Топологии на пространствах линейных отображений

В математике , А линейное отображение является отображением X  →  Y между двумя модулями ( в том числе векторных пространств ) , который сохраняет операции сложения и скалярного умножения.

Изучая линейные карты между двумя модулями, можно понять их структуру. Если модули имеют дополнительную структуру, такую ​​как топологии или борнологии , то можно изучать подпространство линейных отображений, сохраняющих эту структуру.

Топологии равномерной сходимости на произвольных пространствах отображений [ править ]

Мы предполагаем следующее:

1. T - любое непустое множество, а 𝒢 - непустой набор подмножеств T, направленный включением подмножеств (т.е. для любых G , H ∈ 𝒢 существует некоторый K ∈ 𝒢, такой что G ∪ H ⊆ K ).
2. У является топологическим векторным пространство (не обязательно хаусдорфовы или локально выпуклым) и 𝒩 является основой окрестностей 0 в Y .
3. У ^Т обозначает множество всех Y значных функций с областью Т .
4. F - векторное подпространство в Y ^T (не обязательно состоящее из линейных отображений).

Определение и обозначения : для любых подмножеств G в X и N из Y пусть

" 𝒰 ( G , N ): = { f ∈ F  : f ( G ) ⊆ N  }.

Основные районы в исходной точке [ править ]

В дальнейшем предполагаем, что G ∈ 𝒢 и N ∈ 𝒩 .

Характеристики

• 𝒰 ( G , Н ) представляет собой поглощающее подмножество F тогда и только тогда , когда для всех F ∈ F , N абсорбирует ф ( G ) . ^[1]
• Если N является сбалансированным , то так 𝒰 ( G , Н ) . ^[1]
• Если N является выпуклым , то так 𝒰 ( G , Н ) .

Алгебраические отношения

• Для любого скалярного s , ев 𝒰 ( G , Н ) = 𝒰 ( G , Sn ) ; так, в частности, -𝒰 ( G , N ) = 𝒰 ( G , - N ) . ^[1]
• 𝒰 ( G ∪ H , M ∩ N ) ⊆ 𝒰 ( G , M ) ∩ 𝒰 ( Н , Н ) для любых подмножеств G и H из X и непустые подмножества M и N из Y . ^[2] Таким образом:
  • Если M ⊆ N, то 𝒰 ( G , M ) ⊆ 𝒰 ( G , N ) . ^[1]
  • Если G ⊆ H, то 𝒰 ( H , N ) ⊆ 𝒰 ( G , N ) .
  • Для любых M , N ∈ 𝒩 и подмножеств G , H , K в T , если G ∪ H ⊆ K, то 𝒰 ( K , M ∩ N ) ⊆ 𝒰 ( G , M ) ∩ 𝒰 ( H , N ) .
• 𝒰 (∅, N ) = F .
• 𝒰 ( G , N ) - 𝒰 ( G , N ) ⊆ 𝒰 ( G , N - N ) . ^[3]
• 𝒰 ( G , M ) + 𝒰 ( G , N ) ⊆ 𝒰 ( G , M + N ) . ^[2]
• Для любого семейства 𝒮 подмножеств Т , 𝒰 (∪S ∈ 𝒮 S , N ) =∩S ∈ 𝒮𝒰 ( S , N ) . ^[3]
• Для любой семьи ℳ окрестностей 0 в Y , 𝒰 ( G ,∩M ∈ ℳ M ) =∩M ∈ ℳ𝒰 ( G , M ) . ^[3]

𝒢 -топология [ править ]

Тогда множество {𝒰 ( G , N ): G ∈ 𝒢, N ∈ 𝒩 } образует базис окрестности ^[4] в начале координат для единственной трансляционно-инвариантной топологии на F , где эта топология не обязательно является векторной топологией (т. Е. он может не превратить F в TVS). Эта топология не зависит от окрестностей базиса 𝒩 , который было выбрана и известно как топология равномерной сходимости на множествах в 𝒢 или как 𝒢 -топология . ^[5] Однако это имя часто меняется в соответствии с типами множеств, составляющих 𝒢 (например, «топология равномерной сходимости на компактах» или «топология компактной сходимости», см. Сноску для более подробной информации ^[6] ).

