (1987), нет. 2, 225–246.
  • Тиан, банда. О множестве поляризованных кэлеровых метрик на алгебраических многообразиях. J. Differential Geom. 32 (1990), нет. 1, 99–130.
  • Тиан, Г. О гипотезе Калаби для комплексных поверхностей с положительным первым классом Черна. Изобретать. Математика. 101 (1990), нет. 1, 101–172.
  • Дин, Вэйюэ; Тиан, банда. Энергетическое тождество для класса приближенных гармонических отображений поверхностей. Comm. Анальный. Геом. 3 (1995), нет. 3-4, 543–554.
  • Жуань, Юнбинь ; Тиан, банда. Математическая теория квантовых когомологий. J. Differential Geom. 42 (1995), нет. 2, 259–367.
  • Тиан, банда. Метрики Кэлера-Эйнштейна с положительной скалярной кривизной. Изобретать. Математика. 130 (1997), нет. 1, 1–37.
  • Ли, Цзюнь ; Тиан, банда. Виртуальные циклы модулей и инварианты Громова-Виттена общих симплектических многообразий. Темы симплектических 4-многообразий (Ирвин, Калифорния, 1996), 47–83, First Int. Нажмите Lect. Сер., I, межд. Press, Кембридж, Массачусетс, 1998.
  • Ли, Цзюнь ; Тиан, банда. Виртуальные циклы модулей и инварианты Громова-Виттена алгебраических многообразий. J. Amer. Математика. Soc. 11 (1998), нет. 1, 119–174.
  • Лю, банда; Тиан, банда. Гомологии Флора и гипотеза Арнольда. J. Differential Geom. 49 (1998), нет. 1, 1–74.
  • Тиан, банда. Калибровочная теория и калиброванная геометрия. I. Ann. математики. (2) 151 (2000), нет. 1, 193–268.
  • Тиан, банда; Чжан, Чжоу. О потоке Кэлера – Риччи на проективных многообразиях общего типа. Китайская Ann. Математика. Сер. В 27 (2006), нет. 2, 179–192.
  • Чен, XX ; Тиан, Г. Геометрия кэлеровых метрик и слоений на голоморфные диски. Publ. Математика. Inst. Hautes Études Sci. 107 (2008), 1–107.
  • Тиан, банда. K-устойчивость и метрики Келлера-Эйнштейна. Comm. Pure Appl. Математика. 68 (2015), нет. 7, 1085–1156.

Книги.

  • Тиан, банда. Канонические метрики в кэлеровой геометрии. Примечания , принятые Meike Akveld . Лекции по математике ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Базель, 2000. vi + 101 стр. ISBN  3-7643-6194-8
  • Морган, Джон ; Тиан, банда. Поток Риччи и гипотеза Пуанкаре. Clay Mathematics Monographs, 3. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд; Институт математики Клэя, Кембридж, Массачусетс, 2007. xlii + 521 стр. ISBN 978-0-8218-4328-4 
  • Морган, Джон ; Тиан, банда. Гипотеза геометризации. Clay Mathematics Monographs, 5. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд; Институт математики Клэя, Кембридж, Массачусетс, 2014. x + 291 стр. ISBN 978-0-8218-5201-9 

Ссылки [ править ]

