Векторная авторегрессия

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Векторная авторегрессия ( VAR ) - это статистическая модель, используемая для определения взаимосвязи между несколькими величинами по мере их изменения во времени. VAR - это разновидность модели стохастического процесса . Модели VAR обобщают модель авторегрессии с одной переменной (одномерной) , допуская многомерные временные ряды . VAR-модели часто используются в экономике и естественных науках .

Как и в модели авторегрессии, каждая переменная имеет уравнение, моделирующее ее эволюцию во времени. Это уравнение включает запаздывающие (прошлые) значения переменной , запаздывающие значения других переменных в модели и член ошибки . Модели VAR не требуют стольких знаний о силах, влияющих на переменную, как структурные модели с одновременными уравнениями . Единственное необходимое предварительное знание - это список переменных, которые, как можно предположить, будут влиять друг на друга с течением времени.

Спецификация [ править ]

Этот раздел включает список ссылок , связанных материалов для чтения или внешних ссылок , но его источники остаются неясными, поскольку в нем отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Определение [ править ]

Модель VAR описывает эволюцию набора k переменных, называемых эндогенными переменными , во времени. Каждый период времени пронумерован, т = 1, ..., т . В K переменные моделируются как линейная функция только их прошлых значений. Переменные собраны в вектор , у _т , что длины к. (Эквивалентно этот вектор может быть описан как ( k  × 1) - матрица. ) Компоненты вектора обозначаются как y _{i , t} , что означает наблюдение в момент времени t.о я - й переменной. Например, если первая переменная в модели измеряет цену на пшеницу с течением времени, тогда _1,1998 y укажет цену на пшеницу в 1998 году.

Модели VAR характеризуются своим порядком , который относится к количеству более ранних периодов времени, которые модель будет использовать. Продолжая приведенный выше пример, VAR 5-го порядка будет моделировать цену на пшеницу каждого года как линейную комбинацию цен на пшеницу за последние пять лет. Отставание является значением переменной в предыдущий период времени. Таким образом, в общем случае VAR p- го порядка относится к модели VAR, которая включает запаздывания для последних p периодов времени. Р - го порядка ВАР обозначается «Var ( р )» , а иногда называют «ВДП с р запаздываний». Р модель ВАР го порядка записывается в виде

${\ displaystyle y_ {t} = c + A_ {1} y_ {t-1} + A_ {2} y_ {t-2} + \ cdots + A_ {p} y_ {tp} + e_ {t}, \ ,}$

Переменные вида y _{t −i} указывают, что значение переменной на i периодов времени раньше, и называются «i- м запаздыванием» y _t . Переменная с является к -векторным константам , обслуживающим как перехват модели. A _i - это инвариантная во времени ( k  ×  k ) -матрица, а e _t - k -вектор членов ошибок . Условия ошибки должны удовлетворять трем условиям:

1. ${\ Displaystyle \ mathrm {E} (е_ {т}) = 0 \,}$. Каждый член ошибки имеет нулевое среднее значение .
2. ${\ displaystyle \ mathrm {E} (e_ {t} e_ {t} ') = \ Omega \,}$. Одновременная ковариационная матрица условий ошибки - это положительно-полуопределенная матрица размера k  ×  k, обозначенная Ω.
3. ${\ Displaystyle \ mathrm {E} (е_ {т} е_ {тк} ') = 0 \,}$для любого ненулевого k . Там нет корреляции во времени. В частности, нет последовательной корреляции в терминах индивидуальных ошибок. ^[1]

Процесс выбора максимального запаздывания p в модели VAR требует особого внимания, потому что вывод зависит от правильности выбранного порядка запаздывания. ^{[2] [3]}

Порядок интегрирования переменных [ править ]

Обратите внимание, что все переменные должны быть одного порядка интегрирования . Различают следующие случаи:

• Все переменные I (0) (стационарные): это стандартный случай, т.е. VAR на уровне
• Все переменные являются I ( d ) (нестационарными) с d  > 0: ^{[ необходима ссылка ]}
  • Переменные коинтегрированы : член исправления ошибок должен быть включен в VAR. Модель становится векторной моделью коррекции ошибок (VECM), которую можно рассматривать как ограниченную VAR.
  • Переменные не коинтегрируются : во-первых, переменные должны быть различаются d раз, и у одного есть разность VAR.

Краткая матричная запись [ править ]

Можно складывать векторы, чтобы записать VAR ( p ) как стохастическое матричное разностное уравнение с краткой матричной записью:

${\ Displaystyle Y = BZ + U \,}$

Детали матриц находятся на отдельной странице .