Подмножество 𝒢 ₁ из 𝒢 называется фундаментальной относительно 𝒢 , если каждый G ∈ 𝒢 является подмножеством некоторого элемента в 𝒢 ₁ . В этом случае сбор 𝒢 может быть заменен 𝒢 ₁ без изменения топологии на F . ^[5] Можно также заменить 𝒢 с совокупностью всех подмножеств всех конечных объединений элементов 𝒢 без изменения в результате 𝒢 -топологии на F . ^[3]

Определение : ^[2] Вызов подмножество B из T F -ограничен , если F ( B ) представляет собой ограниченное подмножество Y для каждого F ∈ F .

Сети и равномерное схождение [ править ]

Определение : ^[2] Пусть F ∈ F , и пусть е _• = ( е _I ) _{я ∈ I} быть чистой в F . Тогда для любого подмножества G из Т , говорят , что е _• равномерно сходится к F на G , если для каждого N ∈ 𝒩 существует некоторая я ₀ ∈ I , что для любого I ∈ I , удовлетворяющий I ≥ я ₀, f _i - f ∈ 𝒰 ( G , N ) (или, что то же самое, f _i ( g ) - f ( g ) ∈ N для любого g ∈ G ).

Унаследованные свойства [ править ]

Локальная выпуклость

Если Y является локально выпуклым то и 𝒢 -топология на F , и если ( р _я ) _{я ∈ I} представляет собой семейство непрерывных полунорм , порождающих эту топологию на Y , то 𝒢 -топология индуцируется следующим семейством полунорм:

p _{G , i} (  f  ) = Как делаx ∈ G p _i (  f ( x )) ,

а G изменяется по 𝒢 и я меняется на я . ^[7]

Хаусдорфность

Если Y является Хаусдорфово и Т =∪G ∈ 𝒢 G тогда 𝒢 -топология на F отделимо. ^[2]

Предположим, что T - топологическое пространство. Если Y является Хаусдорфом и F является векторным подпространством Y ^T , состоящим из всех непрерывных отображений, ограниченные на каждом G ∈ 𝒢 и если∪G ∈ 𝒢 G плотна в T, то 𝒢 -топология на F хаусдорфова.

Ограниченность

Подмножество Н из F является ограниченным в 𝒢 -топологией тогда и только тогда , когда для каждого G ∈ 𝒢 , Н ( G ): =∪h ∈ H ч ( G ) ограничена в Y . ^[7]

Примеры 𝒢-топологий [ править ]

Поточечная сходимость

Если обозначить 𝒢 множеством всех конечных подмножеств T, то 𝒢 -топология на F называется топологией поточечной сходимости . Топология поточечной сходимости на F идентична топологии подпространства, которую F наследует от Y ^T, когда Y ^T наделен обычной топологией произведения .

Если X является нетривиальным вполне регулярное хаусдорфово топологическое пространство и С ( Х ) является пространством всех действительных (или комплексных) значных непрерывных функций на X , топология поточечной сходимости на С ( Х ) является метризуемым тогда и только тогда , когда X счетно. ^[2]

𝒢-топологии на пространствах непрерывных линейных отображений [ править ]

В этом разделе мы будем предполагать, что X и Y - топологические векторные пространства . 𝒢 будет непустым набором подмножеств X, направленным включением.

Обозначения : L ( X ; Y ) будет обозначать векторное пространство всех непрерывных линейных отображений из X во Y . Если L ( X ; Y ) задана 𝒢 -топология, унаследованная от Y ^X, то это пространство с этой топологией обозначается L _𝒢 ( X , Y ) .

Обозначение : Непрерывное двойственное пространство топологического векторного пространства X над полем 𝔽 (которое мы будем считать действительным или комплексным числом ) является векторным пространством L ( X ; 𝔽) и обозначается X ' .

𝒢 -топология на L ( X ; Y ) совместим с векторным пространственной структуры L ( X ; Y ) , если и только если для всех G ∈ 𝒢 и всех ф ∈ L ( X , Y ) множество F ( G ) ограничено в Y , что мы будем предполагать так до конца статьи. Обратите внимание , что , в частности , это имеет место , если 𝒢 состоит из (фон Неймана)-ограниченных подмножеств X .

Предположения на 𝒢 [ править ]

Предположения, гарантирующие векторную топологию

Предположение ( 𝒢 направлено): 𝒢 будет непустое семейство подмножеств X направлено на (подмножества) включения. То есть, для любого G , H ∈ 𝒢 , существует K ∈ 𝒢 таким образом, что G ∪ H ⊆ K .