  1. ^ "Приз Освальда Веблена 1996 г." (PDF) . AMS. 1996 г.
  2. ^ Управляющий совет Пекинского международного центра математических исследований, http://www.bicmr.org/content/page/27.html
  3. ^ История школы математических наук Пекинского университета, http://www.math.pku.edu.cn/static/lishiyange.html
  4. ^ «ICTP - Управление» . www.ictp.it . Проверено 28 мая 2018 .
  5. ^ http://www.ams.org/notices/201304/rnoti-p480.pdf
  6. ^ Андерсон, Майкл Т. Риччи границы кривизны и метрики Эйнштейна на компактных многообразиях. J. Amer. Математика. Soc. 2 (1989), нет. 3, 455–490.
  7. ^ Бандо, Сигетоши; Касуэ, Ацуши; Накадзима, Хираку. О построении координат на бесконечности на многообразиях с быстрым убыванием кривизны и максимальным ростом объема. Изобретать. Математика. 97 (1989), нет. 2, 313–349.
  8. ^ Андерсон, Майкл Т. Сходимость и жесткость многообразий при границах кривизны Риччи. Изобретать. Математика. 102 (1990), нет. 2, 429–445.
  9. ^ Футаки, А. Препятствие к существованию метрик Эйнштейна Кэлера. Изобретать. Математика. 73 (1983), нет. 3, 437–443.
  10. ^ Дональдсон, С. К. Скалярная кривизна и устойчивость торических многообразий. J. Differential Geom. 62 (2002), нет. 2, 289–349.
  11. ^ Чен, Xiuxiong; Дональдсон, Саймон; Солнце, песня. Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. I: Аппроксимация метрик с коническими особенностями. J. Amer. Математика. Soc. 28 (2015), нет. 1, 183–197.
  12. ^ Чен, Xiuxiong; Дональдсон, Саймон; Солнце, песня. Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. II: Пределы с углом конуса меньше 2π. J. Amer. Математика. Soc. 28 (2015), нет. 1, 199–234.
  13. ^ Чен, Xiuxiong; Дональдсон, Саймон; Солнце, песня. Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. III: Ограничения по мере приближения угла конуса к 2π и завершение основного доказательства. J. Amer. Математика. Soc. 28 (2015), нет. 1, 235–278.
  14. ^ Xiuxiong Чен, Саймон, Donaldson, песни и ВС О некоторых последних достижениях в кэлеровской геометрии.
  15. ↑ Gang Tian. Ответ на CDS.
  16. ^ Тодоров, Андрей Н. Геометрия Вейля-Петерсона пространства модулей многообразий SU (n ≥ 3) (Калаби-Яу). I. Comm. Математика. Phys. 126 (1989), нет. 2, 325–346.
  17. ^ Huybrechts, Даниэль. Сложная геометрия. Введение. [Глава 6.] Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2005. xii + 309 с. ISBN 3-540-21290-6 
  18. ^ Zelditch, Стив. Ядра Сеге и теорема Тиан. Междунар. Математика. Res. Извещения 1998, вып. 6, 317–331.
  19. ^ Катлин, Дэвид. Ядро Бергмана и теорема Тиан. Анализ и геометрия в нескольких комплексных переменных (Катата, 1997), 1–23, Trends Math., Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1999.
  20. ^ Лу, Чжицинь. О младших членах асимптотического разложения Тиан-Яу-Зельдича. Амер. J. Math. 122 (2000), нет. 2, 235–273.
  21. ^ Дональдсон, С. К. Скалярная кривизна и проективные вложения. IJ Differential Geom. 59 (2001), нет. 3, 479–522.
  22. ^ Дональдсон, С. К. Нижние оценки функционала Калаби. J. Differential Geom. 70 (2005), нет. 3, 453–472.
  23. ^ Росс, Юлий; Нистрем, Дэвид Витт. Гармонические круги решений комплексного однородного уравнения Монжа-Ампера. Publ. Математика. Inst. Hautes Études Sci. 122 (2015), 315–335.
  24. ^ Громов, М. Псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях. Изобретать. Математика. 82 (1985), нет. 2, 307–347.
  25. ^ Виттен, Эдвард. Двумерная теория гравитации и пересечений на пространстве модулей. Обзоры по дифференциальной геометрии (Кембридж, Массачусетс, 1990), 243–310, Lehigh Univ., Bethlehem, PA, 1991.
  26. ^ Макдафф, Дуса; Саламон, Дитмар. J-голоморфные кривые и квантовые когомологии. Серия лекций в университете, 6. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1994. viii + 207 стр. ISBN 0-8218-0332-8 
  27. ^ Беренд, К .; Фантечи, Б. Внутренний нормальный конус. Изобретать. Математика. 128 (1997), нет. 1, 45–88.
  28. ^ Макдафф, Дуса; Wehrheim, Katrin. Фундаментальный класс гладких атласов Кураниши с тривиальной изотропией. J. Topol. Анальный. 10 (2018), нет. 1, 71–243.
  29. ^ Сиу, Юм Тонг; Яу, Шинг Тунг. Полные кэлеровы многообразия с неположительной кривизной быстрее квадратичного убывания. Аня. математики. (2) 105 (1977), нет. 2, 225–264.
  30. ^ Ван, Чанъю. Пузырьковые явления некоторых последовательностей Пале-Смейла от поверхностей до общих целей. Houston J. Math. 22 (1996), нет. 3, 559–590.
  31. ↑ Гриша Перельман. Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения. arXiv : math / 0211159
  32. ↑ Гриша Перельман. Поток Риччи с хирургией на трехмерных многообразиях. arXiv : math / 0303109
  33. ↑ Гриша Перельман. Конечное время исчезновения решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях. arXiv : math / 0307245
  34. ^ Цао, Хуай-Донг; Чжу, Си-Пин. Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации - применение теории Гамильтона-Перельмана потока Риччи. Asian J. Math. 10 (2006), нет. 2, 165–492.
  35. ^ Кляйнер, Брюс; Лотт, Джон. Примечания к бумагам Перельмана. Геом. Тополь. 12 (2008), нет. 5, 2587–2855.
  36. ^ Сезум, Наташа; Тиан, банда. Граничная скалярная кривизна и диаметр вдоль потока Келера-Риччи (по Перельману). J. Inst. Математика. Жюссье 7 (2008), нет. 3, 575–587.
  37. ^ Бахри, Аббас. Пять пробелов в математике. Adv. Нелинейный Stud. 15 (2015), нет. 2, 289–319.
  38. ^ Джон Морган и Ганг Тиан. Поправка к разделу 19.2 книги «Поток Риччи и гипотеза Пуанкаре». arXiv : 1512.00699

Внешние ссылки [ править ]

  • Тиан Ган из проекта « Математическая генеалогия»