u -инвариантный

В математике , то универсальный инвариант или у - инвариант из поля описывает структуру квадратичных форм над полем.

Универсальный инвариант u ( F ) поля F - это наибольшая размерность анизотропного квадратичного пространства над F или ∞, если его не существует. Поскольку формально действительные поля имеют анизотропные квадратичные формы (суммы квадратов) в каждом измерении, инвариант представляет интерес только для других полей. Эквивалентная формулировка является то , что у есть наименьшее число такое , что каждая форма размерности больше у является изотропным , или , что каждая форма размерности по крайней мере , у является универсальным .

Примеры [ править ]

Для комплексных чисел , у ( С ) = 1.
Если Р является квадратично закрыт , то у ( Р ) = 1.
Функциональное поле алгебраической кривой над алгебраически замкнутым полем имеет u ≤ 2; это следует из теоремы Цена о квазиалгебраической замкнутости такого поля . ^[1]
Если F - нереальное глобальное или локальное поле , или, в более общем смысле, связанное поле , тогда u ( F ) = 1, 2, 4 или 8. ^[2]

Свойства [ править ]

Если Р формально не реальный и характеристика F не является 2 , то у ( Р ) не более чем , индекс квадратов в мультипликативной группе из F . ^[3] ${\ displaystyle q (F) = \ left | {F ^ {\ star} / F ^ {\ star 2}} \ right |}$
u ( F ) не может принимать значения 3, 5 или 7. ^[4] Существуют поля с u = 6 ^[5]^[6] и u = 9. ^[7]
Меркурьев показал , что каждый даже целое число , возникает как значение U ( F ) для некоторого F . ^[8]^[9]
Александр Вишик доказал, что есть поля с u -инвариантными для всех . ^[10] ${\ displaystyle 2 ^ {r} +1}$ ${\ displaystyle r> 3}$
У -инвариантного ограниченно под конече степенью расширения полей . Если E / F - расширение поля степени n, то

{\ Displaystyle и (Е) \ Leq {\ гидроразрыва {п + 1} {2}} и (F) \.}

В случае квадратичных расширений u -инвариант ограничен величиной

{\ Displaystyle и (F) -2 \ leq u (E) \ leq {\ frac {3} {2}} и (F) \}

и достигаются все значения в этом диапазоне. ^[11]

Общий u -инвариант [ править ]

Поскольку у -инвариантным мало интересует в случае формально вещественных полей, определим общее у - инвариант быть максимальный размер анизотропной формы в подгруппе кручения в кольце Витта из F , или ∞ , если это не существовать. ^[12] Для неформально-вещественных полей кольцо Витта является торсионным, так что это согласуется с предыдущим определением. ^[13] Для формально вещественного поля общий u -инвариант либо четен, либо ∞.

Свойства [ править ]

u ( F ) ≤ 1 тогда и только тогда, когда F - пифагорово поле . ^[13]

Ссылки [ править ]

^ Lam (2005) p.376
^ Lam (2005) p.406
^ Лам (2005) стр. 400
^ Лам (2005) стр. 401
^ Lam (2005) p.484
^ Lam, TY (1989). «Поля u-инварианта 6 по А. Меркурьеву». Теория колец 1989. В честь С.А. Амицура, Proc. Symp. и семинар, Иерусалим 1988/89 . Israel Math. Конф. Proc. 1 . С. 12–30. Zbl 0683.10018 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
↑ Ижболдин, Олег Т. (2001). «Поля u-инварианта 9». Анналы математики . Вторая серия. 154 (3): 529–587. DOI : 10.2307 / 3062141 . JSTOR 3062141 . Zbl 0998.11015 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
^ Лам (2005) стр. 402
^ Эльман, Карпенко, Меркурьев (2008) с. 170
^ Вишик, Александр (2009). «Поля u -инвариантности ». Алгебра, арифметика и геометрия. Успехи в математике . Birkhäuser Boston. DOI : 10.1007 / 978-0-8176-4747-6_22 . ${\ displaystyle 2 ^ {r} +1}$
^ Минач, Ян; Уодсворт, Адриан Р. (1995). «U-инвариант для алгебраических расширений». В Розенберге, Алекс (ред.). K-теория и алгебраическая геометрия: связи с квадратичными формами и алгебрами с делением. Летний научно-исследовательский институт квадратичных форм и алгебр с делением, 6-24 июля 1992 г., Калифорнийский университет, Санта-Барбара, Калифорния (США) . Proc. Symp. Чистая математика. 58 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 333–358. Zbl 0824.11018 .
^ Лам (2005) стр. 409
^ а б Лам (2005) стр. 410

Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . 67 . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. Руководство по ремонту 2104929 . Zbl 1068.11023 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
Раджваде, АР (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. 171 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .
Элман, Ричард; Карпенко, Никита; Меркурьев, Александр (2008). Алгебраическая и геометрическая теория квадратичных форм . Публикации коллоквиума Американского математического общества. 56 . Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-0-8218-4329-1.

[Lam376-1] Lam (2005) p.376

[Lam406-2] Lam (2005) p.406

[Lam400-3] Лам (2005) стр. 400

[Lam401-4] Лам (2005) стр. 401

[Lam484-5] Lam (2005) p.484

[Lam1989-6] Lam, TY (1989). «Поля u-инварианта 6 по А. Меркурьеву». Теория колец 1989. В честь С.А. Амицура, Proc. Symp. и семинар, Иерусалим 1988/89 . Israel Math. Конф. Proc. 1 . С. 12–30. Zbl 0683.10018 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )

[7] Ижболдин, Олег Т. (2001). «Поля u-инварианта 9». Анналы математики . Вторая серия. 154 (3): 529–587. DOI : 10.2307 / 3062141 . JSTOR 3062141 . Zbl 0998.11015 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )

[Lam402-8] Лам (2005) стр. 402

[ELM170-9] Эльман, Карпенко, Меркурьев (2008) с. 170

[10] Вишик, Александр (2009). «Поля u -инвариантности ». Алгебра, арифметика и геометрия. Успехи в математике . Birkhäuser Boston. DOI : 10.1007 / 978-0-8176-4747-6_22 . ${\ displaystyle 2 ^ {r} +1}$

[11] Минач, Ян; Уодсворт, Адриан Р. (1995). «U-инвариант для алгебраических расширений». В Розенберге, Алекс (ред.). K-теория и алгебраическая геометрия: связи с квадратичными формами и алгебрами с делением. Летний научно-исследовательский институт квадратичных форм и алгебр с делением, 6-24 июля 1992 г., Калифорнийский университет, Санта-Барбара, Калифорния (США) . Proc. Symp. Чистая математика. 58 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 333–358. Zbl 0824.11018 .

[Lam409-12] Лам (2005) стр. 409

[Lam410-13] а б Лам (2005) стр. 410

[1]