Сделанное выше предположение гарантирует, что набор множеств 𝒰 ( G , N ) образует базу фильтра . Следующее предположение будет гарантировать , что множества 𝒰 ( G , Н ) являются сбалансированы . Каждая TVS имеет базис окрестности в 0, состоящий из сбалансированных множеств, так что это предположение не является обременительным.

Предположение ( N ∈ 𝒩 сбалансированы): 𝒩 - базис окрестностей 0 в Y , полностью состоящий из сбалансированных множеств.

Следующее предположение делается очень часто, поскольку оно гарантирует, что каждое множество 𝒰 ( G , N ) поглощает в L ( X ; Y ) .

Предположение ( G ∈ 𝒢 ограничены): 𝒢 предполагается полностью состоит из ограниченных подмножеств X .

Другие возможные предположения

Следующая теорема дает способы , в которых 𝒢 может быть изменен без изменения в результате 𝒢 -топологии на Y .

Общие предположения

Некоторые авторы (например , Narici) требуют , чтобы 𝒢 удовлетворяет следующее условие, что подразумевает, в частности, что 𝒢 будет направлен на включении подмножества:

𝒢 предполагается , должны быть закрыты по отношению к образованию подмножеств конечных объединений множеств в 𝒢 (т.е. каждое подмножество любого конечного объединения множеств в 𝒢 принадлежит 𝒢 ).

Некоторые авторы (например, Трев) требуют, чтобы 𝒢 было направлено при включении подмножества и удовлетворяло следующему условию:

Если G ∈ 𝒢 и s является скаляром , то существует Н ∈ 𝒢 такое , что Sg ⊆ H .

Если 𝒢 является борнология на X , что часто бывает, то эти аксиомы. Если 𝒢 является насыщенным семейством из ограниченных подмножеств X , то эти аксиомы также удовлетворены.

Свойства [ править ]

Хаусдорфность

Определение : ^[8] Если T является TVS , то мы говорим , что 𝒢 является тотально в T , если линейная оболочка из∪G ∈ 𝒢 G плотно в Т .

Если Р есть векторное подпространство У ^Т , состоящий из всех непрерывных линейных отображений, ограниченные на каждом G ∈ 𝒢 , то 𝒢 -топология на F отделима , если Y отделим и 𝒢 тотально в T . ^[1]

Полнота

Для следующих теорем предположим, что X - топологическое векторное пространство, Y - локально выпуклые хаусдорфовы пространства, а 𝒢 - набор ограниченных подмножеств X , покрывающий X , управляемый включением подмножеств и удовлетворяющий следующему условию: если G ∈ 𝒢 и s является скаляром , то существует Н ∈ 𝒢 такое , что Sg ⊆ H .

• L _𝒢 ( X ; Y ) полно, если
  1. X локально выпукло и хаусдорфово,
  2. Y полный, и
  3. если u  : X → Y - линейное отображение, то u, ограниченное на каждое множество G ∈ 𝒢 , непрерывно, влечет, что u непрерывно,
• Если X - пространство Макки, то L _𝒢 ( X ; Y ) полно тогда и только тогда, когда оба и Y полны.${\ Displaystyle X _ {\ mathcal {G}} ^ {\ prime}}$
• Если Х является ствол , то L _𝒢 ( X ; Y ) отделим и квази-полным .
• Пусть X и Y быть TVSS с Y квазиполное и предположим , что (1) X является стволом , либо (2) X является пространством Бэра и X и Y локально выпукло. Если 𝒢 покрывает X, то каждое замкнутое равностепенно непрерывное подмножество L ( X ; Y ) полно в L _𝒢 ( X ; Y ) и L _𝒢 ( X ; Y ) квазиполно.^[9]
• Пусть X - борнологическое пространство , Y - локально выпуклое пространство и 𝒢 - семейство ограниченных подмножеств X таких, что образ каждой нулевой последовательности в X содержится в некотором G ∈ 𝒢 . Если Y является квазиполным (. , Соответственно в комплекте) , то так л _𝒢 ( Х ; Y ) . ^[10]

Ограниченность

Пусть X и Y - топологические векторные пространства, а H - подмножество L ( X ; Y ) . Тогда следующие варианты эквивалентны: ^[7]

1. Н является ограниченным в L _𝒢 ( X ; Y ) ;
2. Для каждого G ∈ 𝒢 , Н ( G ): =∪h ∈ H h ( G ) ограничен в Y ; ^[7]
3. Для любой окрестности V точки 0 в Y множество∩h ∈ H h  ⁻¹ ( V ) поглощает каждую G ∈ 𝒢 .

