Обозначение Фойгта

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Нотация Фойгта»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , Воят обозначения или Воят форма в полилинейном алгебры является способом представления симметричного тензора за счетом уменьшения ее порядка. ^[1] Есть несколько вариантов и связанные с ними имен для этой идеи: Mandel обозначение , Mandel-Фойгт обозначение и Найте обозначение и другие нашли. Нотация Кельвина - это возрождение Хельбигом ^[2] старых идей лорда Кельвина . Различия здесь заключаются в определенных весах, прикрепленных к выбранным элементам тензора. Номенклатура может варьироваться в зависимости от того, что является традиционным в области применения.

Например, симметричный тензор X 2 × 2 имеет только три различных элемента: два по диагонали, а другой - вне диагонали. Таким образом, его можно выразить как вектор

${\ displaystyle \ langle x_ {11}, x_ {22}, x_ {12} \ rangle}$.

Другой пример:

Тензор напряжений (в матричных обозначениях) имеет вид

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ left [{\ begin {matrix} \ sigma _ {xx} & \ sigma _ {xy} & \ sigma _ {xz} \\\ sigma _ {yx} & \ sigma _ {yy} & \ sigma _ {yz} \\\ sigma _ {zx} & \ sigma _ {zy} & \ sigma _ {zz} \ end {matrix}} \ right].}$

В нотации Фойгта это упрощено до 6-мерного вектора:

${\ displaystyle {\ tilde {\ sigma}} = (\ sigma _ {xx}, \ sigma _ {yy}, \ sigma _ {zz}, \ sigma _ {yz}, \ sigma _ {xz}, \ sigma _ {xy}) \ Equiv (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}, \ sigma _ {4}, \ sigma _ {5}, \ sigma _ {6}) .}$

Тензор деформации, аналогичный по природе тензору напряжений (оба являются симметричными тензорами второго порядка), задается в матричной форме как

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ epsilon}} = \ left [{\ begin {matrix} \ epsilon _ {xx} & \ epsilon _ {xy} & \ epsilon _ {xz} \\\ epsilon _ {yx} & \ epsilon _ {yy} & \ epsilon _ {yz} \\\ epsilon _ {zx} & \ epsilon _ {zy} & \ epsilon _ {zz} \ end {matrix}} \ right].}$

Его представление в обозначениях Фойгта имеет вид

${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}=(\epsilon _{xx},\epsilon _{yy},\epsilon _{zz},\gamma _{yz},\gamma _{xz},\gamma _{xy})\equiv (\epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3},\epsilon _{4},\epsilon _{5},\epsilon _{6}),}$

где , и - инженерные деформации сдвига.${\displaystyle \gamma _{xy}=2\epsilon _{xy}}$${\displaystyle \gamma _{yz}=2\epsilon _{yz}}$${\displaystyle \gamma _{zx}=2\epsilon _{zx}}$

Преимущество использования различных представлений для напряжения и деформации заключается в том, что скалярная инвариантность

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\epsilon }}=\sigma _{ij}\epsilon _{ij}={\tilde {\sigma }}\cdot {\tilde {\epsilon }}}$

сохраняется.

Точно так же трехмерный симметричный тензор четвертого порядка можно свести к матрице 6 × 6.

Мнемоническое правило [ править ]

Простое мнемоническое правило для запоминания обозначений Фойгта выглядит следующим образом:

• Запишите тензор второго порядка в матричной форме (в примере - тензор напряжений)
• Вычеркните диагональ
• Продолжайте третью колонку
• Вернитесь к первому элементу в первом ряду.

Индексы Фойгта нумеруются последовательно от начальной точки до конца (в примере цифры синего цвета).

Обозначения Манделя [ править ]

Для симметричного тензора второго ранга

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right]}$

различны только шесть компонентов, три из которых расположены по диагонали, а остальные - вне диагонали. Таким образом, в обозначениях Манделя ^[3] он может быть выражен как вектор

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}^{M}=\langle \sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33},{\sqrt {2}}\sigma _{23},{\sqrt {2}}\sigma _{13},{\sqrt {2}}\sigma _{12}\rangle .}$

Основное преимущество нотации Манделя состоит в том, что она позволяет использовать те же стандартные операции, которые используются с векторами, например:

${\displaystyle {\tilde {\sigma }}:{\tilde {\sigma }}={\tilde {\sigma }}^{M}\cdot {\tilde {\sigma }}^{M}=\sigma _{11}^{2}+\sigma _{22}^{2}+\sigma _{33}^{2}+2\sigma _{23}^{2}+2\sigma _{13}^{2}+2\sigma _{12}^{2}.}$

Симметричный тензор четвертого ранга , удовлетворяющий и имеет 81 компонентов в трехмерном пространстве, но только 36 компонентов различны. Таким образом, в обозначениях Манделя это можно выразить как${\displaystyle D_{ijkl}=D_{jikl}}$${\displaystyle D_{ijkl}=D_{ijlk}}$

${\displaystyle {\tilde {D}}^{M}={\begin{pmatrix}D_{1111}&D_{1122}&D_{1133}&{\sqrt {2}}D_{1123}&{\sqrt {2}}D_{1113}&{\sqrt {2}}D_{1112}\\D_{2211}&D_{2222}&D_{2233}&{\sqrt {2}}D_{2223}&{\sqrt {2}}D_{2213}&{\sqrt {2}}D_{2212}\\D_{3311}&D_{3322}&D_{3333}&{\sqrt {2}}D_{3323}&{\sqrt {2}}D_{3313}&{\sqrt {2}}D_{3312}\\{\sqrt {2}}D_{2311}&{\sqrt {2}}D_{2322}&{\sqrt {2}}D_{2333}&2D_{2323}&2D_{2313}&2D_{2312}\\{\sqrt {2}}D_{1311}&{\sqrt {2}}D_{1322}&{\sqrt {2}}D_{1333}&2D_{1323}&2D_{1313}&2D_{1312}\\{\sqrt {2}}D_{1211}&{\sqrt {2}}D_{1222}&{\sqrt {2}}D_{1233}&2D_{1223}&2D_{1213}&2D_{1212}\\\end{pmatrix}}.}$

Приложения [ править ]

Обозначение названо в честь физика Вольдемара Фойгта и Джона Ная (ученый) . Это полезно, например, при расчетах , связанных с учредительными моделей для имитации материалов, таких как обобщенный закон Гука , а также анализ методом конечных элементов , ^[4] и диффузионной МРТ . ^[5]

Закон Гука имеет симметричный тензор жесткости четвертого порядка с 81 компонентом (3 × 3 × 3 × 3), но поскольку применение такого тензора ранга 4 к симметричному тензору ранга 2 должно дать другой симметричный тензор ранга 2, не все из 81 элемента независимы. Фойют обозначения дают такой ранг 4 тензора быть представлены в виде матрицы 6 × 6. Однако форма Фойгта не сохраняет сумму квадратов, которая в случае закона Гука имеет геометрическое значение. Это объясняет, почему вводятся веса (чтобы сделать отображение изометрией ).

Обсуждение инвариантности обозначений Фойгта и обозначений Манделя можно найти в Helnwein (2001). ^[6]

Ссылки [ править ]

См. Также [ править ]

• Векторизация (математика)
• Закон Гука