Пример [ править ]

Общий пример VAR ( p ) с k переменными см. В разделе Общая матричная запись VAR (p) .

VAR (1) с двумя переменными может быть записан в матричной форме (более компактная запись) как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{1,t}\\e_{2,t}\end{bmatrix}},}$

(в котором появляется только одна матрица A, потому что в этом примере максимальное запаздывание p равно 1), или, что то же самое, в виде следующей системы двух уравнений

${\displaystyle y_{1,t}=c_{1}+a_{1,1}y_{1,t-1}+a_{1,2}y_{2,t-1}+e_{1,t}\,}$

${\displaystyle y_{2,t}=c_{2}+a_{2,1}y_{1,t-1}+a_{2,2}y_{2,t-1}+e_{2,t}.\,}$

Каждая переменная в модели имеет одно уравнение. Текущее (время t ) наблюдение каждой переменной зависит от ее собственных запаздывающих значений, а также от запаздывающих значений каждой другой переменной в VAR.

Запись VAR ( p ) как VAR (1) [ править ]

VAR с p- лагами всегда можно эквивалентно переписать как VAR только с одним лагом, соответствующим образом переопределив зависимую переменную. Преобразование сводится к наложению лагов переменной VAR ( p ) в новую зависимую переменную VAR (1) и добавлению тождеств для завершения ряда уравнений.

Например, модель VAR (2)

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+e_{t}}$

можно преобразовать в модель VAR (1)

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{t}\\y_{t-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{t-1}\\y_{t-2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{t}\\0\end{bmatrix}},}$

где I - единичная матрица .

Эквивалентная форма VAR (1) более удобна для аналитических выводов и допускает более компактные формулировки.

Структурная и уменьшенная форма [ править ]

Структурный VAR [ править ]

Структурный ВДП с р запаздываниями (иногда сокращенно SVAR ) является

${\displaystyle B_{0}y_{t}=c_{0}+B_{1}y_{t-1}+B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{p}y_{t-p}+\epsilon _{t},}$

где c ₀ -  вектор констант размером k × 1, B _i - матрица k  ×  k (для каждого i = 0, ..., p ), а ε _t -  вектор ошибок k × 1 . В главной диагонали условия B ₀ матрицы (коэффициенты на я - ^й переменной в я - ^го уравнения) масштабируются до 1.

Члены ошибки ε _t ( структурные удары ) удовлетворяют условиям (1) - (3) в приведенном выше определении, с той особенностью, что все элементы недиагонали ковариационной матрицы равны нулю. То есть структурные потрясения некоррелированы.${\displaystyle \mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')=\Sigma }$

Например, двухпараметрическая структурная VAR (1):

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2}\\B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{0;1}\\c_{0;2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2}\\B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\epsilon _{1,t}\\\epsilon _{2,t}\end{bmatrix}},}$

куда

${\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&0\\0&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}};}$

то есть дисперсии структурных шоков обозначены ( i = 1, 2), а ковариация - .${\displaystyle \mathrm {var} (\epsilon _{i})=\sigma _{i}^{2}}$${\displaystyle \mathrm {cov} (\epsilon _{1},\epsilon _{2})=0}$

Записывая первое уравнение явно и передавая y _{2, t} в правую часть, получаем

${\displaystyle y_{1,t}=c_{0;1}-B_{0;1,2}y_{2,t}+B_{1;1,1}y_{1,t-1}+B_{1;1,2}y_{2,t-1}+\epsilon _{1,t}\,}$

Обратите внимание, что y _{2, t} может иметь одновременный эффект на y _{1, t,} если B _{0; 1,2} не равно нулю. Это отличается от случая, когда B ₀ является единичной матрицей (все недиагональные элементы равны нулю - случай в начальном определении), когда y _{2, t} могут напрямую влиять на y _{1, t +1} и последующие будущие значения, но не у _{1, т} .

Из-за проблемы идентификации параметров , обычный метод наименьших квадратов оценки структурной VAR даст противоречивые оценки параметров. Эту проблему можно решить, переписав VAR в сокращенной форме.

С экономической точки зрения, если совместная динамика набора переменных может быть представлена ​​моделью VAR, то структурная форма представляет собой изображение лежащих в основе, «структурных», экономических отношений. Две особенности структурной формы делают ее предпочтительным кандидатом для представления основных отношений:

1. Условия ошибки не коррелированы . Предполагается, что структурные, экономические шоки, управляющие динамикой экономических переменных, являются независимыми , что подразумевает нулевую корреляцию между ошибочными условиями как желаемым свойством. Это полезно для разделения эффектов экономически не связанных влияний в VAR. Например, нет причин, по которым шок цен на нефть (как пример шока предложения ) должен быть связан с изменением предпочтений потребителей в отношении стиля одежды (как пример шока спроса ); следовательно, можно было бы ожидать, что эти факторы будут статистически независимыми.