Более того,

• Если X и Y являются локально выпуклыми хаусдорфовыми пространствами и если H ограничено в L _𝜎 ( X ; Y ) (то есть поточечно ограничено или просто ограничено), то оно ограничено в топологии равномерной сходимости на выпуклых, сбалансированных, ограниченных, полных подмножествах из X . ^[11]
• Если X и Y - локально выпуклые хаусдорфовы пространства и если X квазиполно (т. Е. Полны замкнутые и ограниченные подмножества), то ограниченные подмножества L ( X ; Y ) идентичны для всех 𝒢 -топологий, где 𝒢 - любое семейство ограниченные подмножества X , покрывающей X . ^[11]
• Если 𝒢 любая совокупность ограниченных подмножеств X , объединение которых тотально в X , то каждый эквинепрерывно подмножество L ( X ; Y ) ограничена в 𝒢 -топологией. ^[9]

Примеры [ править ]

Топология поточечной сходимости L _σ ( X ; Y ) [ править ]

Если обозначить 𝒢 множеством всех конечных подмножеств X , L ( X ; Y ) будет иметь слабую топологию на L ( X ; Y ) или топологию поточечной сходимости, или топологию простой сходимости и L ( X ; Y ) с этой топологией обозначается L _𝜎 ( X ; Y ) . К сожалению, эту топологию также иногда называют сильной операторной топологией , что может привести к неоднозначности; ^[1] по этой причине в данной статье мы не будем называть эту топологию таким именем.

Определение : Подмножество L ( X ; Y ) называется просто ограниченным или слабо ограниченным, если оно ограничено в L _𝜎 ( X ; Y ) .

Слабая топология на L ( X ; Y ) обладает следующими свойствами:

• Если Х является разъемной (т.е. имеет счетное плотное подмножество) и , если Y представляет собой метризуемое топологическое векторное пространство , то каждое эквинепрерывно подмножество Н из L _сга ( X ; Y ) метризуемо; если вдобавок Y отделим, то H тоже . ^[12]
  • Так, в частности, на каждом равностепенно непрерывном подмножестве L ( X ; Y ) топология поточечной сходимости метризуема.
• Пусть Y ^X обозначает пространство всех функций из X в Y . Если L ( X ; Y ) даются топология поточечной сходимости затем пространство всех линейных отображений (непрерывных или нет) X в Y замкнуто в Y ^X .
  • Кроме того, L ( X ; Y ) плотно в пространстве всех линейных отображений (непрерывных или нет) X в Y .
• Предположим, что X и Y локально выпуклые. Любое просто ограниченное подмножество L ( X ; Y ) ограничена , когда L ( X ; Y ) имеет топологию равномерной сходимости на выпуклых, сбалансированных , ограниченных, полных подмножеств X . Если в дополнении Х являются квазиполной тогда семейства ограниченных подмножеств L ( X ; Y ) являются одинаковыми для всех 𝒢 -топологий на L ( X ; Y ) таким образом, что 𝒢семейство ограниченных множеств , покрывающих X . ^[11]

Равнепрерывные подмножества

• Слабое замыкание равностепенно непрерывного подмножества в L ( X ; Y ) равностепенно непрерывно.
• Если Y локально выпуклый, то выпуклая сбалансированная оболочка равностепенно непрерывного подмножества L ( X ; Y ) равностепенно непрерывна.
• Пусть X и Y быть TVSS и предположим , что (1) X является стволом , либо (2) X является пространством Бэра и X и Y локально выпукло. Тогда любое просто ограниченное подмножество L ( X ; Y ) равностепенно непрерывно. ^[9]
• На равностепенно непрерывном подмножестве H в L ( X ; Y ) следующие топологии идентичны: (1) топология поточечной сходимости на тотальном подмножестве X ; (2) топология поточечной сходимости; (3) топология предкомпактной сходимости. ^[9]

Компактная сходимость L _c ( X ; Y ) [ править ]

Если обозначить 𝒢 множеством всех компактных подмножеств X , то L ( X ; Y ) будет иметь топологию компактной сходимости или топологию равномерной сходимости на компактах, а L ( X ; Y ) с этой топологией обозначим L _c ( X ; Y ) .

