Определяемое действительное число

Неформально определимое действительное число — это действительное число , которое может быть однозначно определено его описанием. Описание может быть выражено в виде конструкции или формулы формального языка . Например, положительный квадратный корень из 2 может быть определен как единственное положительное решение уравнения и может быть построен с помощью циркуля и линейки.${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ Displaystyle х ^ {2} = 2}$

Различные варианты формального языка или его интерпретации порождают различные понятия определимости. Конкретные разновидности определимых чисел включают конструируемые числа геометрии, алгебраические числа и вычислимые числа . Поскольку формальные языки могут иметь только счетное количество формул, каждое понятие определимых чисел имеет самое большее счетное количество определимых действительных чисел. Однако, согласно диагональному аргументу Кантора , существует несчетное количество действительных чисел, поэтому почти каждое действительное число неопределимо.

Один из способов указания действительного числа использует геометрические методы. Вещественное число является конструктивным числом, если существует метод построения отрезка длины с помощью циркуля и линейки, начиная с фиксированного отрезка длины 1.${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle г}$

Каждое положительное целое число и каждое положительное рациональное число можно построить. Положительный квадратный корень из 2 можно построить. Однако кубический корень из 2 построить невозможно; это связано с невозможностью удвоения куба .

Вещественное число называется действительным алгебраическим числом , если существует многочлен только с целыми коэффициентами, так что это корень из , то есть . Каждое действительное алгебраическое число можно определить индивидуально, используя отношение порядка вещественных чисел. Например, если многочлен имеет 5 действительных корней, третий можно определить как единственный такой, что и такой, что существует два различных числа, меньше которых равен нулю.${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle р (х)}$${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle р}$${\ Displaystyle р (г) = 0}$${\ Displaystyle д (х)}$${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle д (г) = 0}$${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle д}$

Все рациональные числа алгебраичны, и все конструктивные числа алгебраичны. Есть числа, такие как кубический корень из 2, которые являются алгебраическими, но не поддаются построению.

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длины 1 и, следовательно, является конструктивным числом .

Алгебраические числа на комплексной плоскости , окрашенные в степени (красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, желтый = 4)