2. Переменные могут оказывать одновременное влияние на другие переменные . Это желательная функция, особенно при использовании данных с низкой частотой. Например, повышение ставки косвенного налога не повлияет на налоговые поступления в день объявления решения, но можно найти эффект в данных за этот квартал.

VAR в сокращенной форме [ править ]

Умножив структурную VAR на обратную величину B ₀

${\displaystyle y_{t}=B_{0}^{-1}c_{0}+B_{0}^{-1}B_{1}y_{t-1}+B_{0}^{-1}B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{0}^{-1}B_{p}y_{t-p}+B_{0}^{-1}\epsilon _{t},}$

и обозначая

${\displaystyle B_{0}^{-1}c_{0}=c,\quad B_{0}^{-1}B_{i}=A_{i}{\text{ for }}i=1,\dots ,p{\text{ and }}B_{0}^{-1}\epsilon _{t}=e_{t}}$

получается приведенная VAR p- го порядка

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t}}$

Обратите внимание, что в сокращенной форме все правые переменные заранее определены в момент времени t . Поскольку в правой части нет эндогенных переменных времени t , никакая переменная не оказывает прямого одновременного воздействия на другие переменные в модели.

Однако члены ошибки в приведенной VAR представляют собой совокупность структурных ударов e _t = B ₀ ⁻¹ ε _t . Таким образом, возникновение одного структурного шока ε _{i, t} потенциально может привести к возникновению шоков во всех ошибочных членах e _{j, t} , создавая тем самым одновременное движение по всем эндогенным переменным. Следовательно, ковариационная матрица приведенной VAR

${\displaystyle \Omega =\mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\mathrm {E} (B_{0}^{-1}\epsilon _{t}\epsilon _{t}'(B_{0}^{-1})')=B_{0}^{-1}\Sigma (B_{0}^{-1})'\,}$

могут иметь ненулевые недиагональные элементы, что обеспечивает ненулевую корреляцию между ошибочными членами.

Оценка [ править ]

Оценка параметров регрессии [ править ]

Исходя из краткой матричной записи (подробности см. В приложении ):

${\displaystyle Y=BZ+U\,}$

• Метод многомерных наименьших квадратов (MLS) для оценки B дает:

${\displaystyle {\hat {B}}=YZ^{'}(ZZ^{'})^{-1}.}$

Альтернативно это можно записать как:

${\displaystyle \operatorname {Vec} ({\hat {B}})=((ZZ^{'})^{-1}Z\otimes I_{k})\ \operatorname {Vec} (Y),}$

где обозначает произведение Кронекера, а Vec - векторизацию указанной матрицы.${\displaystyle \otimes }$

Эта оценка непротиворечива и асимптотически эффективна . Кроме того, он равен условной оценке максимального правдоподобия . ^[4]

• Поскольку объясняющие переменные в каждом уравнении одинаковы, многомерная оценка методом наименьших квадратов эквивалентна обычной оценке методом наименьших квадратов, применяемой к каждому уравнению отдельно. ^[5]

Оценка ковариационной матрицы ошибок [ править ]

Как и в стандартном случае, оценка максимального правдоподобия (MLE) ковариационной матрицы отличается от обычной оценки наименьших квадратов (OLS).

Оценка MLE: ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\epsilon }}_{t}{\hat {\epsilon }}_{t}'}$

Оценщик OLS: ^{[ необходима ссылка ]} для модели с константой, переменными k и лагами p .${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T-kp-1}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\epsilon }}_{t}{\hat {\epsilon }}_{t}'}$

В матричной записи это дает:

${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T-kp-1}}(Y-{\hat {B}}Z)(Y-{\hat {B}}Z)'.}$

Оценка ковариационной матрицы оценщика [ править ]

Ковариационная матрица параметров может быть оценена как ^{[ цитата ]}

${\displaystyle {\widehat {\mbox{Cov}}}({\mbox{Vec}}({\hat {B}}))=({ZZ'})^{-1}\otimes {\hat {\Sigma }}.\,}$

Степени свободы [ править ]

Модели векторной авторегрессии часто включают оценку многих параметров. Например, с семью переменными и четырьмя лагами каждая матрица коэффициентов для данной длины лага равна 7 на 7, а вектор констант имеет 7 элементов, так что всего оценивается 49 × 4 + 7 = 203 параметра, что существенно снижает в степени свободы регрессии (число точек данных минус число оцениваемых параметров). Это может повредить точности оценок параметров и, следовательно, прогнозов, данных моделью.