Топология компактной сходимости на L ( X ; Y ) обладает следующими свойствами:

• Если X - пространство Фреше или LF-пространство и если Y - полное локально выпуклое хаусдорфово пространство, то L _c ( X ; Y ) полно.
• На равностепенно непрерывных подмножествах L ( X ; Y ) совпадают следующие топологии:
  • Топология поточечной сходимости на плотном подмножестве X ,
  • Топология поточечной сходимости на X ,
  • Топология компактной сходимости.
  • Топология предкомпактной сходимости.
• Если X - пространство Монтеля, а Y - топологическое векторное пространство, то L _c ( X ; Y ) и L _b ( X ; Y ) имеют идентичные топологии.

Топология ограниченной сходимости L _b ( X ; Y ) [ править ]

Если обозначить 𝒢 множеством всех ограниченных подмножеств X , то L ( X ; Y ) будет иметь топологию ограниченной сходимости на X или топологию равномерной сходимости на ограниченных множествах, а L ( X ; Y ) с этой топологией обозначается через L _b ( X ; Y ) . ^[1]

Топология ограниченной сходимости на L ( X ; Y ) обладает следующими свойствами:

• Если Х представляет собой борнологическое пространство и , если Y представляет собой полное отделимое локально выпуклое пространство , то L _Ь ( X ; Y ) является полным.
• Если X и Y оба нормированные пространства, то топология на L ( X ; Y ), индуцированная обычной операторной нормой, идентична топологии на L _b ( X ; Y ) . ^[1]
  • В частности, если X - нормированное пространство, то топология обычной нормы на непрерывном сопряженном пространстве X  ' идентична топологии ограниченной сходимости на X  ' .
• Любое равностепенно непрерывное подмножество L ( X ; Y ) ограничено в L _b ( X ; Y ) .

Полярные топологии [ править ]

Всюду мы предполагаем, что X - TVS.

𝒢 -топологии в сравнении с полярными топологиями [ править ]

Если X является TVS , чьи ограниченные подмножества точно так же , как его слабо ограниченных подмножеств (например , если X хаусдорфово локально выпуклое пространство), то 𝒢 -топология на X ' (как определено в этой статье) является полярная топология и наоборот , любая полярная топология, если 𝒢 -топология. Следовательно, в этом случае результаты, упомянутые в этой статье, могут быть применены к полярным топологиям.

Однако, если X - TVS, ограниченные подмножества которого не совсем то же самое, что и его слабо ограниченные подмножества, то понятие «ограниченного в X » сильнее, чем понятие « σ ( X , X ' ) -ограниченного в X » ( т.е. ограничена в X влечет а ( X , X « ) -ОГРАНИЧЕННЫМ в X ) , так что 𝒢 -топология на X » (как определено в этой статье) является необязательно полярная топология. Одно важное отличие состоит в том, что полярные топологии всегда локально выпуклы, в то время как top -топологии не обязательно.

Полярные топологии дают более сильные результаты, чем более общие топологии равномерной сходимости, описанные в этой статье, и мы отсылаем прочитанное к основной статье: полярная топология . Мы перечисляем здесь некоторые из наиболее распространенных полярных топологий.

Список полярных топологий [ править ]

Предположим, что X - TVS, ограниченные подмножества которого такие же, как и его слабо ограниченные подмножества.

Обозначение : Если 𝛥 ( Y , X ) обозначает полярную топологию на Y, то Y, наделенный этой топологией, будет обозначаться Y _{𝛥 ( Y , X )} или просто Y _𝛥 (например, для σ ( Y , X ) мы будем иметь 𝛥 = σ, так что Y _{σ ( Y , X )} и Y _σ обозначают Y с σ ( Y , X ) ).

𝒢-ℋ -топологии на пространствах билинейных отображений [ править ]

Обозначим через ℬ ( X , Y ; Z ) пространство раздельно непрерывных билинейных отображений, а через B ( X , Y ; Z ) - пространство непрерывных билинейных отображений, где X , Y и Z - топологические векторные пространства над одним и тем же поле (действительные или комплексные числа). Аналогично тому, как мы разместили топологию на L ( X ; Y ), мы можем разместить топологию на ( X , Y ; Z ) и B ( X, Y ; Z ) .

