Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , Теневой самогон таинственная связь между Niemeier решетками и Рамануджаном «s фиктивной тетой - функциями . Это обобщение феномена самогона Матье, связывающее представления группы Матье M24 с поверхностями K3 .

Матье самогон [ править ]

Предыстория самогона Матье начинается с теоремы Мукаи, утверждающей, что любая группа симплектических автоморфизмов поверхности K3 вкладывается в группу Матье M23. Наблюдение за самогоном возникло из физических соображений: любая конформная теория поля сигма-модели K3 имеет действие N = (4,4) суперконформной алгебры , возникающее из гиперкэлеровой структуры. Когда Тору Егучи, Хироси Оогури и Юджи Тачикава ( 2011 ) вычислили первые несколько членов разложения эллиптического рода K3 CFT на характеры суперконформной алгебры N = (4,4), они обнаружили, что кратности хорошо совпадают с простыми комбинациями представлений M24. Однако по классификации Мукаи – Кондо нет точных действий.этой группы на любой K3-поверхности симплектическими автоморфизмами , и по работе Габердиля – Хоэнеггера – Вольпато, нет точного действия на любой K3 CFT, поэтому появление действия на лежащем в основе гильбертовом пространстве все еще остается загадкой.

Эгучи и Хиками показали, что множественности N = (4,4) являются фиктивными модульными формами, а Миранда Ченг предположила, что символы элементов M24 также должны быть фиктивными модульными формами. Это предположение стало гипотезой Матье Самогона, утверждающей, что виртуальное представление N = (4,4), заданное эллиптическим родом K3, является бесконечномерным градуированным представлением M24 с неотрицательной кратностью в массивном секторе, и что характеры макет модульных форм. В 2012 году Терри Гэннон доказал, что представление M24 существует.

Темный самогон [ править ]

В 2012 году Ченг, Дункан и Харви (2012) собрали численные свидетельства расширения самогона Матье, где к делителям числа 24 были присоединены семейства имитирующих модульных форм. После некоторого теоретико-группового обсуждения с Глауберманом, Ченг, Дункан и Харви (2013) ) обнаружил, что это более раннее расширение было частным случаем (A-серия) более естественного кодирования решетками Нимейера. Для каждой корневой системы Нимейера X с соответствующей решеткой L X они определили умбральную группу G X , заданную фактором группы автоморфизмов L X по подгруппе отражений - они также известны как стабилизаторы глубоких дыр в пространстве.Решетка пиявки . Они предположили, что для каждого X существует бесконечномерное градуированное представление K X группы G X , такое, что характеры элементов задаются списком векторнозначных фиктивных модульных форм, которые они вычислили. Формы-кандидаты удовлетворяют свойствам минимальности, очень похожим на условие нулевого рода для чудовищного самогона . Эти свойства минимальности подразумевают, что фиктивные модульные формы однозначно определяются своими тенями, которые являются векторными тета-рядами, построенными из корневой системы. Частный случай, когда X - это A 1 24корневая система дает именно Матье Самогон. Гипотеза темного самогона была доказана в Duncan, Griffin & Ono (2015) .

Название темного самогона происходит от использования теней в теории имитирующих модульных форм. Другим связанным с лунным светом словам, таким как `` яркость '', были приданы технические значения (в данном случае группа нулевого рода, прикрепленная к тени S X , уровень которой является двойным числом Кокстера корневой системы X ) Ченг, Дункан и Харви, чтобы продолжу тему.

Хотя гипотеза о мрачном самогоне исчерпана, остается еще много вопросов. Например, связи с геометрией и физикой все еще не очень прочны, хотя есть работа Ченга и Харрисона, связывающая умбральные функции с сингулярностями Дюваля на поверхностях K3. В качестве другого примера, текущее доказательство гипотезы мрачного самогона неэффективно в том смысле, что оно не дает естественных построений представлений. Это похоже на ситуацию с чудовищным самогоном в 1980-х годах: Аткин, Фонг и Смит с помощью вычислений показали, что модуль самогона существует в 1980 году, но не дали конструкции. Эффективное доказательство гипотезы Конвея-Нортона было дано Борчердсом в 1992 году с использованием представления монстра, построенного Френкелем, Леповски и Меурманом.Существует конструкция вершинной алгебры дляE 8 3 случай Дункана и Харви, где G X - симметрическая группа S 3 . Однако алгебраическая структура задается конструкцией асимметричного склеивания конусов, что предполагает, что это не последнее слово.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Cheng, Miranda CN ; Дункан, Джон FR; Харви, Джеффри А. (2012), Umbral Moonshine , arXiv : 1204.2779 , Bibcode : 2012arXiv1204.2779C
  • Cheng, Miranda CN ; Дункан, Джон FR; Харви, Джеффри А. (2013), Umbral Moonshine , arXiv : 1307.5793 , Bibcode : 2013arXiv1307.5793C
  • Дункан, Джон FR; Гриффин, Майкл Дж .; Оно, Кен (10 декабря 2015 г.), «Доказательство гипотезы о тёмном самогоне», Исследования в области математических наук , 2 (1), arXiv : 1503.01472 , doi : 10.1186 / s40687-015-0044-7
  • Егучи, Тору; Хиками, Кадзухиро (2009), «Суперконформные алгебры и фиктивные тета-функции», Журнал физики A: математические и теоретические , 42 (30): 531–554, arXiv : 0904.0911 , Bibcode : 2009JPhA ... 42D4010E , doi : 10.1088 / 1751-8113 / 42/30/304010 , ISSN  1751-8113 , MR  2521329
  • Егучи, Тору; Хиками, Казухиро (2009), «Суперконформные алгебры и фиктивные тета-функции. II. Разложение Радемахера для поверхности K3» , Коммуникации в теории чисел и физике , 3 (3): 531–554, arXiv : 0904.0911 , doi : 10.4310 / cntp. 2009.v3.n3.a4 , ISSN  1931-4523 , MR  2591882
  • Егучи, Тору; Оогури, Хироси; Тачикава, Юдзи (2011), "Заметки на поверхности K3 и Матье группы M₂₄", Экспериментальная Математика , 20 (1): 91-96, Arxiv : 1004,0956 , DOI : 10,1080 / 10586458.2011.544585 , ISSN  1058-6458 , М.Р.  2802725

Внешние ссылки [ править ]

  • Математики Чейз Тень Самогона