Интерпретация оценочной модели [ править ]

Свойства модели VAR обычно суммируются с использованием структурного анализа с использованием причинности Грейнджера , импульсных откликов и разложения дисперсии ошибки прогноза .

Импульсная характеристика [ править ]

Рассмотрим случай первого порядка (т. Е. С одним запаздыванием) с уравнением эволюции

${\displaystyle y_{t}=Ay_{t-1}+e_{t},}$

для вектора развития (состояния) и вектора шоков. Чтобы найти, скажем, влияние j-го элемента вектора потрясений на i-й элемент вектора состояния двумя периодами позже, который представляет собой конкретную импульсную характеристику, сначала запишите приведенное выше уравнение эволюции с запаздыванием на один период:${\displaystyle y}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle y_{t-1}=Ay_{t-2}+e_{t-1}.}$

Используйте это в исходном уравнении эволюции, чтобы получить

${\displaystyle y_{t}=A^{2}y_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t};}$

затем повторите, используя уравнение эволюции с двойным запаздыванием, чтобы получить

${\displaystyle y_{t}=A^{3}y_{t-3}+A^{2}e_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t}.}$

Отсюда влияние j-го компонента на i-й компонент представляет собой i, j-й элемент матрицы.${\displaystyle e_{t-2}}$${\displaystyle y_{t}}$${\displaystyle A^{2}.}$

Из этого процесса индукции можно увидеть, что любой удар будет оказывать влияние на элементы y бесконечно далеко вперед во времени, хотя эффект будет становиться все меньше и меньше со временем, если предположить, что процесс AR является стабильным, то есть что все собственные значения матрицы A меньше единицы по модулю .

Прогнозирование с использованием оценочной модели VAR [ править ]

Предполагаемая модель VAR может использоваться для прогнозирования , а качество прогнозов может быть оценено способами, полностью аналогичными методам, используемым в одномерном авторегрессионном моделировании.

Приложения [ править ]

Кристофер Симс защищал модели VAR, критикуя утверждения и эффективность более раннего моделирования в макроэкономической эконометрике . ^[6] Он рекомендовал модели VAR, которые ранее появлялись в статистике временных рядов и в идентификации систем , статистической специальности в теории управления . Симс отстаивал модели VAR как не требующий теории метод оценки экономических отношений, таким образом являясь альтернативой «невероятным ограничениям идентификации» в структурных моделях. ^[6] Модели VAR также все чаще используются в медицинских исследованиях для автоматического анализа дневниковых данных ^[7] или данных датчиков.

Программное обеспечение [ править ]

• R : Пакет vars включает функции для моделей VAR. ^{[8] [9]}
• Python : модуль tsa (анализ временных рядов) пакета statsmodels поддерживает VAR. PyFlux поддерживает VAR и байесовские VAR.
• SAS : VARMAX
• Stata : "var"
• EViews : "VAR"
• Гретль : "вар"
• Matlab : "варм"
• Регрессионный анализ временных рядов : «СИСТЕМА»
• LDT

См. Также [ править ]

• Байесовская векторная авторегрессия
• Конвергентное перекрестное отображение
• Причинность Грейнджера
• Панельная векторная авторегрессия , расширение моделей VAR на панельные данные ^[10]
• Разложение дисперсии

Примечания [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Астериу, Димитриос; Холл, Стивен Г. (2011). "Модели векторной авторегрессии (VAR) и тесты на причинность". Прикладная эконометрика (второе изд.). Лондон: Пэлгрейв Макмиллан. С. 319–333.
• Эндерс, Уолтер (2010). Прикладные эконометрические временные ряды (Третье изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 272–355. ISBN 978-0-470-50539-7.
• Фаверо, Карло А. (2001). Прикладная макроэконометрика . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 162–213. ISBN 0-19-829685-1.
• Lütkepohl, Гельмут (2005). Новое введение в анализ множественных временных рядов . Берлин: Springer. ISBN 3-540-40172-5.
• Цинь, Дуэт (2011). "Возникновение подхода к моделированию VAR". Журнал экономических исследований . 25 (1): 156–174. DOI : 10.1111 / j.1467-6419.2010.00637.x .