Стоимость денег во времени

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Декабрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Приведенная стоимость 1000 долларов на 100 лет вперед. Кривые представляют постоянные ставки дисконтирования 2%, 3%, 5% и 7%.

Значение времени денег является широко принята гипотеза , что существует большая выгода для получения суммы денег в настоящее время , а не идентичную сумму позже. Это можно рассматривать как следствие развитой позже концепции временного предпочтения .

Время стоимость денег является причиной , почему проценты выплачиваются или заработал: интерес, будь то на банковский депозит или долга , компенсирует вкладчику или кредитору за временную стоимость денег. Следовательно, это также лежит в основе инвестиций . Инвесторы готовы отказаться от траты своих денег сейчас, только если они ожидают благоприятной отдачи от своих инвестиций в будущем, так что увеличенная ценность, которая будет доступна позже, будет достаточно высокой, чтобы компенсировать предпочтение тратить деньги сейчас; см. требуемую норму прибыли .

История [ править ]

Талмуд (~ 500 CE) признает ценность денег во времени. В трактате Маккос на странице 3а Талмуда обсуждается случай, когда свидетели ложно утверждали, что срок ссуды составлял 30 дней, тогда как на самом деле он составлял 10 лет. Лжесвидетели должны выплатить разницу в сумме ссуды "в ситуации, когда от него потребуют вернуть деньги (в течение) тридцати дней ..., и ту же сумму в ситуации, когда от него потребуют предоставить возврат денег (в течение) 10 лет ... Разница в сумме, которую показания (лжесвидетелей) пытались заставить заемщика потерять; следовательно, это сумма, которую они должны заплатить ". ^[1]

Позднее это понятие было описано Мартином де Аспилкуэта (1491–1586) из школы Саламанки .

Расчеты [ править ]

Проблемы временной стоимости денег связаны с чистой стоимостью денежных потоков в разные моменты времени.

В типичном случае переменными могут быть: баланс (реальная или номинальная стоимость долга или финансового актива в денежных единицах), периодическая процентная ставка, количество периодов и серия денежных потоков. (В случае долга денежные потоки представляют собой платежи в счет основной суммы долга и процентов; в случае финансового актива это взносы на баланс или снятие с него средств.) В более общем плане денежные потоки могут быть не периодическими, но могут быть указаны индивидуально. Любая из этих переменных может быть независимой переменной (искомым ответом) в данной задаче. Например, можно знать, что: процентная ставка 0,5% за период (скажем, в месяц); количество периодов - 60 (месяцев); начальный баланс (в данном случае - долга) - 25 000 единиц; а итоговый баланс - 0 единиц.Неизвестной переменной может быть ежемесячный платеж, который должен платить заемщик.

Например, 100 фунтов стерлингов, инвестированных на один год с доходом 5%, будут стоить 105 фунтов стерлингов через год; Таким образом, £ 100 заплатил в настоящее время и £ 105 заплатили ровно один год и имеют такое же значение для получателя , который ожидает 5% годовых при условии , что инфляция будет нулевой процент. То есть 100 фунтов стерлингов, инвестированные на один год под 5% годовых, имеют будущую стоимость 105 фунтов стерлингов при предположении, что инфляция будет равна нулю процентов. ^[2]

Этот принцип позволяет оценить вероятный поток доходов в будущем таким образом, чтобы годовые доходы дисконтировались и затем складывались вместе, таким образом обеспечивая единовременную «приведенную стоимость» всего потока доходов; все стандартные расчеты временной стоимости денег происходят из самого основного алгебраического выражения для текущей стоимости будущей суммы, «дисконтированной» до настоящего времени на сумму, равную временной стоимости денег. Например, сумма будущей стоимости, которая будет получена в течение одного года, дисконтируется по ставке процента, чтобы получить сумму приведенной стоимости : ${\ displaystyle FV}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle PV}$

{\ displaystyle PV = {\ frac {FV} {(1 + r)}}}

Вот некоторые стандартные расчеты, основанные на временной стоимости денег:

Приведенная стоимость : текущая стоимость будущей денежной суммы или потока денежных средств с учетом указанной нормы прибыли . Будущие денежные потоки «дисконтируются» по ставке дисконтирования; чем выше ставка дисконтирования, тем ниже приведенная стоимость будущих денежных потоков. Определение подходящей ставки дисконтирования является ключом к правильной оценке будущих денежных потоков, будь то прибыль или обязательства.^[3]
Приведенная стоимость аннуитета : аннуитет - это серия равных платежей или поступлений, которые происходят через равные промежутки времени. Примерами являются аренда и арендная плата. Выплаты или поступления происходят в конце каждого периода для обычного аннуитета, в то время как они происходят в начале каждого периода для причитающегося аннуитета. ^[4]

Приведенная стоимость бессрочного платежа - это бесконечный и постоянный поток идентичных денежных потоков. ^[5]

Будущая стоимость : стоимость актива или денежных средств на определенную дату в будущем, основанная на стоимости этого актива в настоящем. ^[6]
Будущая стоимость аннуитета (FVA) : будущая стоимость потока платежей (аннуитета) при условии, что платежи инвестируются с заданной процентной ставкой.

Есть несколько основных уравнений, которые представляют собой перечисленные выше равенства. Решения можно найти, используя (в большинстве случаев) формулы, финансовый калькулятор или электронную таблицу . Формулы запрограммированы в большинстве финансовых калькуляторов и в несколько функций электронных таблиц (например, PV, FV, RATE, NPER и PMT). ^[7]

Для любого из приведенных ниже уравнений формулу также можно изменить, чтобы определить одно из других неизвестных. В случае стандартной формулы аннуитета не существует алгебраического решения закрытой формы для процентной ставки (хотя финансовые калькуляторы и программы для работы с электронными таблицами могут легко найти решения с помощью быстрых алгоритмов проб и ошибок).

Эти уравнения часто комбинируются для конкретных целей. Например, с помощью этих уравнений можно легко оценить цену облигаций . Типичная купонная облигация состоит из двух типов платежей: потока купонных платежей, аналогичных аннуитету, и единовременного возврата капитала в конце срока погашения облигации, то есть будущих выплат. Эти две формулы можно объединить для определения приведенной стоимости облигации.

Важное примечание: процентная ставка i - это процентная ставка за соответствующий период. Для аннуитета, который выплачивается один раз в год, i будет годовой процентной ставкой. Для потока доходов или платежей с другим графиком платежей процентная ставка должна быть преобразована в соответствующую периодическую процентную ставку. Например, ежемесячная ставка по ипотеке с ежемесячными выплатами требует, чтобы процентная ставка была разделена на 12 (см. Пример ниже). См. Сложные проценты для получения подробной информации о конвертации между различными периодическими процентными ставками.

Норма прибыли в расчетах может быть либо решаемой переменной, либо предварительно определенной переменной, которая измеряет ставку дисконтирования, процент, инфляцию, норму прибыли, стоимость капитала, стоимость долга или любое количество других аналогичных концепций. Выбор подходящей ставки имеет решающее значение для упражнения, а использование неправильной ставки дисконтирования сделает результаты бессмысленными.

Для расчетов, связанных с аннуитетом, необходимо решить, будут ли платежи производиться в конце каждого периода (известный как обычный аннуитет) или в начале каждого периода (известный как аннуитетный платеж). При использовании финансового калькулятора или электронной таблицы его обычно можно настроить для любого расчета. Следующие формулы предназначены для обычной ренты. Чтобы получить ответ на текущую стоимость подлежащей выплате аннуитета, PV обычной аннуитета можно умножить на (1 + i ).

Формула [ править ]

В следующей формуле используются эти общие переменные:

PV - значение в момент времени = 0 (текущее значение)
FV - это значение в момент времени = n (будущая стоимость)
A - стоимость отдельных платежей в каждом периоде начисления сложных процентов.
n - количество периодов (не обязательно целое число)
i - процентная ставка, по которой сумма составляет каждый период
g - скорость роста платежей за каждый период времени

Будущая стоимость настоящей суммы [ править ]

Формула будущей стоимости ( БС ) аналогична и использует те же переменные.

FV\ =\ PV\cdot (1+i)^{n}

Текущая стоимость будущей суммы [ править ]

Формула приведенной стоимости - это основная формула временной стоимости денег; каждая из остальных формул выводится из этой формулы. Например, формула аннуитета представляет собой сумму ряда расчетов текущей стоимости.

Формула приведенной стоимости ( PV ) имеет четыре переменных, каждую из которых можно решить численными методами :

PV\ =\ {\frac {FV}{(1+i)^{n}}}

Накопленная приведенная стоимость будущих денежных потоков может быть рассчитана путем суммирования вкладов FV _t , стоимости денежного потока в момент времени t :

PV\ =\ \sum _{t=1}^{n}{\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}

Обратите внимание, что этот ряд можно суммировать для данного значения n или когда n равно ∞. ^[8] Это очень общая формула, которая приводит к нескольким важным частным случаям, приведенным ниже.

Текущая стоимость аннуитета для n платежных периодов [ править ]

В этом случае значения денежных потоков остаются неизменными на протяжении n периодов. Формула текущей стоимости аннуитета (PVA) имеет четыре переменных, каждая из которых может быть решена численными методами:

PV(A)\,=\,{\frac {A}{i}}\cdot \left[{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}\right]

Чтобы получить PV аннуитета , умножьте указанное выше уравнение на (1 + i ).

Текущая стоимость растущей ренты [ править ]

В этом случае каждый денежный поток увеличивается в (1+ g ) раз. Подобно формуле для аннуитета, приведенная стоимость растущей аннуитета (PVGA) использует те же переменные с добавлением g в качестве скорости роста аннуитета (A - аннуитетный платеж в первый период). Это расчет, который редко используется в финансовых калькуляторах.

Где i ≠ g:

PV(A)\,=\,{A \over (i-g)}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]

Где i = g:

PV(A)\,=\,{A\times n \over 1+i}

Чтобы получить PV растущей ренты , умножьте указанное выше уравнение на (1 + i ).

Текущая стоимость бессрочного права [ править ]

Бесконечность является выплата определенной суммы денег , которые происходят на регулярной основе и продолжаться вечно. Когда n → ∞, PV формулы бессрочного (бессрочного аннуитета) становится простым делением.

PV(P)\ =\ {A \over i}

Текущая стоимость растущего бессрочного капитала [ править ]

Когда бессрочный аннуитетный платеж растет с фиксированной скоростью ( g , при g < i ), значение определяется в соответствии со следующей формулой, полученной установкой n равным бесконечности в предыдущей формуле для растущего бессрочного дохода:

PV(A)\,=\,{A \over i-g}

На практике существует немного ценных бумаг с точными характеристиками, и применение этого подхода к оценке может подвергаться различным оговоркам и модификациям. Самое главное, что редко можно найти растущий бессрочный аннуитет с фиксированными темпами роста и истинным постоянным генерированием денежных потоков. Несмотря на эти квалификации, общий подход может использоваться при оценке недвижимости, акций и других активов.

Это хорошо известная модель роста Гордона, используемая для оценки акций .

Будущая стоимость аннуитета [ править ]

Будущая стоимость (после n периодов) формулы аннуитета (FVA) имеет четыре переменных, каждая из которых может быть решена численными методами:

FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}

Чтобы получить FV аннуитета, умножьте указанное выше уравнение на (1 + i).

Будущая стоимость растущей ренты [ править ]

Формула будущей стоимости (после n периодов) растущей ренты (FVA) имеет пять переменных, каждая из которых может быть решена численными методами:

Где i ≠ g:

FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-\left(1+g\right)^{n}}{i-g}}

Где i = g:

FV(A)\,=\,A\cdot n(1+i)^{n-1}

Таблица формул [ править ]

В следующей таблице приведены различные формулы, обычно используемые для расчета временной стоимости денег. ^[9] Эти значения часто отображаются в таблицах, где указаны процентная ставка и время.

Находить	Данный	Формула
Будущая стоимость (F)	Текущая стоимость (P)	$F=P\cdot (1+i)^{n}$
Текущая стоимость (P)	Будущая стоимость (F)	$P=F\cdot (1+i)^{-n}$
Повторяющийся платеж (А)	Будущая стоимость (F)	$A=F\cdot {\frac {i}{(1+i)^{n}-1}}$
Повторяющийся платеж (А)	Текущая стоимость (P)	$A=P\cdot {\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}$
Будущая стоимость (F)	Повторяющийся платеж (А)	$F=A\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$
Текущая стоимость (P)	Повторяющийся платеж (А)	$P=A\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}}$
Будущая стоимость (F)	Выплата начального градиента (G)	$F=G\cdot {\frac {(1+i)^{n}-in-1}{i^{2}}}$
Текущая стоимость (P)	Выплата начального градиента (G)	$P=G\cdot {\frac {(1+i)^{n}-in-1}{i^{2}(1+i)^{n}}}$
Фиксированный платеж (А)	Выплата начального градиента (G)	$A=G\cdot \left[{\frac {1}{i}}-{\frac {n}{(1+i)^{n}-1}}\right]$
Будущая стоимость (F)	Первоначальный экспоненциально возрастающий платеж (D) Увеличение процента (г)	$F=D\cdot {\frac {(1+g)^{n}-(1+i)^{n}}{g-i}}$ (для i ≠ g) $F=D\cdot {\frac {n(1+i)^{n}}{1+g}}$ (для i = g)
Текущая стоимость (P)	Первоначальный экспоненциально возрастающий платеж (D) Увеличение процента (г)	$P=D\cdot {\frac {\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}-1}{g-i}}$ (для i ≠ g) $P=D\cdot {\frac {n}{1+g}}$ (для i = g)

Примечания:

A - фиксированная сумма платежа, каждый период
G - это сумма начального платежа увеличивающейся суммы платежа, которая начинается с G и увеличивается на G для каждого последующего периода.
D - это начальная сумма платежа экспоненциально (геометрически) увеличивающейся суммы платежа, которая начинается с D и увеличивается с коэффициентом (1+ g ) каждый последующий период.

Производные [ править ]

Получение аннуитета [ править ]

Формула для текущей стоимости регулярного потока будущих платежей (аннуитета) выводится из суммы формулы будущей стоимости одного будущего платежа, как показано ниже, где C - сумма платежа, а n - период.

Единственный платеж C в будущем времени m имеет следующую будущую стоимость в будущем времени n :

FV\ =C(1+i)^{n-m}

Суммируя все платежи от времени 1 до момента n, затем меняя t

FVA\ =\sum _{m=1}^{n}C(1+i)^{n-m}\ =\sum _{k=0}^{n-1}C(1+i)^{k}

Обратите внимание, что это геометрический ряд с начальным значением a = C , мультипликативным коэффициентом 1 + i , с n членами. Применяя формулу для геометрического ряда, получаем

FVA\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{1-(1+i)}}\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{-i}}

Текущая стоимость аннуитета (PVA) получается простым делением на : $(1+i)^{n}$

PVA\ ={\frac {FVA}{(1+i)^{n}}}={\frac {C}{i}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)

Еще один простой и интуитивно понятный способ определить будущую стоимость аннуитета - рассмотреть эндаумент, проценты по которому выплачиваются как аннуитет, а основная сумма остается постоянной. Основная сумма этого гипотетического эндаумента может быть рассчитана как сумма процентов, равная сумме ежегодного платежа:

{\text{Principal}}\times i=C

{\text{Principal}}=C/i+{goal}

Обратите внимание, что никакие деньги не входят и не выходят из комбинированной системы основной суммы пожертвования + накопленных аннуитетных платежей, и, таким образом, будущая стоимость этой системы может быть вычислена просто с помощью формулы будущей стоимости:

FV=PV(1+i)^{n}

Первоначально, до каких-либо выплат, приведенная стоимость системы - это просто сумма основного капитала ( ). В конце концов, будущая стоимость - это основная сумма эндаумента (что то же самое) плюс будущая стоимость общих аннуитетных платежей ( ). Подключаем это обратно к уравнению: $PV=C/i$ $FV=C/i+FVA$

{\frac {C}{i}}+FVA={\frac {C}{i}}(1+i)^{n}

FVA={\frac {C}{i}}\left[\left(1+i\right)^{n}-1\right]

Бессрочная деривация [ править ]

Не приводя здесь формального вывода, формула бессрочного дохода выводится из формулы аннуитета. В частности, термин:

\left({1-{1 \over {(1+i)^{n}}}}\right)

видно, что оно приближается к значению 1 по мере увеличения n . На бесконечности он равен 1, оставаясь единственным оставшимся членом. ${C \over i}$

Непрерывное начисление [ править ]

Иногда ставки конвертируются в эквивалент непрерывной сложной процентной ставки, потому что непрерывный эквивалент более удобен (например, его легче дифференцировать). Каждую из приведенных выше формул можно переформулировать в их непрерывных эквивалентах. Например, текущая стоимость будущего платежа в момент времени t в момент времени t может быть пересчитана следующим образом, где e - основание натурального логарифма, а r - ставка непрерывного расчета:

{\text{PV}}={\text{FV}}\cdot e^{-rt}

Это можно обобщить на ставки дисконтирования, которые меняются во времени: вместо постоянной ставки дисконтирования r используется функция времени r ( t ). В этом случае коэффициент дисконтирования и, следовательно, приведенная стоимость денежного потока в момент времени T определяется интегралом непрерывно рассчитываемой ставки r ( t ):

{\text{PV}}={\text{FV}}\cdot \exp \left(-\int _{0}^{T}r(t)\,dt\right)

Действительно, основной причиной использования непрерывного начисления сложных процентов является упрощение анализа различных ставок дисконтирования и предоставление возможности использовать инструменты исчисления. Кроме того, для процентов, начисленных и капитализированных в течение ночи (следовательно, начисляемых ежедневно), непрерывное начисление сложных процентов является близким приближением к фактическому ежедневному начислению сложных процентов. Более сложный анализ включает использование дифференциальных уравнений , как подробно описано ниже.

Примеры [ править ]

Использование непрерывного компаундирования дает следующие формулы для различных инструментов:

Аннуитет: $\ PV\ =\ {A(1-e^{-rt}) \over e^{r}-1}$
Бессрочность: $\ PV\ =\ {A \over e^{r}-1}$
Растущий аннуитет: $\ PV\ =\ {Ae^{-g}(1-e^{-(r-g)t}) \over ^{(r-g)}-1}$
Растущая вечность: $\ PV\ =\ {Ae^{-g} \over e^{(r-g)}-1}$
Аннуитет с непрерывными выплатами: $\ PV\ =\ {1-e^{(-rt)} \over r}$

Эти формулы предполагают, что платеж A производится в первый платежный период, а аннуитет заканчивается в момент t. ^[10]

Дифференциальные уравнения [ править ]

Обыкновенные и дифференциальные уравнения в частных производных (ODE и PDE) - уравнения, включающие производные и одну (соответственно, несколько) переменных, повсеместно используются в более продвинутых подходах к финансовой математике . В то время как временная стоимость денег может быть понята без использования структуры дифференциальных уравнений, дополнительная изощренность проливает дополнительный свет на временную стоимость и обеспечивает простое введение перед рассмотрением более сложных и менее знакомых ситуаций. Это изложение следует ( Carr & Flesaker 2006 , стр. 6–7).

Фундаментальное изменение, которое приносит перспектива дифференциального уравнения, заключается в том, что вместо вычисления числа (текущее значение сейчас ) вычисляется функция (текущее значение сейчас или в любой момент в будущем ). Затем эту функцию можно проанализировать - как ее значение меняется со временем - или сравнить с другими функциями.

Формально утверждение о том, что «значение со временем уменьшается», выражается в определении линейного дифференциального оператора как: ${\mathcal {L}}$

{\mathcal {L}}:=-\partial _{t}+r(t).

Это означает, что значения уменьшаются (-) со временем (∂ _t ) по ставке дисконтирования ( r ( t )). Применительно к функции он дает:

{\mathcal {L}}f=-\partial _{t}f(t)+r(t)f(t).

Для инструмента, поток платежей которого описывается как f ( t ), значение V ( t ) удовлетворяет неоднородному ОДУ первого порядка («неоднородный» означает, что у него f, а не 0, а «первый порядок» - потому что он первые производные, но не более высокие производные) - это кодирует тот факт, что при возникновении любого денежного потока стоимость инструмента изменяется на величину денежного потока (если вы получаете купон на 10 фунтов стерлингов, оставшаяся стоимость уменьшается ровно на 10 фунтов стерлингов) . ${\mathcal {L}}V=f$

Стандартный технический инструмент при анализе ОДУ - это функции Грина , на основе которых могут быть построены другие решения. С точки зрения стоимости денег во времени функция Грина (для временной стоимости ODE) представляет собой стоимость облигации, выплачивающей 1 фунт стерлингов в один момент времени u - тогда стоимость любого другого потока денежных потоков может быть получена, если взять комбинации этого основного денежного потока. С математической точки зрения, этот мгновенный денежный поток моделируется как дельта-функция Дирака. $\delta _{u}(t):=\delta (t-u).$

Функция Грина для стоимости в момент времени t денежного потока в 1 фунт стерлингов в момент u равна

b(t;u):=H(u-t)\cdot \exp \left(-\int _{t}^{u}r(v)\,dv\right)

где H - ступенчатая функция Хевисайда - обозначение « » должно подчеркнуть, что u - это параметр (фиксированный в любом случае - время, когда возникнет денежный поток), а t - это переменная (время). Другими словами, будущие денежные потоки экспоненциально дисконтируются (exp) на сумму (интеграл, ) будущих ставок дисконтирования ( для будущих, r ( v ) для ставок дисконтирования), в то время как прошлые денежные потоки равны 0 ( ), потому что они уже произошло. Обратите внимание, что значение в $;u$ $\textstyle {\int }$ $\textstyle {\int _{t}^{u}}$ $H(u-t)=1{\text{ if }}t<u,0{\text{ if }}t>u$ момент движения денежных средств четко не определен - в этой точке существует разрыв, и можно использовать условное обозначение (предположим, что потоки денежных средств уже произошли или еще не произошли), или просто не определять значение в этот момент.

Если ставка дисконтирования постоянна, это упрощается до $r(v)\equiv r,$

b(t;u)=H(u-t)\cdot e^{-(u-t)r}={\begin{cases}e^{-(u-t)r}&t<u\\0&t>u,\end{cases}}

где «время, оставшееся до денежного потока». $(u-t)$

Таким образом, для потока денежных средств f ( u ), заканчивающегося моментом времени T (который может быть установлен без временного горизонта), значение в момент времени t определяется путем объединения значений этих отдельных денежных потоков: $T=+\infty$ $V(t;T)$

V(t;T)=\int _{t}^{T}f(u)b(t;u)\,du.

Это формализует временную стоимость денег с учетом будущих значений денежных потоков с различными ставками дисконтирования и является основой многих формул в финансовой математике, таких как формула Блэка – Шоулза с различными процентными ставками .

См. Также [ править ]

Актуарная наука
Дисконтированный денежный поток
Рост прибыли
Экспоненциальный рост
Финансовый менеджмент
Гиперболическое дисконтирование
Внутренняя норма прибыли
Чистая приведенная стоимость
Временная стоимость опциона
Реальная стоимость по сравнению с номинальной (экономика)
Эффект снежного кома

Примечания [ править ]

^ "Makkot 3a Уильям Дэвидсон Талмуд онлайн" .
^ Carther, Shauna (3 декабря 2003). «Понимание временной стоимости денег» .
^ Персонал, Investopedia (25 ноября 2003). «Текущая стоимость - PV» .
^ «Текущая стоимость аннуитета» .
^ Персонал, Investopedia (24 ноября 2003). «Бессрочность» .
^ Персонал, Investopedia (23 ноября 2003). «Будущая стоимость - FV» .
^ Ховей, М. (2005). Моделирование электронных таблиц для финансов. Frenchs Forest, Новый Южный Уэльс: Pearson Education Australia.
^ http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html Геометрическая серия
^ "Экзамен NCEES FE" .
^ "Аннуитеты и бессрочные выплаты с непрерывным начислением процентов" .

Ссылки [ править ]

Карр, Питер; Флесакер, Бьорн (2006), Надежное воспроизведение условных требований по умолчанию (слайды презентации) (PDF) , Bloomberg LP , заархивировано из оригинала (PDF) 27 февраля 2009 г. См. Также аудиопрезентацию и бумагу .
Crosson, SV, и Needles, BE (2008). Управленческий учет (8-е изд.). Бостон: Компания Houghton Mifflin.

Внешние ссылки [ править ]

Временная стоимость денег, организованный Университетом Аризоны
Электронная книга " Временная стоимость денег"

[1] "Makkot 3a Уильям Дэвидсон Талмуд онлайн" .

[2] Carther, Shauna (3 декабря 2003). «Понимание временной стоимости денег» .

[3] Персонал, Investopedia (25 ноября 2003). «Текущая стоимость - PV» .

[4] «Текущая стоимость аннуитета» .

[5] Персонал, Investopedia (24 ноября 2003). «Бессрочность» .

[6] Персонал, Investopedia (23 ноября 2003). «Будущая стоимость - FV» .

[7] Ховей, М. (2005). Моделирование электронных таблиц для финансов. Frenchs Forest, Новый Южный Уэльс: Pearson Education Australia.

[8] ttp://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html Геометрическая серия

[9] "Экзамен NCEES FE" .

[10] "Аннуитеты и бессрочные выплаты с непрерывным начислением процентов" .

[1]