Томографическая реконструкция

Томографическая реконструкция - это тип многомерной обратной задачи, в которой задача состоит в том, чтобы получить оценку конкретной системы из конечного числа проекций . Математическая основа для создания томографических изображений была заложена Иоганном Радоном . Ярким примером применения является реконструкция по компьютерной томографии (КТ) , где изображения поперечного сечения пациентов получают в неинвазивным способом. Недавние разработки показали, что преобразование Радона и его обратное преобразование используются для задач, связанных с реалистичной вставкой объекта, необходимого для тестирования и оценки использования компьютерной томографии в безопасности аэропортов .^[1]

Эта статья в целом относится к методам реконструкции для всех видов томографии , но некоторые термины и физические описания относятся непосредственно к реконструкции рентгеновской компьютерной томографии .

Введение в формулу [ править ]

Рисунок 1: Геометрия параллельного пучка, используемая в томографии и томографической реконструкции. Каждая проекция, полученная в результате томографии под определенным углом, состоит из набора линейных интегралов через объект.

Полученное томографическое изображение пластикового фантома черепа. Спроецированные рентгеновские лучи четко видны на этом срезе, полученном с помощью компьютерной томографии, как артефакты изображения из-за ограниченного количества проекционных срезов по углам.

Проекция объекта, полученная в результате процесса томографического измерения под заданным углом , состоит из набора линейных интегралов (см. Рис. 1). Набор из множества таких проекций под разными углами, организованных в 2D, называется синограммой (см. Рис. 3). В рентгеновской компьютерной томографии линейный интеграл представляет собой полное ослабление пучка рентгеновских лучей, когда он проходит через объект по прямой линии. Как упоминалось выше, результирующее изображение представляет собой 2D (или 3D) модель коэффициента затухания . То есть мы хотим найти изображение . Самый простой и легкий способ визуализировать метод сканирования - это система параллельной проекции.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mu (x,y)}$, как и в первых сканерах. Для этого обсуждения мы рассматриваем данные, которые должны быть собраны как серию параллельных лучей в определенном положении , поперек проекции под углом . Это повторяется для разных углов. Затухание в ткани происходит экспоненциально :${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,ds}\right)}$

где - коэффициент ослабления как функция положения. Поэтому, как правило, полное затухание луча в позиции на проекции под углом определяется линейным интегралом:${\displaystyle \mu (x,y)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\ln \left({\frac {I}{I_{0}}}\right)=-\int \mu (x,y)\,ds}$

Используя систему координат, показанную на рисунке 1, значение, на которое точка будет проецироваться под углом , определяется как:${\displaystyle r}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta =r\ }$

Таким образом, приведенное выше уравнение можно переписать как

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (x\cos \theta +y\sin \theta -r)\,dx\,dy}$

где представляет и - дельта-функция Дирака . Эта функция известна как преобразование Радона (или синограмма ) 2D-объекта.${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle \mu (x,y)}$${\displaystyle \delta ()}$

Преобразование Фурье проекции можно записать как

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\exp[-j\omega (x\cos \theta +y\sin \theta )]\,dx\,dy=F(\Omega _{1},\Omega _{2})}$ где ^[2]${\displaystyle \Omega _{1}=\omega \cos \theta ,\Omega _{2}=\omega \sin \theta }$

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )}$представляет срез двумерного преобразования Фурье под углом . Используя обратное преобразование Фурье , можно легко вывести формулу обратного преобразования Радона.${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )d\theta }$

где - производная преобразования Гильберта от${\displaystyle g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )}$${\displaystyle p_{\theta }(r)}$

Теоретически обратное преобразование Радона даст исходное изображение. Теорема проекционно-срез говорит нам , что если бы мы имели бесконечное число одномерных проекций объекта , принятого на бесконечное число углов, мы вполне могли бы восстановить исходный объект, . Однако на практике будет доступно лишь ограниченное число прогнозов.${\displaystyle f(x,y)}$

Предполагая, что имеет эффективный диаметр и желаемое разрешение , практическое количество проекций, необходимых для реконструкции, составляет ^[2]${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle R_{s}}$${\displaystyle N>\pi d/R_{s}}$

Алгоритмы реконструкции [ править ]

Разработаны практические алгоритмы реконструкции для реализации процесса реконструкции трехмерного объекта по его проекциям. ^{[3] [2]} Эти алгоритмы разработаны в основном на основе математики преобразования Радона , статистических знаний о процессе сбора данных и геометрии системы визуализации данных.

Алгоритм реконструкции Фурье-области [ править ]

Реконструкция может быть произведена с помощью интерполяции. Предположим, что -проекции генерируются под одинаковыми углами, каждая из которых измеряется с одинаковой частотой. Дискретное преобразование Фурье на каждой проекции даст выборки в частотной области. Объединение всех проекций с частотной дискретизацией приведет к созданию полярного растра в частотной области. Полярный растр будет разреженным, поэтому для заполнения неизвестных точек ДПФ используется интерполяция, а восстановление может быть выполнено с помощью обратного дискретного преобразования Фурье . ^[4] Производительность реконструкции можно улучшить за счет разработки методов изменения разреженности полярного растра, что способствует повышению эффективности интерполяции.${\displaystyle N}$${\displaystyle f(x,y)}$

Например, концентрический квадратный растр в частотной области можно получить, изменив угол между каждой проекцией следующим образом:

${\displaystyle \theta '={\frac {R_{0}}{\max\{|\cos \theta |,|\sin \theta |\}}}}$

где - самая высокая частота для оценки.${\displaystyle R_{0}}$

Концентрический квадратный растр повышает эффективность вычислений, позволяя размещать все позиции интерполяции на прямоугольной решетке ДПФ. Кроме того, это уменьшает ошибку интерполяции. ^[4] Тем не менее, у алгоритма преобразования Фурье есть недостаток, заключающийся в том, что он создает на выходе изначально зашумленный результат.

Алгоритм обратной проекции [ править ]

На практике восстановления томографических изображений часто используется стабилизированная и дискретизированная версия обратного преобразования Радона, известная как алгоритм фильтрованной обратной проекции . ^[2]

Для дискретной системы с дискретизацией обратное преобразование Радона имеет вид

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{i=0}^{N-1}\Delta \theta _{i}g_{\theta _{i}}(x\cos \theta _{i}+y\sin \theta _{i})}$

${\displaystyle g_{\theta }(t)=p_{\theta }(t)\cdot k(t)}$

где - угловое расстояние между выступами, - ядро ​​радона с частотной характеристикой .${\displaystyle \Delta \theta }$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle |\omega |}$

Название «обратная проекция» происходит от того факта, что одномерная проекция должна быть отфильтрована одномерным ядром Радона (обратная проекция), чтобы получить двухмерный сигнал. Используемый фильтр не содержит усиления постоянного тока, поэтому может быть желательным добавление смещения постоянного тока . Реконструкция с использованием обратной проекции обеспечивает лучшее разрешение, чем метод интерполяции, описанный выше. Однако он вызывает больший шум, потому что фильтр склонен усиливать высокочастотный контент.

Алгоритм итеративной реконструкции [ править ]

Iterative algorithm is computationally intensive but it allows to include a priori information about the system ${\displaystyle f(x,y)}$.^[2]

Let ${\displaystyle N}$ be the number of projections, ${\displaystyle D_{i}}$ be the distortion operator for ${\displaystyle i}$th projection taken at an angle ${\displaystyle \theta _{i}}$. ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$ are set of parameters to optimize the conversion of iterations.

${\displaystyle f_{0}(x,y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{\theta _{i}}(r)}$

${\displaystyle f_{k}(x,y)=f_{k-1}(x,y)+\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}[p_{\theta _{i}}(r)-D_{i}f_{k-1}(x,y)]}$

An alternative family of recursive tomographic reconstruction algorithms are the Algebraic Reconstruction Techniques and iterative Sparse Asymptotic Minimum Variance.

Fan-Beam Reconstruction[edit]

Use of a noncollimated fan beam is common since a collimated beam of radiation is difficult to obtain. Fan beams will generate series of line integrals, not parallel to each other, as projections. The fan-beam system will require 360 degrees range of angles which impose mechanical constraint, however, it allows faster signal acquisition time which may be advantageous in certain settings such as in the field of medicine. Back projection follows a similar 2 step procedure that yields reconstruction by computing weighted sum back-projections obtained from filtered projections.

Deep learning reconstruction[edit]

Deep learning methods are widely applied to image reconstruction nowadays and have achieved impressive results in various image reconstruction tasks, including low-dose denoising, sparse-view reconstruction, limited angle tomography and metal artifact reduction. An excellent overview can be found in the special issue ^[5] of IEEE Transaction on Medical Imaging. One group of deep learning reconstruction algorithms apply post-processing neural networks to achieve image-to-image reconstruction, where input images are reconstructed by conventional reconstruction methods. Artifact reduction using the U-Net in limited angle tomography is such an example application.^[6] However, incorrect structures may occur in an image reconstructed by such a completely data-driven method,^[7] as displayed in the figure. Therefore, integration of known operators into the architecture design of neural networks appears beneficial, as described in the concept of precision learning.^[8] For example, direct image reconstruction from projection data can be learnt from the framework of filtered back-projection.^[9] Another example is to build neural networks by unrolling iterative reconstruction algorithms.^[10] Except for precision learning, using conventional reconstruction methods with deep learning reconstruction prior ^[11] is also an alternative approach to improve the image quality of deep learning reconstruction.

Tomographic reconstruction software[edit]

For flexible tomographic reconstruction, open source toolboxes are available, such as PYRO-NN,^[12] TomoPy,^[13] CONRAD,^[14] ODL, the ASTRA toolbox,^[15][16] and TIGRE.^[17] TomoPy is an open-source Python toolbox to perform tomographic data processing and image reconstruction tasks at the Advanced Photon Source at Argonne National Laboratory. TomoPy toolbox is specifically designed to be easy to use and deploy at a synchrotron facility beamline. It supports reading many common synchrotron data formats from disk through Scientific Data Exchange,^[18] and includes several other processing algorithms commonly used for synchrotron data. TomoPy also includes several reconstruction algorithms, which can be run on multi-core workstations and large-scale computing facilities.^[19] The ASTRA Toolbox is a MATLAB and Python toolbox of high-performance GPU primitives for 2D and 3D tomography, from 2009 to 2014 developed by iMinds-Vision Lab, University of Antwerp and since 2014 jointly developed by iMinds-VisionLab (now imec-VisionLab), UAntwerpen and CWI, Amsterdam. The toolbox supports parallel, fan, and cone beam, with highly flexible source/detector positioning. A large number of reconstruction algorithms are available through TomoPy and the ASTRA toolkit, including FBP, Gridrec, ART, SIRT, SART, BART, CGLS, PML, MLEM and OSEM. In 2016, the ASTRA toolbox has been integrated in the TomoPy framework.^[20] By integrating the ASTRA toolbox in the TomoPy framework, the optimized GPU-based reconstruction methods become easily available for synchrotron beamline users, and users of the ASTRA toolbox can more easily read data and use TomoPy's other functionality for data filtering and artifact correction.

Gallery[edit]

Shown in the gallery is the complete process for a simple object tomography and the following tomographic reconstruction based on ART.

• Fig. 2: Phantom object, two kitty-corner squares.

• Fig. 3: Sinogram of the phantom object (Fig.2) resulting from tomography. 50 projection slices were taken over 180 degree angle, equidistantly sampled (only by coincidence the x-axis marks displacement at -50/50 units).

• Fig.4: ART based tomographic reconstruction of the sinogram of Fig.3, presented as animation over the iterative reconstruction process. The original object could be approximatively reconstructed, as the resulting image has some visual artifacts.

See also[edit]

• Operation of computed tomography#Tomographic reconstruction
• Cone beam reconstruction
• Industrial CT scanning
• Industrial Tomography Systems

References[edit]

Further reading[edit]

• Avinash Kak & Malcolm Slaney (1988), Principles of Computerized Tomographic Imaging, IEEE Press, ISBN 0-87942-198-3.
• Bruyant, P.P. "Analytic and iterative reconstruction algorithms in SPECT" Journal of Nuclear Medicine 43(10):1343-1358, 2002

External links[edit]

• Slaney, A. C. Kak and Malcolm. "Principles of Computerized Tomographic Imaging". Slaney.org. Retrieved 7 September 2018.
• Insight ToolKit; open source tomographic support software
• "TomoPy — TomoPy 1.1.3 documentation". Tomopy.readthedocs.org. Retrieved 7 September 2018.
• ASTRA (All Scales Tomographic Reconstruction Antwerp) toolbox; very flexible, fast and open source software for computed tomographic reconstruction
• NiftyRec; comprehensive open source tomographic reconstruction software; Matlab and Python scriptable
• Open-source tomographic reconstruction and visualization tool
• "ITS plc - Electrical Process Tomography For Industrial Visualization". Itoms.com. Retrieved 7 September 2018.