Пусть 𝒢 (соответственно ℋ ) - семейство подмножеств X (соответственно Y ), содержащее хотя бы одно непустое множество. Обозначим через 𝒢 × ℋ совокупность всех множеств G × H, где G ∈ 𝒢 , H ∈ ℋ . Мы можем разместить на Z ^{X × Y} в 𝒢 × ℋ -топология, и , следовательно , на любой из его подмножеств, в частности по B ( X , Y , Z ) и на ℬ ( X , Y , Z ). Эта топология называется 𝒢-ℋ -топологией или как топологией равномерной сходимости на продуктах G × H из 𝒢 × ℋ .

Однако, как и раньше, эта топология не обязательно совместима со структурой векторного пространства ( X , Y ; Z ) или B ( X , Y ; Z ) без дополнительного требования, что для всех билинейных отображений b в этом пространстве ( т.е. в ℬ ( X , Y ; Z ) или в B ( X , Y ; Z ) ) и для всех G ∈ 𝒢 и H ∈ ℋ множество b ( G, Н ) ограничена в X . Если и 𝒢, и ℋ состоят из ограниченных множеств, то это требование автоматически выполняется, если мы топологизируем B ( X , Y ; Z ), но это может быть не так, если мы пытаемся топологизировать ℬ ( X , Y ; Z ) . 𝒢-ℋ -топология на ℬ ( X , Y ; Z ) будет совместим с векторным пространственной структурой ℬ ( X , Y ;Z ) , если оба 𝒢 и ℋ состоит из ограниченных множеств и любое из следующих условий:

• X и Y - это бочкообразные пространства, а Z локально выпуклая.
• X - F-пространство , Y - метризуемо, а Z - хаусдорфово, и в этом случае ℬ ( X , Y ; Z ) = B ( X , Y ; Z ) .
• X , Y и Z - сильные двойники рефлексивных пространств Фреше.
• X нормировано, а Y и Z - сильные двойники рефлексивных пространств Фреше.

Ε-топология [ править ]

Предположим, что X , Y и Z - локально выпуклые пространства, и пусть 𝒢 ' и ℋ  ' - наборы равностепенно непрерывных подмножеств X ' и Y ' соответственно. Тогда 𝒢 « -ℋ  » -топология на будет топологическое векторное пространство топологии. Эта топология называется ε-топологией и обозначается в этой топологии через или просто через .${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (X_ {b \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)} ^ {\ prime}, Y_ {b \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)} ^ {\ prime}; Z \ right)}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (X_ {b \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)} ^ {\ prime}, Y_ {b \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}; Z \ right)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$

Отчасти важность этого векторного пространства и этой топологии заключается в том, что оно содержит много подпространств, таких как , которые мы обозначаем через . Когда это подпространство задано, его топология обозначается .${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right)}$

В случае , когда Z представляет собой поле этих векторных пространств, является тензорное произведение из X и Y . Фактически, если X и Y - локально выпуклые хаусдорфовы пространства, то изоморфно векторному пространству , которое, в свою очередь, равно .${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$${\displaystyle L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y_{\sigma (Y^{\prime },Y)}\right)}$${\displaystyle L\left(X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y\right)}$

Эти пространства обладают следующими свойствами:

• Если X и Y - локально выпуклые хаусдорфовы пространства, то ℬ _ε полно тогда и только тогда, когда и X, и Y полны.${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$
• Если X и Y оба нормированы (или оба банаховы), то так же${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$

См. Также [ править ]

• Борнологическое пространство  - топологическое векторное пространство, в котором любой линейный ограниченный оператор в другое пространство всегда непрерывен.
• Ограниченный линейный оператор
• Двойная система
• Двойная топология
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Норма оператора  - мера «размера» линейных операторов.
• Полярная топология  - топология двойного пространства с равномерной сходимостью на некотором поднаборе ограниченных подмножеств.
• Сильное двойственное пространство  - Непрерывное двойственное пространство, наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах.
• Сильная топология (полярная топология)  - топология двойного пространства с равномерной сходимостью на ограниченных подмножествах
• Топологическое векторное пространство  - Векторное пространство с понятием близости.
• Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
• Равномерная сходимость
• Равномерное пространство  - Топологическое пространство с понятием однородных свойств.
• Слабая топология  - топология, в которой сходимость точек определяется сходимостью их образа при непрерывных линейных функционалах.

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ . Амстердам: North-Holland Publishing Co., стр. Xii + 144. ISBN 0-7204-0712-5. Руководство по ремонту  0500064 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .